Главная Дети При каких ограничениях справедливо уравнение бернулли. Дифференциальное уравнение бернулли и методы его решения

При каких ограничениях справедливо уравнение бернулли. Дифференциальное уравнение бернулли и методы его решения

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики , устанавливающим связь между средней скоростью потока и гидродинамическим давлением в установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении идеальной жидкости. Выделим двумя сечениями, перпендикулярными к направлению вектора скоростиu , элемент длиной dl и площадью dF . Выделенный объем будет находиться под действием силы тяжести

и сил гидродинамического давления
.

Так как
, то
.

Учитывая, что в общем случае скорость выделенного элемента
, его ускорение

Применив к выделенному элементу весом
уравнение динамики
в проекции на траекторию его движения, получим

Учитывая то, что
и что при установившемся движении
, после интегрирования и деления на
получим полный напор потока в рассматриваемом сечении:

где - геометрический напор (высота), выражающий удельную потенциальную энергию положения частички жидкости над некоторой плоскостью отсчета, м,

- пьезометрический напор, выражающий удельную энергию давления, м,

- скоростной напор, выражающий удельную кинетическую энергию, м,

- статический напор, м.

Это и есть уравнение Бернулли. Трехчлен этого уравнения выражает напор в соответствующем сечении и представляет собой удельную (отнесенную к единице веса) механическую энергию, переносимую элементарной струйкой через это сечение.

Впрактике технических измерений уравнение Бернулли используют для определения скорости жидкости
.

Уравнение Бернулли можно получить еще и следующим образом. Представим себе, что рассматриваемый нами элемент жидкости является неподвижным. Тогда на основании основного уравнения гидростатики
потенциальная энергия жидкости в сечениях 1 и 2 будет

Движение жидкости характеризуется появлением кинетической энергии, которая для единицы веса будет равна для рассматриваемых сечений
и
. Полная энергия потока элементарной струйки будет равна сумме потенциальной и кинетической энергии, поэтому

Таким образом, основное уравнение гидростатики является следствием уравнения Бернулли.

Лекция №7

Уравнение бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли в установившемся движении идеальной жидкости имеет вид:

где - геометрический напор (высота), м,- пьезометрический напор, м,

- скоростной напор, м,
- статический напор, м.

В случае реальной жидкости полный напор для разных струек в одном и том же сечении потока не будет одинаковым, так как неодинаковым будет скоростной напор в разных точках одного и того же сечения потока. Кроме того, в виду рассеяния энергии из-за трения напор от сечения к сечению будет убывать.

Однако для сечений потока, взятых там, где движение на его участках плавно меняющееся, для всех проходящих через сечение элементарных струек будет постоянным статический напор

Если уравнение Бернулли для элементарной струйки распространить на весь поток и учесть потери напора на сопротивление движению, то получим

где α – коэффициент кинетической энергии, равный для турбулентного потока 1,13, а для ламинарного – 2; v – средняя скорость потока; h – уменьшение удельной механической энергии потока на участке между сечениями 1 и 2, проходящее в результате сил внутреннего трения.

Расчет дополнительного члена h в уравнении Бернулли является основной задачей инженерной гидравлики.

Графическое представление уравнения Бернулли для нескольких сечений потока реальной жидкости имеет вид:

Линия А, которая проходит по уровням в пьезометрах, измеряющих в точках избыточное давление, называетсяпьезометрической линией . Она показывает изменение отсчитанного от плоскости сравнения статического напора Н с по длине потока. Пьезометрическая линия отделяет область измерения потенциальной и кинетической энергии.

Полный напор Н уменьшается по длине потока (линия В – линия полного напора реальной жидкости).

Градиент напора по длине потока называется гидравлическим уклоном и выражается формулой

т.е. гидравлический уклон численно равен синусу угла между горизонталью и линией полного напора реальной жидкости.

Расходомер Вентури

Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока – дросселирование. Расходомер состоит из двух участков – плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. В наибольшем и наименьшем сечениях трубы установлены пьезометры, показания которых позволяют определить перепад пьезометрического напора между двумя сечениями трубы и записать

В этом уравнении неизвестными являются v 1 и v 2 . Из уравнения неразрывности следует
, что позволяет определить скоростьv 2 и расход жидкости через трубу

где С – константа расходомера, учитывающая также и потери напора, так как определяется опытом.

Аналогично ведется расчет расходомерной шайбы, обычно выполняемой в виде кольца. Расход определяется по замеренной разности уровней в пьезометрах.

