Устный счет: как научиться считать в уме. Устный счёт на уроках математики Устный счёт в искусстве

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются - как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети - ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды - ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры :

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.

Пример :

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры :

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения - с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например :

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

умножить на 4 - это дважды умножить на 2;

умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;

умножить на 8 - это трижды умножить на 2;

умножить на 9 - это дважды умножить на 3.

Например :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

разделить на 4 - это дважды разделить на 2;

разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;

разделить на 8 - это трижды разделить на 2;

разделить на 9 - это дважды разделить на 3.

Например :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 - это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.

Устный счёт на автомате

Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» - упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку - и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Эта статья была написана мною несколько лет назад для одного репетиторского сайта. При размещении администратор сайта исказил не только мою фамилию, но и цель моей статьи. Я предназначал ее школьникам, а администратор того сайта переадресовал ее.... начинающим репетиторам, озаглавив "Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?" При этом обозначенный им потолок устного счета в его статье на эту тему сводится только к вычислению в уме умножения двузначного числа на однозначное. Он пишет: "Допустим, это 29x7 . «Звуковая дорожка» от репетитора может быть следующей: «29 это двадцать и 9. Двадцать на 7 будет …. (ученик отвечает 14) , а 9 на 7 будет …. (ученик отвечает 63). Сто сорок и шестьдесят три будет …» " Мало того, что в этом тексте есть ошибка (Двадцать на семь будет 140, а не 14) - надо же проверять, считывать написанное (!!!), мало того, что гораздо удобнее тридцать умножить на семь и вычесть семь, так этот приём в статье того репетитора - единственный (????) в вопросе устного счета.
Что же получается? Навыки быстрого устного счета излишни для школьников и ими могут пользоваться только репетиторы? А вот и нет! На моих занятиях я всегда приветствую, когда ученик стремится считать в уме. Да, этому, как правило, не учат в школе. Но как показывает опыт, использовать навыки быстрого устного счета при желании может каждый школьник. И это само по себе полезно, поскольку позволяет "чувствовать" числа и понимать, сколько может получиться при умножении, а сколько не может. Важно только научиться мыслить немножко не так, как учат в школе. И ведь эти приемы могут пригодится школьнику в течение всей школьной программы, и на экзаменах, где, как известно, не разрешается пользоваться калькулятором.
Например, требуется из 11531 вычесть 9487. Как учат в школе? Надо написать столбик, при этом постоянно занимая, считая разность. Между тем, если несколько раз занять, то можно легко ошибиться, где занял, а где нет. А можно подсчитать это в уме совсем другим способом, даже не думая столбиком. Можно заметить, что в уменьшаемом цифры в основном маленькие, а в вычитаемом в основном большие. Тогда считаем таким образом: На сколько 11531 больше, чем 11000? - На 531. На сколько 9487 меньше, чем 10000? - На 513. Между 11000 и 10000 - одна тысяча.

11531 – 9487 = 11000 + 531 – (10000 – 513) = 11000 – 10000 + 531 + 513 = 2044
Этот приём удобнее всего запомнить с помощью рисунка:

А теперь разберём пример посложнее - умножение. Сколько будет 64 * 15? Что такое 15? 15 - это 1,5 * 10. Как число умножается на 1,5, т.е. на полтора? Для этого надо к этому числу прибавить половинку от него самого. Если в примере фигурирует не 1,5, а 15, или 150, то надо приписать ещё справа определённое количество нулей. Таким образом, 64 плюс половинка от этого числа, то есть 32 и ноль приписываем.
То есть 64 + 32 = 96; 96 * 10 = 960.

64 * 15 = 64 * 1,5 * 10 = (64 + 32) * 10 = 960

Теперь умножим 84 на 25. Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. Можно рассматривать 25 как 2,5 * 10. Иными словами, взять 84 два раза и прибавить к полученному результату 42, а потом умножить на 10.

84 * 25 = (84 + 84 + 42) * 10 = 2100
И приписываем ноль. А можно и по-другому. 84 * 0,25 * 100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвёртая). Иными словами, 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля. Получается те же 2100:

84 * 25 = 84 * 0,25 * 100 = 84: 4 * 100 = 2100
Может показаться, что подобные приемы едва ли могут понадобиться в школе, что в школьной программе встречаются только примеры типа 29x7. Между тем в некоторых учебниках полным полно примеров, которые подразумевают применение методов быстрого счета, важно только суметь распознать эти методы. Важно отметить в этой связи, что в учебниках 6-го класса нередко встречаются задания "Вычислить наиболее рациональным способом", а в учебниках следующих классов такие задания обычно отсутствуют. Это не означает, что такие методы надо забыть в старших классах. Вот, пример из реального занятия с учеником 8-го класса. Ему встретилось в одной задаче
375 * 48. Казалось бы, умножать трехзначные числа на двузначные можно только столбиком. Но результат умножения этих двух чисел легче получить в уме. Что такое 375?
- Это 125 * 3. Число 125 - это 0,125 * 1000 (одна восьмая умноженная на тысячу). Следовательно, превращаем 375 в 0,375 (три восьмых) * 1000. Получаем

48 * 375 = 48 * 0,375 * 1000 = 48 * 3: 8 * 1000 = 48: 8 * 3 * 1000 = 18000
Зная этот приём все действия получаются в уме автоматически и ученик может быть уверен, что он нигде не ошибся. Тогда как при подсчете столбиком, где фактически необходимо выполнить несколько действий, вероятность ошибки куда больше.
Для быстрого устного счета неплохо знать наизусть не только таблицу умножения, но и таблицу квадратов, хотя бы до тридцати. Практика показывает, что это относительно несложно, и есть школьники с такими знаниями. К тому же это знание порой позволяет не только возводить в квадрат, но и считать в уме примеры типа 39 * 26, применяя приём разложения на "известные" множители. Нетрудно заметить, что 39 это 13 * 3,
а 26 - это 13 * 2. Зная наизусть, что 13 * 13 = 169, осталось только 169 * 6. 170 * 6 будет 170 * 3 * 2 = 1020 и минус 6, получается 1014.

