Механические колебания их виды и графики. Виды колебаний в физике и их характеристика

Механическими колебаниями называются движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенные интервалы времени. тЦля колебаний характерно, что колеблющееся тело, например маятник, попеременно смещается то в одну, то в другую сторону. При вращении тела движение также периодически повторяется, но смещений в противоположные стороны относительно по-ложения равновесия не происходит. Колебательное и вращательное движения вызываются силами, которые, как правило, по-разному зависят от расстояний между телами.
§1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
По характеру физических процессов в системе, которые вызывают колебательные движения, различают три основных вида колебаний: свободные, вынужденные и автоколебания.
Свободные колебания

Самым простым видом колебаний являются свободные ко-лебания. Свободные колебания возникают в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия. Такие колебания совершает груз, подвешенный на пружине іглс. 1.1), шарик на нити (маятник) (рис. 1.2) и др.
Эти системы обладают устойчивым положением равновесия, в котором действующие на тело силы взаимно уравнове-
-»
шены. Сила тяжести F, действующая на шарик, уравновеше-
-»
на или силой упругости растянутой пружины F0 (рис. 1.3),
-»
или силой натяжения нити маятника FQ (рис. 1.4). При выведении системы из положения равновесия начинают действо-
Рис. 1.3
Рис. 1.4
О
вать силы, направленные к этому положению. В результате и возникают колебания.
Он
Рассмотрим подробнее, почему возникают колебания, например, шарика, подвешенного на пружине. Если сместить шарик вниз так, чтобы длина пружины уве-личилась на х (рис. 1.5), то на шарик начнет действовать дополнительная сила
F..
X
Рис. 1.5
упругости ґ , модуль которой пропорционален согласно закону Гука удлинению пружины. Эта сила направлена вверх, и под ее воздействием шарик с ускорением начнет двигаться вверх, постепенно увеличивая скорость. Сила при этом будет уменьшаться, так как пружина сокращает-ся. В момент, когда шарик достигнет положения равновесия, сумма всех сил, действующих на него, станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика согласно второму закону Ньютона станет равным нулю.
Но к этому моменту скорость шарика уже достигнет некоторого значения. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, он будет по инерции продолжать подниматься вверх. Пружина при этом сжимается, и в результате появляется сила, направленная уже вниз и тормозящая движение шарика (рис. 1.6). Эта сила, а значит, и направленное вниз ус-корение увеличиваются прямо пропорционально абсолютному значению смещения х шарика относительно положения равновесия. Скорость убывает до тех пор, пока в самой верхней точке не обратится в нуль. После этого шарик с ускорением
Ш
х
Of
начнет двигаться вниз. С уменьшением х модуль силы Fy убывает и в положении равновесия опять обращается в нуль. Но шарик уже успевает к этому моменту набрать скорость и продолжает двигаться вниз. Это движение приводит к дальнейшему растяжению пружины и к появлению силы, направленной вверх. Движение шарика тормозится до полной остановки в крайнем нижнем положении, после чего весь процесс повторяется сначала.
Если бы не существовало трения, то движение шарика не прекратилось бы никогда.
Рис. 1.6
Однако трение есть, причем сила трения как при движении шарика вверх, так и при движении вниз все время направлена против скорости. Она тормозит движение шарика, и поэтому размах его колебаний постепенно уменьшается до тех пор, пока движение не прекратится. При малом трении затухание становится заметным лишь после того, как шарик совершит много колебаний. И если интересоваться движением шарика на протяжении не очень большого интервала времени, то затуханием его колебаний можно пренебречь. В этом случае влияние силы трения на движение можно не учитывать.
Если же сила трения велика, то пренебречь ее действием и в течение малых интервалов времени нельзя. Опустите шарик на пружине в стакан с вязкой жидкостью, например с глицерином. Если пружина достаточно мягкая, то выведенный из положения равновесия шарик совсем не будет колебаться. Под действием силы упругости он просто вернется в положение равновесия, но выше уже подниматься не будет; за счет действия силы трения скорость его в положении равновесия будет практически равна нулю.
Теперь можно сообразить, что же является существенным для того, чтобы в системе могли возникнуть свободные колебания. Необходимо выполнение двух условий. Во-первых, при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия, и следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Именно так действует в рассмотренной нами системе сила упругости пружины и сила тяжести: и при перемещении шарика вверх, и при его перемещении вниз результирующая сила направлена к положению равновесия. Во-вторых, трение в системе должно быть достаточно мало, иначе колебания быстро затухнут или даже не возникнут. Незатухающие коле-бания возможны лишь при отсутствии трения.
Оба условия являются совершенно общими, справедливыми для любой системы, в которой могут возникнуть свободные колебания. Проверьте это самостоятельно на другой простой системе - маятнике. Нужно при этом иметь в виду, что шарик на нити будет представлять собой маятник лишь в том случае, если на него действует сила тяжести. Создающий эту силу земной шар входит в колебательную систему, которую для краткости мы называем просто маятником.
Вынужденные колебания
Колебания, совершаемые телами под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.
Такие колебания будет, например, совершать книга на столе, если мы начнем двигать ее вперед и назад рукой. Колебания книги в данном случае вызваны действием силы со стороны руки, которая меняется по модулю и направлению. Вынужденными колебаниями являются также колебания поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания, иглы швейной машины и т. д. Особый интерес, как мы увидим в дальнейшем, представляют вынужденные колебания в системе, способной совершать свободные колебания.
Автоколебания
Наиболее сложным видом колебаний являются автоколебания. Автоколебаниями называются незатухающие ко-лебания, которые могут существовать в системе без воздействия на нее внешних периодических сил. Для этого система должна обладать собственным источником энергии. За счет энергии источника колебания не затухают, несмотря на действие сил трения. Наиболее известной автоколебательной системой являются часы с маятником или балансиром. Автоколебания мы рассмотрим в конце зїой главы.

