Приведение системы пар к простейшему виду. Приведение системы сил на плоскости к простейшему виду
Основная теорема статики о приведении произвольной системы сил к заданному центру: Любая плоская система сил эквивалентна одной силе, равной главному вектору системы , приложенному в некоторой точке (центре приведения) и паре сил, момент которой равен главному моменту сил системы относительно центра приведения .
Доказательство теоремы выполняется в такой последовательности: выбирают некоторую точку (например, точку О )в качестве центра приведения и переносят каждую силу в эту точку, добавляя, согласно теореме о параллельном переносе силы, соответствующие пары сил . В результате этого получают систему сходящихся сил , приложенных в точке О , где , и систему добавленных пар сил , моменты которых . Затем заменяют систему сходящихся сил равнодействующей, равной главному вектору системы , а систему пар сил – одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы относительно центра приведения. В результате получают, что ~ . Следовательно, теорема доказана.
Случаи приведения пространственной системы сил к простейшему виду:
1 , а – система сводится к одной паре сил с моментом, равным главному моменту системы, и значение главного момента системы от выбора центра приведения не зависит.
2 , а – система сил приводится к равнодействующей, равной главному вектору системы, линия действия которой проходит через центр О приведения.
3 , и –такая система сил сводится к одной равнодействующей , равной главному вектору системы, линия действия которой смещена от предыдущего центра приведения на расстояние .
4 Если главный вектор и главный момент , то система сил будет уравновешенной, т.е. ~0.
2.1.5 Условия равновесия плоской системы сил
Необходимые и достаточные условия равновесия любой плоской системы сил определяются уравнениями:
Величина главного вектора плоской системы сил определяется зависимостями: , а главного момента – зависимостью .
Главный вектор будет равняться нулю только тогда, когда одновременно . Следовательно, условия равновесия выполняются при выполнении таких аналитических уравнений:
Эти уравнения являются основной (первой ) формой аналитических условий равновесия произвольной плоской системы сил, которые формулируются так: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки на плоскости действия сил равнялись нулю .
Отметим, что число уравнений равновесия произвольной плоской системы сил в общем случае равняется трём. Они могут быть представлены в разной форме.
Существуют еще две формы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, выполнение которых выражает условия равновесия ().
Вторая форма аналитических условий равновесия предусматривает: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно двух точек и сумма проекций этих сил на ось, неперпендикулярную к прямой, проведенной через эти точки равнялись нулю:
(линия АВ неперпендикулярна оси Ох )
Сформулируем третью форму аналитических условий равновесия рассматриваемой системы сил: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил системы относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю :
В случае плоской системы параллельных сил, можно направить ось Оу параллельно силам системы. Тогда проекции каждой из сил системы на ось Ох будут равняться нулю. В итоге для плоской системы параллельных сил останутся две формы условий равновесия.
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на параллельную им ось и сумма моментов всех сил относительно любой точки равнялись нулю:
Эта первая форма аналитических условий равновесия для плоской системы параллельных сил вытекает из уравнений ().
Вторую форму условий равновесия плоской системы параллельных сил получим из уравнений ().
Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил системы относительно двух точек, которые не лежат на прямой, параллельной силам, равнялись нулю:
Приведение системы сил к центру
Вопросы
Лекция 6
3. Условия равновесия произвольной системы сил
1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.
Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).
Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).
Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру
Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
2. Приведение системы сил к простейшему виду
Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:
a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.
б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .
в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).
Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей
Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .
г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).
Рис. 1.32. Динамический винт
д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).
Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент равны нулю, т.е.
Система сил уравновешена. Под действием такой системы сил твердое тело будет находиться в равновесии. Очевидно, что в общем случае двум векторным уравнениям (4.1) соответствуют шесть скалярных уравнений, отражающих равенство нулю проекций этих векторов на оси выбранной координатной системы (например, декартовой).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, т.е.
На тело действует результирующая пара сил, стремящаяся его повернуть. Заметим, что в этом случае выбор центра приведения не влияет на результат.
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю, т.е.
На тело действует равнодействующая системы сил, проходящая через центр приведения и стремящаяся сдвинуть тело вдоль линии своего действия. Очевидно, что соотношения (4.3.) справедливы для всех точек линии действия равнодействующей.
Заметим, что к этому случаю сводится действие системы сходящихся сил, если за центр приведения принять точку пересечения линий действия сил системы (т.к. моменты сил относительно этой точки равны нулю).
Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент не равны нулю, а их направления составляют прямой угол, т. е.