39 * 26 = 3 * 13 * 2 * 13 = 169 * 6 = 170 * 6 – 6 = 1014

Кстати, о таблице квадратов. Да, таблица квадратов публикуется на форзаце учебников, она публикуется в сборниках для подготовки к экзаменам, ею разрешают пользоваться на экзамене. Получается, что знать таблицу квадратов наизусть необязательно. Однако до революции, когда не было калькуляторов и компьютеров, школьники, по крайней мере, в школе Рачинского (у художника Н.П. Богданова-Бельского есть картина "Устный счёт", напоминающая об этом), умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоёмкий, даже если применять, например, формулы сокращённого умножения. Действительно, возьмем, например, число 96 и возведём его в квадрат по формуле квадрата суммы (90 + 6) 2 . Получатся три слагаемых, складывать которые подчас неудобно. Еще менее удобно, если взять формулу квадрата разности (100 – 4) 2 . Однако есть приём попроще, но пока стоит сделать отступление и поговорить о формулах сокращённого умножения. Любопытно, но в школьной программе эти формулы используются в самых разных разделах математики - от алгебраической дроби до тригонометрических преобразований, но только не для быстрого умножения чисел. Только при непосредственном изучении темы приводится несколько примеров на счёт с помощью этих формул, да такого рода задания встречаются на вступительных экзаменах в лицеи. Почему? Да потому что производить вычисления в уме с помощью этих формул не слишком удобно, да и методы не универсальны. Конечно в некоторых случаях эти формулы можно использовать для быстрого счёта. Особенно это относится к формуле разность квадратов. Действительно, если надо умножить 37 на 43, 26 на 32, 35 на 25 и т.д. (если разница между числами чётная), то формулой разность квадратов можно добиться быстрого результата, хотя для этого требуется опять-таки знать ещё и таблицу квадратов (37 * 43 = (40 – 3) * (40 + 3) = 1600 – 9 = 1591; 26 * 32 = (29 – 3) * (29 + 3) = 841 – 9 = 832;
35 * 25 = (30 + 5) * (30 – 5) = 900 – 25 = 875). Более удобен другой способ возведения в квадрат, чем применение формул сокращённого умножения. Для примера возьмем то же самое число 96 в квадрате.
Для начала разберёмся с правилом быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Например, 25 в квадрате, 35 в квадрате, 45 в квадрате, 95 в квадрате. Правило такое. Для этого, количество десятков возводимого в квадрат числа (например, 9 в числе 95) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25. Получается 9025. Подсчитаем таким способом, например 85 2:

85 2 = 8 * 9 * 100 + 25 = 7225
(на 100 умножаем потому что произведение 8 * 9 даёт нам первые две цифры конечного результата).
Почему так получается комментировать в рамках данной статьи не буду, отмечу лишь, что это правило действует и для трехзначных чисел, что стало встречаться, например, на ОГЭ, причем и в обратную сторону - в виде извлечения арифметического квадратного корня из пятизначного числа, оканчивающегося на...25. По всей вероятности, составители заданий стали учитывать, что публикуемая везде таблица квадратов включает в себя возведение в квадрат только двузначных чисел, и надо проверить школьников чем-нибудь выходящим за рамки этой таблицы. Справедливости ради надо сказать, что и в школах некоторые учителя знакомят учеников с этим приёмом. Хотя обычно не говорится, что с его помощью можно легко получить результат возведения в квадрат любого числа из таблицы. Как это делается? Среди чисел, которые возводятся квадрат, есть т.н. «опорные» числа. Это, во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и, во-вторых, 15, 25, 35… 95. Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто. Теперь берём число 96 и возводим его в квадрат. Для этого к 9025 надо прибавить 95 и 96. Прибавляем 200 и отнимаем (5 + 4 – числа, дополняющие 95 и 96 до 100). Пишем результат – 9216. Почему так?

96 * 96 = (95 + 1) * 96 = 95 * 96 + 1 * 96 = 95 * (95 + 1) + 1 * 96 = 95 * 95 + 95 + 96 = 9216.
Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета или феноменальной памяти перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, принцип действий можно объяснить на простом примере. 4 в квадрате. Это будет 16. Теперь возведём в квадрат 5. Это будет 25. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате это 4 в квадрате + 5 + 4 (т.е. 16 + 9).
Ученик, поднаторевший в применении этих приемов быстрого устного счета вполне может придумать свои приемы, внимательно вглядываясь в числа и находить в них свои закономерности. Как показывает опыт, это стремление приучает его не ошибаться в счете, а поиск своих приемов прививает ему интерес к предмету, позволяет творчески подходить к его изучению и находить в нем что-то свое. Некоторые школьники стремятся блеснуть такими своими умениями перед одноклассниками, а то и вовсе про-демон-стри-ро-вать "фокус" по подсчёту в уме больших чисел. Это надо только приветствовать, хотя и не во всех школах учителя верят, что школьники могут считать что-то в уме, а не на калькуляторе. На моей памяти есть и вовсе анекдотический случай из серии "нарочно не придумаешь", когда ученик в 5-м классе написал: 22 + 33 = 55. Казалось бы, что здесь неправильно? Но ему это учительница зачеркнула, предложив переписать то же самое... столбиком. Вместо того, чтобы учить детей считать в уме, порой встречаются "недоверчивые" учителя, которые полагают, что если столбик не написан, то значит, ученик считал калькулятором.
На индивидуальных занятиях с репетитором по математике бывает полезно уделять внимание изучению приёмов быстрого устного счёта.