1. Колебания. Периодические колебания. Гармонические колебания.

2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний.

5. Автоколебания.

6. Колебания тела человека и их регистрация.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

1.1. Колебания. Периодические колебания.

Гармонические колебания

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.

Периодические колебания

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.

Гармонические колебания

Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.

Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

х - смещение тела в момент времени t;

А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;

ω - круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением

φ = (ωt +φ 0) - фаза колебаний (в момент времени t); φ 0 - начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. 1.1. Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0

1.2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении - потенциальная.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Свободные незатухающие колебания

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Колебания тела на пружине

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.

При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Величина ω 0 (1.6) оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.

Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила (1.4).

Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω 0 всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).

Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.

При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается) (рис. 1.3).

Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 1.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Рис. 1.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой

где J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).

Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.

Свободные затухающие колебания

Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.

Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:

График таких колебаний представлен на рис. 1.4.

В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ.

Рис. 1.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.

где i - порядковый номер колебания.

Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле

Сильное затухание. При

выполнении условия β ≥ ω 0 система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 1.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.

Рис. 1.5. Апериодическое движение

1.3. Вынужденные колебания, резонанс

Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

График вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:

Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:

Резонансом называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.

Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.

Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β 1 > β 2 > β 3) показана на рис. 1.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.

В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций.

Рис. 1.7. Резонансные кривые

1.4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний

В таблице 1.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов.

Таблица 1.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний

Энергия незатухающих гармонических колебаний

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает двумя видами энергии: кинетической энергией движения Е к = mv 2 /2 и потенциальной энергией Е п, связанной с действием упругой силы. Известно, что при действии упругой силы (1.4) потенциальная энергия тела определяется формулой Е п = кх 2 /2. Для незатухающих колебаний х = А cos(ωt), а скорость тела определяется по формуле v = - А ωsin(ωt). Отсюда получаются выражения для энергий тела, совершающего незатухающие колебания:

Полная энергия системы, в которой происходят незатухающие гармонические колебания, складывается из этих энергий и остается неизменной:

Здесь m - масса тела, ω и A - круговая частота и амплитуда колебаний, k - коэффициент упругости.

1.5. Автоколебания

Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.

Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой:

В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы.

Обратной связью называется воздействие результатов какоголибо процесса на его протекание.

Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.

В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.

Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы, как сердце, легкие.

1.6. Колебания тела человека и их регистрация

Aнализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской практике.

Колебательные движения тела человека при ходьбе

Ходьба - это сложный периодический локомоторный процесс, возникающий в результате координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Aнализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.

Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме на 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Вертикальное смещение ЦМ тела человека во время ходьбы

Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела.

У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания общего центра масс (ОЦМ) и центра давления (ЦД) стоп на плоскость опоры. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия - метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. Посредством удержания проекции ОЦМ в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью стабилометрического анализатора, основной частью которого является стабилоплатформа, на которой в вертикальной позе находится испытуемый. Колебания, совершаемые ЦД испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается статокинезиграмма - траектория перемещения ЦД испытуемого на горизонтальной плоскости в двумерной системе координат. По гармоническому спектру статокинезиграммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод позволяет анализировать показатели статокинетической устойчивости (СКУ) человека.

Механические колебания сердца

Существуют различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.

Баллистокардиография (БКГ) - метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется баллистокардиограммой (рис. 1.9), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.

Апекскардиография (AKГ) - метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскардиограммы производится, как правило, на многоканальном электрокарди-

Рис. 1.9. Запись баллистокардиограммы

ографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ - сравнивают амплитуды кривой при разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии - отрезок ЕО, принимаемый за 100%. На рисунке 1.10 представлена апекскардиограмма.

Рис. 1.10. Запись апекскардиограммы

Кинетокардиография (ККГ) - метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве, вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГ х), скорость перемещения (ККГ v) а также ускорение (ККГ а) для колебаний грудной клетки. На рисунке 1.11 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.

Рис. 1.11. Запись кинетокардиограмм перемещения (х), скорости (v), ускорения (а)

Динамокардиография (ДКГ) - метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30x30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая - масса грудной клетки; 2) переменная - механический эффект дыхательных движений; 3) переменная - механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.

Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуемым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 1.12.

Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.

Рис. 1.12. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм

Вибрация

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.

Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, руке рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.

Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.

Влияние, которое вибрации оказывают на организм, зависит от интенсивности, частоты, длительности вибраций, места их приложения и направления по отношению к телу, позе, а также от состояния человека и его индивидуальных особенностей.

Колебания с частотой 3-5 Гц вызывают реакции вестибулярного аппарата, сосудистые расстройства. При частотах 3-15 Гц наблюдаются расстройства, связанные с резонансными колебаниями отдельных органов (печень, желудок, голова) и тела в целом. Колебания с частотами 11-45 Гц вызывают ухудшение зрения, тошноту, рвоту. При частотах, превышающих 45 Гц, возникают повреждение сосудов головного мозга, нарушение циркуляции крови и т.д. На рисунке 1.13 приведены области частот вибрации, оказывающие вредное действие на человека и системы его органов.

Рис. 1.13. Области частот вредного воздействия вибрации на человека

В то же время в ряде случаев вибрации находят применение в медицине. Например, при помощи специального вибратора стоматолог готовит амальгаму. Использование высокочастотных вибрационных аппаратов позволяет высверлить в зубе отверстие сложной формы.

Вибрация используется и при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразделяются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.), и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.

Механотерапия

В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии - форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (от фр. balancer - качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.

1.7. Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

1.8. Задачи

1. Привести примеры колебательных систем у человека.

2. У взрослого человека сердце делает 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений; б) число сокращений за 50 лет

Ответ: а) 1,17 Гц; б) 1,84х10 9 .

3. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 1 секунде?

4. Тонкий прямой однородный стержень длиной 1 м подвешен за конец на оси. Определить: а) чему равен период его колебаний (малых)? б) какова длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний?

5. Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х = 0,42 cos(7,40t), где t - измеряется в секундах, а х - в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16 м.