Уравнение Бернулли и уравнение неразрывности потока являются основными при расчете гидравлических систем.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим: (8.1) Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на и перейдем в нем к функции z(x) : , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y . При добавляется решение y(x)=0 . Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0 , следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x . Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y) , что и .

Действительно, поскольку , то (9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y: . Но , следовательно, .Положим и тогда .Итак, построена функция , для которой , а .

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y) , такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du , то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1 .

Если найден интегрирующий множитель µ , то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y , то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка: (10.1). Если заранее известно, что µ= µ(ω) , где ω – заданная функция от x и y , то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω : (10.2), где , т. е. дробь является функцией только от ω .

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель , с = 1. В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x ) или только от y (ω = y ), если выполнены соответственно следующие условия: , или , .

10. Свойства решений ЛДУ II-го порядка (с док-вом). Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид: , (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a 0 (x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде: (2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае. Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду , (2.3) то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Дифференциальное уравнение Бернулли - это уравнение вида:
, где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q - функции от x .

Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению

Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1) ,
где n ≠ 0 , n ≠ 1 , p и q - функции от x .
Разделим его на y n . При y ≠ 0 или n < 0 имеем:
(2) .
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2) и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z , дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0 , следует рассмотреть случай y = 0 . При n > 0 , y = 0 также является решением уравнения (1) и должно входить в ответ.

Решение методом Бернулли

Рассматриваемое уравнение (1) также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v ,
где u и v - функции от x . Дифференцируем по x :
y′ = u′ v + u v′ .
Подставляем в исходное уравнение (1) :
;
(3) .
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Уравнение (4) - это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x) . Подставляем частное решение в (3) . Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4) , то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v - уже известная функция от x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .

Пример решения дифференциального уравнения Бернулли

Решить уравнение

Решение

На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.

Итак, считаем что x является функцией от y . Подставим и умножим на :
;
;
(П.1) .
Это - уравнение Бернулли с n = 2 . Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1) , только обозначением переменных (x вместо y ). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v ,
где u и v - функции от y . Дифференцируем по y :
.
Подставим в (П.1) :
;
(П.2) .
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y) , удовлетворяющую уравнению:
(П.3) .
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0 , поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3) .
;
.
Подставим в (П.2) учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3) ):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0 имеем:
;
(П.4) ;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.

Дифференциальное уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли .
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 - с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y" + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z" + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

Разделим на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Получаем: -z" + z = -1 или z" - z = 1

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z"=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz"/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z"=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Тема 7

Анализ и применение уравнения Бернулли

1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.

2. Анализ уравнения Бернулли.

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли.

4. Предел применимости уравнения Бернулии.

5. Примеры применения уравнения Бернулли.

5.1. Расходомер Вентури.

5.2. Измерение скорости (Трубка Пито).

5.3. Кавитация.

5.4. Формула Торичелли.

6. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.

7.1. Расход. Уравнение неразрывности в гидравлике

Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями 1,2 (рис. 26).

где - площадь живого сечения, - средняя скорость в сечении.

Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости

где - площадь живого сечения 2, - средняя скорость в сечении 2.

Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости должен равняться объему вытекающему .

Поэтому можно записать

Это уравнение называется уравнением неразрывности .

Из уравнения неразрывности следует, что

Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.

7.2. Анализ уравнения Бернулли

Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности () в поле массовых сил

проинтегрировав имеем

Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения. При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет постоянное значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения - давления, скорости и высоты положения жидкости.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2

Интеграл выражает работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р 1 в область 2 с давлением р 2 .

Значение интеграла изменяется зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости .

Рассмотрим изобарный процесс (рис. 27)

При изохорном процессе

Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при из уравнения Бернулли

или умножив на r

или разделив на r g

где константы имеют следующий физический смысл:

С - полная механическая энергия килограмма жидкости или полный напор , ,

Полная механическая энергия массы жидкости объёмом в кубический метр или полный напор , или Па. ,

- полная механическая энергия или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковый физический смысл любой из них присваивают название полного напора .

Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости,

gz, r gz, z - потенциальная энергия положения жидкости, отсчитываемая от произвольно выбранной горизонтальной нивелирной плоскости, или геометрический напор , ,

Потенциальная энергия давления жидкости или пьезометрический напор ,,

-потенциальная энергия жидкости или гидростатический напор ,,

- кинетическая энергия жидкости или скоростной напор , .

Пьезометрический напор р может измеряться от полного вакуума р=0 или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.

Начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.

7.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости

а) при потенциальном течении для любой точки пространства,

б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной

Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.

В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.

При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала

Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z = const

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости – увеличением давления вплоть до при v= 0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.

7.4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве , и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что