© Александр Миров, репетитор по математике, Москва

Этот КВМ сейчас Науке посвящается Что математикой у нас С любовью называется. Она поможет воспитать Такую точность мысли, Чтоб в нашей жизни все познать, Измерить и исчислить. Найди существенное. Сумма (минус, плюс, равенство, слагаемое, делитель). Геометрия (фигура, точка, свойства, теорема, уравнение). 2. Проверка определений. Дав определение тому или иному понятию, вы должны быть уверены в том, что оно верно. Правильность можно проверить, переставив местами условие и заключение в определении. Если при перемене мест предложение остается верным, то определение нами дано верно. Проверить правильность определений: Квадрат - это четырехугольник. Сложение - это математическое действие. 3. Назвать группу чисел одним словом: а) 2, 4, 7, 9, 6; 6)13,18,25,33,48,57. 1. 1. Найди существенное. Треугольник (плоскость, вершина, центр, сторона, перпендикуляр). Разность (вычитание, плюс, минус, сумма, слагаемое). 2. Проверка определений. Круг - это геометрическая фигура. Четное число - это натуральное число. 3. Назвать группу чисел одним словом: а) 2, 4, 8,12, 44, 56; б) 1, 13,77,83,95. Первая буква есть в слове «сурок», Но ее нет в слове «урок». А дальше подумай и краткое слово Средь умных ребят ты найдешь у любого. Две буквы у мамы возьми без смущения, А в целом получишь итог от сложения. Предлог стоит в моем начале, В конце же - загородный дом. А целое мы все решали И у доски, и за столом. В начале слова - устный счет, Затем согласный звук идет. Жесткий волос животных потом, А в целом результат найдем. Игра «Наборщик» Мама-сороконожка купила трем дочкам сапожки. Сколько всего пар сапожек пришлось купить маме? Чтобы найти свою невесту, принц заставил своих солдат обойти 12 населенных пунктов. В каждом из них было по 40 девушек. Сколько всего девушек примеряло туфельку? Как пятью единицами записать число 100? У зайца было 4 сыночка и лапочка-дочка. Как-то раз он принес домой мешок с 60 яблоками. Сколько яблок досталось каждому из зайчат, если заяц разделил их между ними поровну? Храбрый портняжка одним ударом убил 7 мух. Сколько всего мух он убил, если сделал 11 ударов? Ребята со своими собаками пошли гулять. Один дед говорит им: «Смотрите-ка, ребята, голов не растеряйте и ног не поломайте». Один мальчик сказал: «А у нас всего 36 ног и 13 голов, так что не потеряемся». Сколько же собак,и сколько мальчиков? А) Одно яйцо варится 10 минут. Сколько времени будут вариться 2 яйца? Б) У зайца было 4 сыночка и лапочка дочка. Как- то раз он принес домой мешок с 60 яблоками. Сколько яблок досталось каждому из зайчат, если заяц разделил их между ними поровну. А) Кошка когда стоит на 2-х лапах – весит 5 кг., Сколько она будет весить, если станет на 4 лапы. Б) На трех деревьях сидели 36 галок. Когда с первого дерева на второе перелетели 6 галок, а со второго на третье - 4 галки, то на всех трех деревьях галок оказалось поровну, Сколько галок первоначально сидело на каждом дереве?

Процесс устного счёта

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта , которые используют различные физические возможности человека:

• аудиомоторная технология счёта;
• визуальная технология счёта.

Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два - четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

• отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
• невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
• невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
• медленная скорость воспроизведения словесной фразы.

Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта , лишённой главного недостатка - замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Устный счёт в начальной школе

Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе . Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции .

Тренажёры для устного счёта

: неверное или отсутствующее изображение

В этом разделе не хватает информации. Конструкция цифровой вертушки . Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трех строк и трех столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение - это поворот пропеллера вокруг оси . Сложение . Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B= двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения . Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы . Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний . Правило единиц . Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы. Пример 2+1 . Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3. Пример 7+7 . Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-й молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4. Применяем правило десятков . Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1 . Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB . Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B). Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило , удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами . Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано. Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов , последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут быть динамическими , как в кино, или же статическими , если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых. Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом. Компьютер «на пальцах» . Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки . Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки ". Например, 3x2=6 . Аналогично: правило единиц умножения на 7 - это правило левой руки . Правило единиц умножения на 9 - это шпагат из пальцев . Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы . При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы . Удачным тренажёром являются механические учебные пособия - цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу . Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки - 9 . Феноменальные счётчики Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс . Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом. До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте . Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова . Среди известных российских «супер счётчиков»: Среди зарубежных: Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях , другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы . Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Соревнования по устному счёту Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме (англ. ) , на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом». Метод Трахтенберга Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга . История её создания необычна . В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь . Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил . Устный счёт в искусстве В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского », написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{10^2 + 11^2 +12^2 + 13^2 + 14^2}{365} Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя » Барри Левинсона и в фильме «Пи » Даррена Аронофски . Некоторые приёмы устного счёта Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306) . Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200. Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225×6=225×2×3=450×3=1350 . Также, проще может оказаться 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350. Несколько способов устного счета: Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10 = 480. Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45×9=450−45=405. Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2 Умножение на 11 двузначного числа . Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A). например, 43×11 = = = 473. При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48×1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на 15 48×1,5×10 = 720. Возведение числа вида (оканчивающееся пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: × = [ (N×(N+1)) ; 2; 5 ]. Доказательство (10N+5) × (10N+5) = (N×(N+1)) x 100 + 25. Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и приписать 25 справа). См. также Напишите отзыв о статье "Устный счёт" Примечания Г. В. Дюдяева, Н. В. Долбилова // Учитель - ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научных трудов. Выпуск 8 [ Патент РФ № 2406160, 2009 г. Творогов В. Б. Цифровые вертушки для сложения, вычитания, умножения и целочисленного деления, использующие телефонную Т-матрицу] // А. Леонович, Наука и жизнь , N4 1979 г. // Виктор Пекелис, Техника - молодёжи , N7 1974 г. Чудо-счётчик // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1991. - С. 54. - 207 с. - 100 000 экз. Чудо-счётчик // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1993. - С. 29. - 191 с. - 100 000 экз. - ISBN 5-87012-008-X. . Чудо-счётчик // Книга рекордов "Левша". - Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. - С. 123. - 336 с. - 4000 экз. // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1991. - С. 54. - 207 с. - 100 000 экз. Человек-компьютер // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1993. - С. 29. - 191 с. - 100 000 экз. - ISBN 5-87012-008-X. . Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1998. - С. 30. - 224 с. - 15 000 экз. - ISBN 5-87012-014-4. . Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 2001. - С. 29. - 287 с. - 10 000 экз. - ISBN 5-87012-017-9. . Человек-компьютер // Книга рекордов "Левша". - Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. - С. 123. - 336 с. - 4000 экз. Человек-календарь // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1993. - С. 29. - 191 с. - 100 000 экз. - ISBN 5-87012-008-X. . Человек-календарь // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 1998. - С. 30-31. - 224 с. - 15 000 экз. - ISBN 5-87012-014-4. . Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 2001. - С. 29-30. - 287 с. - 10 000 экз. - ISBN 5-87012-017-9. . Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. - Москва: "Диво", 2005. - С. 28-29. - 208 с. - ISBN 5-87012-023-3. . Человек-календарь // Книга рекордов "Левша". - Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. - С. 123. - 336 с. - 4000 экз. (англ.) (англ.) «Считаю, что тов. Гольдштейн Д. Н. - калькулятор высшей марки… Его работа основана исключительно на памяти и врождённых способностях. Очень доволен, что моё дело нашло в нём достаточно заслуженного наследника». Р. С. Арраго, Москва, 5. 11. 1929 г. (эст.) Александр Хавронин . (рус.) , Радио Свобода (8 декабря 2006). Проверено 29 сентября 2012. Я. Трахтенберг «Системы быстрого счёта» Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. (англ.) . Литература Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк - 1993.-№ 11.-с. 38-43. Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. - 2001.- № 7 Берман Г. Н. Приёмы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959. Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. - 1972. - № 7.- с. 32-34. Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. - 1908. Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50 Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений: Целые числа. - М.: типо-лит. В. Рихтер, 1905.- 39 с. Вроблевский . Как научиться легко и быстро считать. - М.-1932.-132с. Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931. Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948. Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г. ISBN 966-596-057-7. Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. - 2002. - № 2. - С. 94-103. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150с. Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. - 1998. - № 2. Мартель Ф. Приёмы быстрого счёта. - Пб. −1913. −34с. Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. - 2003. - № 10. - С. 59-61. Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945. Пекелис В. Д. Твои возможности, человек!. - 4-е, перераб. и доп. - Москва: Знание, 1984. - 272 с. - 200 000 экз. Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)). Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976. Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. - 1975.-№ 10.-с. 59-62. Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счёта. М.: Кн.1: Основы. «Либроком», 2011. - 208 с. ISBN 978-5-397-01928-6. Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. - 2003. - № 10. Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука». Ссылки В. Пекелис. // Техника-молодёжи , № 7, 1974 г. С. Транковский. // Наука и жизнь , № 7, 2006 год. С. А. Рачинского . Перельман Я. И. Л., 1941 г., 12 с. (в библиотеке Math.Ru) . с картины «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». Отрывок, характеризующий Устный счёт – Поезжайте в Италию, мой друг, там Вас будут ждать. Только будьте не долго! Я ведь тоже Вас буду ждать... – ласково улыбаясь, сказала королева. Аксель припал долгим поцелуем к её изящной руке, а когда поднял глаза, в них было столько любви и тревоги, что бедная королева, не выдержав, воскликнула: – О, не беспокойтесь, мой друг! Меня так хорошо здесь защищают, что если я даже захотела бы, ничего не могло бы со мной случиться! Езжайте с Богом и возвращайтесь скорей... Аксель долго не отрываясь смотрел на её прекрасное и такое дорогое ему лицо, как бы впитывая каждую чёрточку и стараясь сохранить это мгновение в своём сердце навсегда, а потом низко ей поклонился и быстро пошёл по тропинке к выходу, не оборачиваясь и не останавливаясь, как бы боясь, что если обернётся, ему уже попросту не хватит сил, чтобы уйти... А она провожала его вдруг повлажневшим взглядом своих огромных голубых глаз, в котором таилась глубочайшая печаль... Она была королевой и не имела права его любить. Но она ещё была и просто женщиной, сердце которой всецело принадлежало этому чистейшему, смелому человеку навсегда... не спрашивая ни у кого на это разрешения... – Ой, как это грустно, правда? – тихо прошептала Стелла. – Как мне хотелось бы им помочь!.. – А разве им нужна чья-то помощь? – удивилась я. Стелла только кивнула своей кудрявой головкой, не говоря ни слова, и опять стала показывать новый эпизод... Меня очень удивило её глубокое участие к этой очаровательной истории, которая пока что казалась мне просто очень милой историей чьей-то любви. Но так как я уже неплохо знала отзывчивость и доброту большого Стеллиного сердечка, то где-то в глубине души я почти что была уверенна, что всё будет наверняка не так-то просто, как это кажется вначале, и мне оставалось только ждать... Мы увидели тот же самый парк, но я ни малейшего представления не имела, сколько времени там прошло с тех пор, как мы видели их в прошлом «эпизоде». В этот вечер весь парк буквально сиял и переливался тысячами цветных огней, которые, сливаясь с мерцающим ночным небом, образовывали великолепный сплошной сверкающий фейерверк. По пышности подготовки наверняка это был какой-то грандиозный званый вечер, во время которого все гости, по причудливому желанию королевы, были одеты исключительно в белые одежды и, чем-то напоминая древних жрецов, «организованно» шли по дивно освещённому, сверкающему парку, направляясь к красивому каменному газебо, называемому всеми – Храмом Любви. Храм Любви, старинная гравюра И тут внезапно за тем же храмом, вспыхнул огонь... Слепящие искры взвились к самим вершинам деревьев, обагряя кровавым светом тёмные ночные облака. Восхищённые гости дружно ахнули, одобряя красоту происходящего... Но никто из них не знал, что, по замыслу королевы, этот бушующий огонь выражал всю силу её любви... И настоящее значение этого символа понимал только один человек, присутствующий в тот вечер на празднике... Взволнованный Аксель, прислонившись к дереву, закрыл глаза. Он всё ещё не мог поверить, что вся эта ошеломляющая красота предназначалось именно ему. – Вы довольны, мой друг? – тихо прошептал за его спиной нежный голос. – Я восхищён... – ответил Аксель и обернулся: это, конечно же, была она. Лишь мгновение они с упоением смотрели друг на друга, затем королева нежно сжала Акселю руку и исчезла в ночи... – Ну почему во всех своих «жизнях» он всегда был таким несчастным? – всё ещё грустила по нашему «бедному мальчику» Стелла. По-правде говоря, я пока что не видела никакого «несчастья» и поэтому удивлённо посмотрела на её печальное личико. Но малышка почему-то и дальше упорно не хотела ничего объяснять... Картинка резко поменялась. По тёмной ночной дороге вовсю неслась роскошная, очень большая зелёная карета. Аксель сидел на месте кучера и, довольно мастерски управляя этим огромным экипажем, с явной тревогой время от времени оглядываясь и посматривая по сторонам. Создавалось впечатление, что он куда-то дико спешил или от кого-то убегал... Внутри кареты сидели нам уже знакомые король и королева, и ещё миловидная девочка лет восьми, а также две до сих пор незнакомые нам дамы. Все выглядели хмурыми и взволнованными, и даже малышка была притихшая, как будто чувствовала общее настроение взрослых. Король был одет на удивление скромно – в простой серый сюртук, с такой же серой круглой шляпой на голове, а королева прятала лицо под вуалью, и было видно, что она явно чего-то боится. Опять же, вся эта сценка очень сильно напоминала побег... Я на всякий случай снова глянула в сторону Стеллы, надеясь на объяснения, но никакого объяснения не последовало – малышка очень сосредоточенно наблюдала за происходящим, а в её огромных кукольных глазах таилась совсем не детская, глубокая печаль. – Ну почему?.. Почему они его не послушались?!.. Это же было так просто!..– неожиданно возмутилась она. Карета неслась всё это время с почти сумасшедшей скоростью. Пассажиры выглядели уставшими и какими-то потерянными... Наконец, они въехали в какой-то большой неосвещённый двор, с чёрной тенью каменной постройки посередине, и карета резко остановилась. Место напоминало постоялый двор или большую ферму. Аксель соскочил наземь и, приблизившись к окошку, уже собирался что-то сказать, как вдруг изнутри кареты послышался властный мужской голос: – Здесь мы будем прощаться, граф. Недостойно мне подвергать вас опасности далее. Аксель, конечно же, не посмевший возразить королю, успел лишь, на прощание, мимолётно коснуться руки королевы... Карета рванула... и буквально через секунду исчезла в темноте. А он остался стоять один посередине тёмной дороги, всем своим сердцем желая кинуться им вдогонку... Аксель «нутром» чувствовал, что не мог, не имел права оставлять всё на произвол судьбы! Он просто знал, что без него что-то обязательно пойдёт наперекосяк, и всё, что он так долго и тщательно организовал, полностью провалится из-за какой-то нелепой случайности... Кареты давно уже не было видно, а бедный Аксель всё ещё стоял и смотрел им вслед, от безысходности изо всех сил сжимая кулаки. По его мертвенно-бледному лицу скупо катились злые мужские слёзы... – Это конец уже... знаю, это конец уже...– тихо произнёс он. – А с ними что-то случится? Почему они убегают? – не понимая происходящего, спросила я. – О, да!.. Их сейчас поймают очень плохие люди и посадят в тюрьму... даже мальчика. – А где ты видишь здесь мальчика? – удивилась я. – Так он же просто переодетый в девочку! Разве ты не поняла?.. Я отрицательно покачала головой. Пока я ещё вообще почти что ничего здесь не понимала – ни про королевский побег, ни про «плохих людей», но решила просто смотреть дальше, ничего больше не спрашивая. – Эти плохие люди обижали короля и королеву, и хотели их захватить. Вот они и пытались бежать. Аксель им всё устроил... Но когда ему было приказано их оставить, карета поехала медленнее, потому что король устал. Он даже вышел из кареты «подышать воздухом»... вот тут его и узнали. Ну и схватили, конечно же... Погром в Версале Арест королевской семьи Страх перед происходящим... Проводы Марии-Антуанетты в Темпль Стелла вздохнула... и опять перебросила нас в очередной «новый эпизод» этой, уже не такой счастливой, но всё ещё красивой истории... На этот раз всё выглядело зловещим и даже пугающим. Мы оказались в каком-то тёмном, неприятном помещении, как будто это была самая настоящая злая тюрьма. В малюсенькой, грязной, сырой и зловонной комнатке, на деревянной лежанке с соломенным тюфяком, сидела измученная страданием, одетая в чёрное, худенькая седовласая женщина, в которой было совершенно невозможно узнать ту сказочно красивую, всегда улыбающуюся чудо-королеву, которую молодой Аксель больше всего на свете любил... Мария-Антуанетта в Темпле Он находился в той же комнатке, совершенно потрясённый увиденным и, ничего не замечая вокруг, стоял, преклонив колено, прижавшись губами к её, всё ещё прекрасной, белой руке, не в состоянии вымолвить ни слова... Он пришёл к ней совершенно отчаявшись, испробовав всё на свете и потеряв последнюю надежду её спасти... и всё же, опять предлагал свою, почти уже невозможную помощь... Он был одержим единственным стремлением: спасти её, несмотря ни на что... Он просто не мог позволить ей умереть... Потому, что без неё закончилась бы и его, уже ненужная ему, жизнь... Они смотрели молча друг на друга, пытаясь скрыть непослушные слёзы, которые узкими дорожками текли по щекам... Не в силах оторвать друг от друга глаз, ибо знали, что если ему не удастся ей помочь, этот взгляд может стать для них последним... Лысый тюремщик разглядывал разбитого горем гостя и, не собираясь отворачиваться, с интересом наблюдал разворачивавшуюся перед ним грустную сцену чужой печали... Видение пропало и появилось другое, ничем не лучше прежнего – жуткая, орущая, вооружённая пиками, ножами и ружьями, озверевшая толпа безжалостно рушила великолепный дворец... Версаль... Потом опять появился Аксель. Только на этот раз он стоял у окна в какой-то очень красивой, богато обставленной комнате. А рядом с ним стояла та же самая «подруга его детства» Маргарита, которую мы видели с ним в самом начале. Только на этот раз вся её заносчивая холодность куда-то испарилась, а красивое лицо буквально дышало участием и болью. Аксель был смертельно бледным и, прижавшись лбом к оконному стеклу, с ужасом наблюдал за чем-то происходящим на улице... Он слышал шумевшую за окном толпу, и в ужасающем трансе громко повторял одни и те же слова: – Душа моя, я так и не спас тебя... Прости меня, бедная моя... Помоги ей, дай ей сил вынести это, Господи!.. – Аксель, пожалуйста!.. Вы должны взять себя в руки ради неё. Ну, пожалуйста, будьте благоразумны! – с участием уговаривала его старая подруга. – Благоразумие? О каком благоразумии вы говорите, Маргарита, когда весь мир сошёл с ума?!.. – закричал Аксель. – За что же её? За что?.. Что же такого она им сделала?!. Маргарита развернула какой-то маленький листик бумаги и, видимо, не зная, как его успокоить, произнесла: – Успокойтесь, милый Аксель, вот послушайте лучше: – «Я люблю вас, мой друг... Не беспокойтесь за меня. Мне не достаёт лишь ваших писем. Возможно, нам не суждено свидеться вновь... Прощайте, самый любимый и самый любящий из людей...». Это было последнее письмо королевы, которое Аксель прочитывал тысячи раз, но из чужих уст оно звучало почему-то ещё больнее... – Что это? Что же там такое происходит? – не выдержала я. – Это красивая королева умирает... Её сейчас казнят. – Грустно ответила Стелла. – А почему мы не видим? – опять спросила я. – О, ты не хочешь на это смотреть, верь мне. – Покачала головкой малышка. – Так жаль, она такая несчастная... Как же это несправедливо. – Я бы всё-таки хотела увидеть... – попросила я. – Ну, смотри... – грустно кивнула Стелла. На огромной площади, битком набитой «взвинченным» народом, посередине зловеще возвышался эшафот... По маленьким, кривым ступенькам на него гордо поднималась смертельно бледная, очень худая и измученная, одетая в белое, женщина. Её коротко остриженные светлые волосы почти полностью скрывал скромный