6. Оценить скорость, с которой идет человек при длине шага l = 0,65 м. Длина ноги L = 0,8 м; центр тяжести находится на расстоянии H = 0,5 м от ступни. Для момента инерции ноги относительно тазобедренного сустава использовать формулу I = 0,2mL 2 .

7. Каким образом можно определить массу небольшого тела на борту космической станции, если в вашем распоряжении имеются часы, пружина и набор гирь?

8. Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент и коэффициент затухания.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A - это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T - это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний - это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными . Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические , затухающие , нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом .

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор - это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других - вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 - разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Колебания – это движения или процессы, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания- колебания механических величин (смещения, скорости, ускорения, давления и т.п.).

Механические колебания (в зависимости от характера сил) бывают:

свободные;

вынужденные;

автоколебания.

Свободными называют колебания, возникающие при однократном воздействии внешней силы (первоначальном сообщении энергии) и при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Свободные (или собственные) - это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие).

Условия возникновения свободных колебаний

1. Колебательная система должна иметь положение устойчивого равновесия.

2. При выведении системы из положения равновесия должна возникать равнодействующая сила, возвращающая систему в исходное положение

3. Силы трения (сопротивления) очень малы.

Вынужденные колебания - колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания - незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии внешней переменной силы.

Частота и амплитуда автоколебаний определяется свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального воздействия, возбуждающего процесc колебаний.

Автоколебательная система состоит из: колебательной системы; источника энергии; устройства обратной связи, регулирующее поступление энергии из внутреннего источника энергии в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной колебательной системой за то же время.

Механические колебания делятся на:

затухающие;

незатухающие.

Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Характеристики колебательного движения:

постоянные:

амплитуда (А)

период (Т)

частота ()

Наибольшее (по модулю) отклонение колеблющегося тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Обычно амплитуду обозначают буквой А.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Период колебаний обычно обозначается буквой Т и в СИ измеряется в секундах (с).

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний .

Обозначается частота буквой v (“ню”). За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица в честь немецкого ученого Генриха Герца названа герцем (Гц).

период колебания Т и частота колебаний v связаны следующей зависимостью:

Т=1/ или =1/Т.

Циклическая (круговая) частота ω – число колебаний за 2π секунд

Гармонические колебания - механические колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно ему. Гармонические колебания совершаются по закону синуса или косинуса.

Пусть материальная точка совершает гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид :

а – ускорение V- скорость q – заряд А – амплитуда t -время

Колебания - это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут служить - маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических цепях могут колебаться. Биологическими примерами колебаний могут служить сердечные сокращения, артериальный пульс и производство звука голосовыми связками.

Хотя физическая природа колеблющихся систем может существенно отличаться, разнообразные типы колебаний могут быть охарактеризованы количественно сходным образом. Физическая величина, которая изменяется со временем при колебательном движении, называется смещением . Амплитуда представляет собой максимальное смещение колеблющегося объекта от положения равновесия. Полное колебание, или цикл - это движение, при котором тело, выведенное из положения равновесия на некоторую амплитуду, возвращается в это положение, отклоняется до максимального смещения в противоположную сторону и возвращается в свое первоначальное положение. Период колебания T - время, необходимое для осуществления одного полного цикла. Число колебаний за единицу времени - это частота колебаний .

Простое гармоническое колебание

В некоторых телах при их растяжении или сжатии возникают силы, противодействующие этим процессам. Эти силы прямо пропорциональны длине растяжения или сжатия. Таким свойством обладают пружины. Когда тело, подвешенное к пружине, отклоняют от положения равновесия, а потом отпускают, его движение представляет собой простое гармоническое колебание.

Рассмотрим тело массой m , подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если - смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению F упр = -k·S , где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Действуя на тело массой m, сила упругости придает ему ускорение вдоль направления смещения. Согласно закону Ньютона F = ma , где a = d 2 S/d 2 t. Для упрощения последующих рассуждений пренебрежем трением и вязкостью в колеблющейся системе. В таком случае амплитуда колебаний не будет изменяться со временем.