то такую систему сил тоже можно привести к равнодействующей, но проходящей через другой центр приведения - точку . Для выполнения этой операции сначала рассмотрим эквивалентные системы сил, изображенные на рис. 4.2.б и рис. 4.1. Очевидно, что если заменить обозначения (точку В назвать центром О, точку А – центром ), стоящая перед нами задача требует выполнения операции, обратной выполненной в лемме о параллельном переносе силы. С учетом сказанного, точка должна, во-первых, располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору главного момента, проходящей через центр О, и, во-вторых, лежать на линии, параллельной линии действия главного вектора сил и отстоящей от нее на расстоянии h, равном
Из двух найденных линий следует выбрать ту, для точек которой равен нулю вектор главного момента (момент главного вектора сил относительно нового центра должен быть равен по модулю и противоположен по направлению главному моменту системы сил относительно точки О).
В общем случае после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О неравные нулю главный вектор и главный момент составляют между собой не прямой угол (рис.4.5.а).
Если главный момент разложить на две составляющие – вдоль главного вектора сил и перпендикулярно ему, то, в соответствии с (4.5), может быть найден такой центр приведения , для которого перпендикулярная составляющая главного момента становится равной нулю, а величины и направления главного вектора и первой составляющей главного момента остаются прежними (рис.4.5.б). Совокупность векторов и называется силовым винтом или динамой .
Дальнейшее упрощение не представляется возможным.
Поскольку при такой смене центра приведения изменяется только проекция главного момента на направление, перпендикулярное главному вектору системы сил, остается неизменной величина скалярного произведения этих векторов, т.е.
Это выражение называется вторым инвариантом
статики .
Пример 4.1. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами и действуют силы и (см. рис.4.6). Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.
Запишем тригонометрические соотношения для определения углов:
Теперь можно записать выражения для проекций главного вектора и главного момента сил системы:
Примечание: знание проекций вектора на координатные оси позволит, в случае необходимости, вычислить его величину и направляющие косинусы.
Как выше было доказано, произвольная система сил, как угодно расположенных в пространстве, может быть приведена к одной силе, равной главному вектору системы и приложенной в произвольном центре приведения О
, и одной паре с моментом , равным главному моменту системы относительно того же центра. Поэтому в дальнейшем произвольную систему сил можно заменять эквивалентной ей совокупностью двух векторов - силы и момента , приложенных в точке О
. При изменении положения центра приведения О
главный вектор будет сохранять величину и направление, а главный момент будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и 
перпендикулярен к главному моменту, то система сил приводится к одной силе, которую в этом случае будем называть равнодействующей (рис.8). Главный момент можно представить парой сил ( , ) с плечом , тогда силы и главный век тор образуют систему двух
сил эквивалентную нулю, которую можно отбросить. Останется одна сила , действующая вдоль прямой, параллельной главно
Рис 8 му вектору и проходящей на расстоянии
h = от плоскости, образуемой векторами и . Рассмотренный случай показывает, что если с самого начала выбрать центр приведения на прямой L, то систему сил сразу бы привели к равнодействующей, главный момент был бы равен нулю. Теперь докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, то за центр приведения может быть выбрана такая точка О *, что главный момент относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой. Для доказательства разложим момент на две составляющие- одну , направленную вдоль главного вектора, и другую - перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил раскладывается на две пары с моментами: и , причем плоскость первой пары перпендикулярна к , тогда плоскость второй пары, перпендикулярная к вектору (рис 9) содержит вектор . Совокупность пары с моментом и силы образует систему сил, которая может быть сведена к одной силе (рис.8) , проходящей через точку О* . Таким образом (рис 9), совокупность главного вектора и главного момента в точке О сведена к силе , проходящей через точку О* , и паре с моментом параллельным этой прямой , что и требовалось доказать. Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой (рис.10). Пару сил можно представить двумя равными по величине силами ( , ), расположенными как показано на рис 10. Но, сложив две силы и , получим их сумму и оставшуюся силу , откуда следует (рис.10), что совокупность главного вектора и главного момента в точке О , может быть сведена к двум непересекающимся силам и .
Рассмотрим некоторые случаи приведения системы сил.
1. Плоская система сил. Пусть для определённости все силы находятся в плоскости OXY . Тогда в самом общем случае
Главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, главный вектор перпендикулярен главному моменту: плоская система сил приводится к равнодействующей.
2. Система параллельных сил. Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ . Тогда в самом общем случае
Здесь также главный вектор не равен нулю, главный момент не равен нулю, а их скалярное произведение равно нулю, действительно
следовательно, и этом случае главный вектор перпендикулярен главному моменту: система параллельных сил приводится к равнодействующей. В частном случае, если равен нулю, то и главный вектор сил равен нулю, и система сил приводится к паре сил, вектор момента которой находится в плоскости OXY . Систематизируем теперь рассмотренные случаи. Напомним: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.
Случаи приведения к простейшему виду
Приведение к паре
Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать
Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .
Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение
связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем
Приведение к равнодействующей
Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем
то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .
Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.
Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .
Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.
Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):
или, опуская промежуточные значения:
Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:
Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:
Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.
Приведение к динаме
Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.