белый чепчик, а в усталых, покрасневших от слёз или бессонницы глазах отражалась глубокая беспросветная печаль... Чуть покачиваясь, так как, из-за туго завязанных за спиной рук, ей было сложно держать равновесие, женщина кое-как поднялась на помост, всё ещё, из последних сил пытаясь держаться прямо и гордо. Она стояла и смотрела в толпу, не опуская глаз и не показывая, как же по-настоящему ей было до ужаса страшно... И не было никого вокруг, чей дружеский взгляд мог бы согреть последние минуты её жизни... Никого, кто своим теплом мог бы помочь ей выстоять этот ужасающий миг, когда её жизнь должна была таким жестоким путём покинуть её... До этого бушевавшая, возбуждённая толпа вдруг неожиданно смолкла, как будто налетела на непреодолимое препятствие... Стоявшие в передних рядах женщины молча плакали. Худенькая фигурка на эшафоте подошла к плахе и чуть споткнувшись, больно упала на колени. На несколько коротких секунд она подняла к небу своё измученное, но уже умиротворённое близостью смерти лицо... глубоко вздохнула... и гордо посмотрев на палача, положила свою уставшую голову на плаху. Плачь становился громче, женщины закрывали детям глаза. Палач подошёл к гильотине.... – Господи! Нет!!! – душераздирающе закричал Аксель. В тот же самый миг, в сером небе из-за туч вдруг выглянуло солнышко, будто освещая последний путь несчастной жертвы... Оно нежно коснулось её бледной, страшно исхудавшей щеки, как бы ласково говоря последнее земное «прости». На эшафоте ярко блеснуло – тяжёлый нож упал, разбрасывая яркие алые брызги... Толпа ахнула. Белокурая головка упала в корзину, всё было кончено... Красавица королева ушла туда, где не было больше боли, не было издевательств... Был только покой... Вокруг стояла смертельная тишина. Больше не на что было смотреть... Так умерла нежная и добрая королева, до самой последней минуты сумевшая стоять с гордо поднятой головой, которую потом так просто и безжалостно снёс тяжёлый нож кровавой гильотины... Бледный, застывший, как мертвец, Аксель смотрел невидящими глазами в окно и, казалось, жизнь вытекала из него капля за каплей, мучительно медленно... Унося его душу далеко-далеко, чтобы там, в свете и тишине, навечно слиться с той, которую он так сильно и беззаветно любил... – Бедная моя... Душа моя... Как же я не умер вместе с тобой?.. Всё теперь кончено для меня... – всё ещё стоя у окна, помертвевшими губами шептал Аксель. Но «кончено» для него всё будет намного позже, через каких-нибудь двадцать долгих лет, и конец этот будет, опять же, не менее ужасным, чем у его незабвенной королевы... – Хочешь смотреть дальше? – тихо спросила Стелла. Я лишь кивнула, не в состоянии сказать ни слова. Мы увидели уже другую, разбушевавшуюся, озверевшую толпу людей, а перед ней стоял всё тот же Аксель, только на этот раз действие происходило уже много лет спустя. Он был всё такой же красивый, только уже почти совсем седой, в какой-то великолепной, очень высокозначимой, военной форме, выглядел всё таким же подтянутым и стройным. И вот, тот же блестящий, умнейший человек стоял перед какими-то полупьяными, озверевшими людьми и, безнадёжно пытаясь их перекричать, пытался что-то им объяснить... Но никто из собравшихся, к сожалению, слушать его не хотел... В бедного Акселя полетели камни, и толпа, гадкой руганью разжигая свою злость, начала нажимать. Он пытался от них отбиться, но его повалили на землю, стали зверски топтать ногами, срывать с него одежду... А какой-то верзила вдруг прыгнул ему на грудь, ломая рёбра, и не задумываясь, легко убил ударом сапога в висок. Обнажённое, изуродованное тело Акселя свалили на обочину дороги, и не нашлось никого, кто в тот момент захотел бы его, уже мёртвого, пожалеть... Вокруг была только довольно хохочущая, пьяная, возбуждённая толпа... которой просто нужно было выплеснуть на кого-то свою накопившуюся животную злость... Чистая, исстрадавшаяся душа Акселя, наконец-то освободившись, улетела, чтобы соединиться с той, которая была его светлой и единственной любовью, и ждала его столько долгих лет... Вот так, опять же, очень жестоко, закончил свою жизнь нам со Стеллой почти незнакомый, но ставший таким близким, человек, по имени Аксель, и... тот же самый маленький мальчик, который, прожив всего каких-то коротеньких пять лет, сумел совершить потрясающий и единственный в своей жизни подвиг, коим мог бы честно гордиться любой, живущий на земле взрослый человек... – Какой ужас!.. – в шоке прошептала я. – За что его так? – Не знаю... – тихо прошептала Стелла. – Люди почему-то были тогда очень злые, даже злее чем звери... Я очень много смотрела, чтобы понять, но не поняла... – покачала головкой малышка. – Они не слушали разум, а просто убивали. И всё красивое зачем-то порушили тоже... – А как же дети Акселя или жена? – опомнившись после потрясения, спросила я. – У него никогда не было жены – он всегда любил только свою королеву, – со слезами на глазах сказала малышка Стелла. И тут, внезапно, у меня в голове как бы вспыхнула вспышка – я поняла кого мы со Стеллой только что видели и за кого так от души переживали!... Это была французская королева, Мария-Антуанетта, о трагической жизни которой мы очень недавно (и очень коротко!) проходили на уроке истории, и казнь которой наш учитель истории сильно одобрял, считая такой страшный конец очень «правильным и поучительным»... видимо потому, что он у нас в основном по истории преподавал «Коммунизм»... Несмотря на грусть происшедшего, моя душа ликовала! Я просто не могла поверить в свалившееся на меня, неожиданное счастье!.. Ведь я столько времени этого ждала!.. Это был первый раз, когда я наконец-то увидела что-то реальное, что можно было легко проверить, и от такой неожиданности я чуть ли не запищала от охватившего меня щенячьего восторга!.. Конечно же, я так радовалась не потому, что не верила в то, что со мной постоянно происходило. Наоборот – я всегда знала, что всё со мной происходящее – реально. Но видимо мне, как и любому обычному человеку, и в особенности – ребёнку, всё-таки иногда нужно было какое-то, хотя бы простейшее подтверждение того, что я пока что ещё не схожу с ума, и что теперь могу сама себе доказать, что всё, со мной происходящее, не является просто моей больной фантазией или выдумкой, а реальным фактом, описанным или виденным другими людьми. Поэтому-то такое открытие для меня было настоящим праздником!.. Я уже заранее знала, что, как только вернусь домой, сразу же понесусь в городскую библиотеку, чтобы собрать всё, что только смогу найти про несчастную Марию-Антуанетту и не успокоюсь пока не найду хоть что-то, хоть какой-то факт, совпадающий с нашими видениями... Я нашла, к сожалению, всего лишь две малюсенькие книжечки, в которых описывалось не так уж и много фактов, но этого было вполне достаточно, потому что они полностью подтверждали точность виденного мною у Стеллы. Вот то, что мне удалось тогда найти: любимым человеком королевы был шведский граф, по имени Аксель Ферсен, который беззаветно любил её всю свою жизнь и никогда после её смерти не женился; их прощание перед отъездом графа в Италию происходило в саду Маленького Трианона – любимого места Марии-Антуанетты – описание которого точно совпадало с увиденным нами; бал в честь приезда шведского короля Густава, состоявшийся 21 июня, на котором все гости почему-то были одеты в белое; попытка побега в зелёной карете, организованная Акселем (все остальные шесть попыток побега были также организованы Акселем, но ни одна из них, по тем или иным причинам, не удалась. Правда две из них провалились по желанию самой Марии-Антуанетты, так как королева не захотела бежать одна, оставив своих детей); обезглавливание королевы проходило в полной тишине, вместо ожидавшегося «счастливого буйства» толпы; за несколько секунд до удара палача, неожиданно выглянуло солнце... последнее письмо королевы к графу Ферсену почти в точности воспроизведено в книге «Воспоминания графа Ферсена», и оно почти в точности повторяло нами услышанное, за исключением всего лишь нескольких слов. Уже этих маленьких деталей хватило, чтобы я бросилась в бой с удесятерённой силой!.. Но это было уже потом... А тогда, чтобы не показаться смешной или бессердечной, я изо всех сил попыталась собраться и скрыть своей восторг по поводу моего чудесного «озарения». И чтобы развеять грустное Стеллино настроение, спросила: – Тебе очень нравится королева? – О да! Она добрая и такая красивая... И бедный наш «мальчик», он и здесь столько страдал... Мне стало очень жаль эту чуткую, милую девчушку, которая, даже в своей смерти, так переживала за этих, совершенно +чужих и почти незнакомых ей людей, как не переживают очень многие за самых родных... – Наверное в страдании есть какая-то доля мудрости, без которой мы бы не поняли, как дорога наша жизнь? – неуверенно сказала я. – Вот! Это и бабушка тоже говорит! – обрадовалась девчушка. – Но если люди хотят только добра, то почему же они должны страдать? – Может быть потому, что без боли и испытаний даже самые лучшие люди не поняли бы по-настоящему того же самого добра? – пошутила я. Но Стелла почему-то совершенно не восприняла это, как шутку, а очень серьёзно сказала: – Да, я думаю, ты права... А хочешь посмотреть, что стало с сыном Гарольда дальше? – уже веселее сказала она. – О нет, пожалуй, больше не надо! – взмолилась я. Стелла радостно засмеялась. – Не бойся, на этот раз не будет беды, потому что он ещё живой! – Как – живой? – удивилась я. Тут же опять появилось новое видение и, продолжая меня несказанно удивлять, это уже оказался наш век (!), и даже наше время... У письменного стола сидел седой, очень приятный человек и о чём-то сосредоточенно думал. Вся комната была буквально забита книгами; они были везде – на столе, на полу, на полках, и даже на подоконнике. На маленькой софе сидел огромный пушистый кот и, не обращая никакого внимания на хозяина, сосредоточенно умывался большой, очень мягкой лапкой. Вся обстановка создавала впечатление «учёности» и уюта.