Если не действуют никакие внешние силы (даже сопротивление среды) на колеблющиеся тело, то колебания осуществляются с определенной частотой. Эти колебания называются свободными. Амплитуда таких колебаний остается постоянной.

Таким образом, m·d 2 S/d 2 t = -k·S (1) . Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения d 2 S/d 2 t +(k/m) · S = 0 ,
а затем d 2 S/d 2 t +ω 0 2 · S = 0 (2), где k/m = ω 0 2

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания .
Решение уравнения (2) дает две функции:
S = A sin(ω 0 t + φ 0 ) (3) и S = A cos(ω 0 t + φ 0 ) (4)

Таким образом, если тело массой m осуществляет простые гармонические колебания, изменение смещения этого тела от точки равновесия во времени осуществляется по закону синуса или косинуса.

(ω 0 t + φ 0 ) - фаза колебания с начальной фазой φ 0 . Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах.

Величина называется угловой, или круговой, частотой . Измеряется в радианах, деленных за секунду ω 0 = 2πν или ω 0 = 2 π /T (5)

График уравнения простого гармонического колебания представлен на Рис. 1 . Тело, первоначально смещенное на расстояние А - амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от -A и до A за время T - период колебания.

Рис 1.

Таким образом, в ходе простого гармонического колебания величина смещения тела изменяется во времени вдоль синусоиды или косинусоиды. Поэтому простое гармоническое колебание часто называют синусоидальным колебанием.

Простое гармоническое колебание имеет следующие основные характеристики:

A) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;
б) тело повторяет свое движение за определенный интервал времени;
c) ускорение тела всегда пропорционально смещению и направлено противоположно ему;
д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее колебание

Простое гармоническое колебание не может продолжаться сколь угодно долго при постоянной амплитуде. В реальных условиях через некоторое время гармонические колебания прекращаются. Такие гармонические колебания в реальных системах называются затухающим колебаниями (рис.2) . К снижению амплитуды колебаний с последующим их прекращением приводит действие внешних сил, например, трения и вязкости. Эти силы уменьшают энергию колебаний. Они называются диссипативными силами , поскольку способствуют рассеиванию потенциальной и кинетической энергии макроскопических тел в энергию теплового движения атомов и молекул тела.

Рис 2.

Величина диссипативных сил зависит от скорости тела. Если скорость ν сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости F тр = -rν = -r·dS/dt (6)

Здесь r - постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения.

Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: m· d 2 S/d 2 t = -kS - r·dS/dt .

Перенеся все члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на m и заменяя k/m = ω 2 ,r/m = 2β , получим дифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

где β - коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения является функция S = A 0 ·e -βt ·sin(ωt + φ 0) (8)

Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением ω = √(ω 0 2 - β 2) (9)

Если колебание не может происходить вследствие большого, то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.

Вынужденное колебание и резонанс

Если не сообщать колеблющейся системе внешнюю энергию, то амплитуда гармонического колебания уменьшается во времени из-за диссипативных эффектов. Периодическое действие силы может увеличить амплитуду колебаний. Теперь колебание не будет затухать со временем, поскольку потерянная энергия восполняется в течение каждого цикла действием внешней силы. Если будет достигнут баланс этих двух энергий, то амплитуда колебаний будет оставаться постоянной. Эффект зависит от соотношения частот вынуждающей силы ω и собственной частоты колебания системы ω 0 .

Если тело колеблется под действием внешней периодической силы с частотой этой внешней силы, то колебание тела называется вынужденным .

Энергия внешней силы оказывает наибольшее действие на колебания системы, если внешняя сила обладает определенной частотой. Эта частота должна быть такой же, как и частота собственных колебаний системы, которые бы эта система совершала в отсутствие внешних сил. В таком случае происходит резонанс - явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы.

Механические волны

Распространение колебаний из одного места в другое называется волновым движением, или просто волной .

Механические волны образуются вследствие простых гармонических колебаний частиц среды от их среднего положения. Вещество среды не перемещается при этом из одного места в другое. Но частицы среды, передающие друг другу энергию, необходимы для распространения механических волн.