В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Она вооружает учеников необходимыми знаниями, умениями и навыками, которые используются при изучении других школьных дисциплин, особенно при изучении геометрии, алгебры, физики и информатики. При изучении данного предмета от учащихся требуется немало волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Именно поэтому учителю необходимо развивать у детей интерес к этой науке, предмету. На мой взгляд, развивать познавательный интерес к математике возможно с помощью использования различных видов устного счета, и привлечения учащихся в подготовке и проведении данного этапа урока и урока в целом.

Устный счет на уроках математики может быть представлен разнообразными формами работы с классом, учениками (математический, арифметический и графический диктанты, математическое лото, ребусы, кроссворды, тесты, беседы, опрос, разминка, «круговые» примеры и многое другое). В него входит алгебраический и геометрический материал, решение простых задач и задач на смекалку, рассматриваются свойства действий над числами и величинами и другие вопросы, с помощью устного счета можно создать проблемную ситуацию и др.

Устный счет это не случайный этап урока, он находится в методической связи с основной темой и носит проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики отводится 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях.
Устный счет активизирует мыслительную деятельность учащихся. При их выполнении активизируется, развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

Данный этап является неотъемлемой частью в структуре урока математики. Он помогает учителю, во-первых, переключить ученика с одной деятельности на другую, во-вторых, подготовить учащихся к изучению новой темы, в-третьих, в устный счет можно включить задания на повторение и обобщение пройденного материала, в-четвертых, он повышает интеллект учеников.

Целями данного этапа урока можно определить следующее:

1) достижение поставленных целей урока;
2) развитие вычислительных навыков;
3) развитие математической культуры, речи;
4) умение обобщать и систематизировать, переносить полученные знания на новые задания.

Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет своизадачи:

1. Воспроизводство и корректировка определённых знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.
2. Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.
3. Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.
4. Повышение познавательного интереса.

При проведении устного счета каждый учитель придерживается следующих требований :

• Упражнения для устного счета выбираются не случайно, а целенаправленно.
• Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть легкими, но и не должны быть «громоздкими».
• Тексты упражнений, чертежей и записей, если требуется, должны быть приготовлены заранее.
• К устному счету должны привлекаться все ученики.
• При проведении устного счета должны быть продуманы критерии оценки (поощрение).

Устный счет может быть построен в следующей форме:

• Задания на развитие и совершенствование внимания. Такие как: найди закономерность и реши пример, продолжи ряд.
• Задания на развитие восприятия, пространственного воображения. Например, нарисуйте орнамент, узор; посчитайте сколько линий.
• Задания на развитие наблюдательности (найдите закономерность, что лишнее?)
• Устные упражнения с использованием дидактических игр.

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды:

1) Нахождение значений математических выражений.

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения.

2) Сравнение математических выражений.

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше.
Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить: 8 · (10 + 2) = 8 · 10 + …
Выражения таких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

3) Решение уравнений.

Это, прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные (15 · х – 9 = 51)

Уравнение можно предлагать в разных формах:

• из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?
• решение уравнения х · 8 = 72;
• найдите неизвестное число: 77 + х = 77 + 25
• Николай задумал число, умножил его на 5 и получил 125. Какое число задумал Николай?

Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.

4) Решение задач.

Для устной работы предлагаются и простые и составные задачи.

Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.
Разнообразие упражнений и возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.

Формы восприятия устного счета

1) Беглый слуховой (читается учителем, учеником, аудиозапись) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.

2) Зрительный (таблицы, плакаты, карточки, записи на доске, компьютере) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

3) Комбинированный.

• обратная связь (показ ответов с помощью карточек, взаимопроверка, угадывание ключевых слов, проверка с помощью компьютерной программы Microsoft Power Point).
• задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность).
• упражнения в форме игры (“Диалог”, “Математический поединок”, “Магические квадраты”, “Лабиринт сомножителей”, “Викторина”, “Волшебное число”, “Индивидуальное лото”, “Лучший счетчик”, “Кодированные упражнения”, “Фишка”, “Кто быстрее”, “Цветок, солнышко”, “Числовая мельница”, “Числовой фейерверк”, “Математический феномен”, “Молчанка”, “Математическая эстафета”). Пути и формы использования перечисленных игр на уроках математики рассмотрены в работе В. П. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.

Организация занятий по устному счету

При подготовке к уроку учитель должен четко определить (исходя из целей урока) объем и содержание устных заданий. Если цель урока – изложение новой темы, то в начале занятий можно провести устные вычисления по пройденному материалу, также можно организовать работу так, чтобы был плавный переход к новой теме. После изложения новой темы уместно предложить учащимся устные задания на выработку умений и навыков по этой теме. Если цель урока – повторение, то к устным вычислениям в классе должны готовиться и учитель, и учащиеся. Учащиеся, с консультацией учителя, могут проводить устный счет сами на каждом уроке.
Устный счет можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе, а также специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника специальных сборников, математических энциклопедий или книг, можно предложить учащимся самим придумать задания.
Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала.
При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и, особенно для применения их в различных условиях, наоборот должны быть однообразнее. Формулировки заданий, по возможности должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими и лаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различного толкования.
Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, и развития личностных качеств ребенка. На мой взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это - важнейшее условие сознательного усвоения материала.
Если ученику нравится предмет, то он будет всегда с интересом, увлеченно осваивать все больше знаний, а повышение интереса на уроках математики может достигаться следующим образом:

1) Обогащение содержания материалом по истории науки, который часто встречается на страницах учебника.
2) Решение задач повышенной трудности и нестандартных задач. Подбор заданий осуществляется из рабочих тетрадей, дидактических материалов.
3) Подчеркивание силы и изящества, рациональность методов вычислений, доказательств, преобразований и исследований.
4) Разнообразием уроков, нестандартным их построением, включением в уроки элементов придающих каждому уроку своеобразный характер, решение проблемных ситуаций, использование технические средства обучения (интерактивная доска, компьютер и др.), наглядных пособий, разнообразием устного счета.
5) Активизация познавательной деятельности учащихся на уроке с использованием форм самостоятельной и творческой работы.
6) Используя различные формы обратной связи: систематическим проведением опроса, кратковременных устных и письменных контрольных работ, различных тестов, математических диктантов, зачетов наряду с контрольными работами, предусмотренными планом.
7) Разнообразие домашнего задания. Например, предложить ученикам написать сказку о геометрической фигуре, стихотворение о дроби, степени.
8) Установление внутренних и межпредметных связей, показом и разъяснением применения математики в жизни и в производстве.

Например, при изучении треугольников, можно рассказать, что треугольники используются в игре бильярд, боулинг; при строительстве железных конструкций (Шуховская башня на Шаболовке); железнодорожных мостов; высоковольтных линий электропередач; познакомить легендами о Бермудском треугольнике, с треугольником Паскаля, Пенроуза и многое другое.

Ученикам нравится принимать участие в подготовке к уроку, поэтому дополнительно к домашнему заданию по желанию можно дать задание самостоятельно подготовить устный счет к уроку в соответствии с тематикой, и провести самому на следующем уроке (побывать в роли учителя). Также можно дать задание учащимся подготовить реферат, доклад, придумать головоломку, ребус, игру (см. Приложение 1 ).

Ребята очень ответственно и старательно готовят и проводят устную работу на уроках. При выполнении этого задания они прикладывают не мало усилий, так как нужно придумать такие задания, чтобы классу было интересно, чтобы задания соответствовали теме урока.

Насыщение уроков разнообразными, занимательными и полезными вычислительными заданиями при большой плотности текущего теоретического материала по изучаемым темам возможно лишь через совершенствование системы устных упражнений на уроках. Это позволит, прежде всего, научить учащихся учиться, вникать на каждом шагу обучения в смысл изучаемого настолько, чтобы получить возможность самостоятельно решать возникающие задачи.
Это придает им уверенность в себе и подвигает их на улучшение достигнутых результатов, дети начинают активно работать на уроке и им начинает нравиться этот предмет.
Еще важно заметить следующее, то, что учащиеся начальных и средних классов быстро считают, вычисляют в уме, устно, но почему-то в старших классах устный счет производится с помощью калькулятора или с большим трудом без калькулятора. Мне кажется, нужно стремиться к тому, чтобы этого не происходило. И этого конечно можно достичь с применением устного счета как важного и нужного элемента урока.
Устный счет как обязательный этап урока должен проводиться на уроках математики как начальных классах, так в средних и старших классах.

Список литературы:

1. Беримец В.И. “Использование различных видов устных упражнений, как средство повышения познавательного интереса к уроку математики”.
2. В. П. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.
3. Зайцева О.П. Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и в развитии личности ребёнка // Начальная школа, 2001 г. № 1
4. Н.К. Винокурова : «Подумаем вместе», М. «Рост».