Таким образом, механическая волна является возмущением материальной среды, которое проходит эту среду с определенной скоростью, не изменяя своей формы.

Если в воду бросить камень, от места возмущения среды побежит одиночная волна. Однако волны иногда могут быть периодическими. Например, вибрирующий камертон производит попеременные сжатия и разрежения окружающего его воздуха. Эти возмущения, воспринимаемые как звук, происходят периодически с частотой колебаний камертона.

Существуют механические волны двух видов.

(1) Поперечная волна . Этот вид волн характеризуется вибрацией частиц среды под прямым углом к направлению распространения волны. Поперечные механические волны могут возникать только в твердых веществах и на поверхности жидкостей.

В поперечной волне все частицы среды осуществляют простое гармоническое колебание возле своих средних положений. Положение максимального смещения вверх называется "пиком ", а положение максимального смещения вниз - "впадиной ". Расстояние между двумя последующими пиками или впадинами называется длиной поперечной волны λ.

(2) Продольная волна . Этот вид волн характеризуется колебаниями частиц среды вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространяться в жидкостях, газах и твердых телах.

В продольной волне все частицы среды также осуществляют простое гармоническое колебание около их среднего положения. В некоторых местах частицы среды расположены ближе, а в других местах - дальше, чем в нормальном состоянии.

Места, где частицы расположены близко, называются областями сжатия , а места где они находятся далеко друг от друга - областями разрежения . Расстояние между двумя последовательными сжатиями или разрежениями называются длиной продольной волны.

Выделяют следующие характеристики волн .

(1) Амплитуда - максимальное смещение колеблющейся частицы среды от ее положения равновесия (A ).

(2) Период - время, необходимое частице для одного полного колебания (T ).

(3) Частота - количество колебаний, произведенных частицей среды, за единицу времени (ν). Между частотой волны и ее периодом существует обратная зависимость: ν = 1/T .

(4) Фаза колеблющейся частицы в любой момент определяет ее положение и направление движения в данный момент. Фаза представляет собой часть длины волны или периода времени.

(5) Скорость волны является скоростью распространения в пространстве пика волны (v).

Совокупность частиц среды, колеблющихся в одинаковой фазе, формирует фронт волны. С этой точки зрения, волны делятся на два вида.

(1) Если источник волны является точкой, из которой она распространяется во всех направлениях, то образуется сферическая волна .

(2) Если источник волны колеблющаяся плоская поверхность, то образуется плоская волна .

Смещение частиц плоской волны можно описать общим уравнением для всех типов волнового движения: S = A·sin ω · (t - x/v) (10)

Это означает, что величина смещения (S ) для каждой значения времени (t ) и расстояния от источника волны (x ) зависит от амплитуды колебания (A ), угловой частоты (ω ) и скорости волны (v).

Эффект Доплера

Эффект Доплера - изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем (приемником) благодаря относительному движению источника волн и наблюдателя. Если источник волн приближается к наблюдателю, число волн, прибывающих к наблюдателю волн, каждую секунду превышает испускаемое источником волн. Если источник волн удаляется от наблюдателя, то число испускаемых волн больше, чем прибывающих к наблюдателю.

Аналогичный эффект следует в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Примером эффекта Доплера является изменение частоты гудка поезда при его приближении и удалении от наблюдателя.

Общее уравнение для эффекта Доплера имеет вид

Здесь ν источн - частота волн, испускаемых источником, и ν приемн - частота волн, воспринятая наблюдателем. ν 0 - скорость волн в неподвижной среде, ν приемн и ν источн - скорости наблюдателя и источника волн соответственно. Верхние знаки в формуле относятся к случаю, когда источник и наблюдатель перемещаются друг к другу. Нижние знаки относятся к случаю удаления друг от друга источника и наблюдателя волн.

Изменение частоты волн вследствие эффекта Доплера называют доплеровским сдвигом частоты. Этот феномен используется для измерения скорости перемещения различных тел, включая эритроциты в кровеносных сосудах.

Смотрите задачи на тему "