Главная Былины Действия с алгебраическими дробями. Алгебраические дроби Допустимые значения переменной для алгебраической дроби

Действия с алгебраическими дробями. Алгебраические дроби Допустимые значения переменной для алгебраической дроби

Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

Приведя дроби к общему знаменателю

Используя основное свойство пропорции

Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пример 1

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

\[\frac{(2x+3)(х+3)}{(2x-1)(х+3)}-\frac{(x-5)(2х-1)}{(x+3)(2х-1)}=0\]

Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним, что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9\]

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3={2х}^2+6х+3х+9=\] \[{=2х}^2+9х+9\]

Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1={2х}^2-х-10х+5={2х}^2-11х+5$

Тогда уравнение примет вид:

\[\frac{{2х}^2+9х+9}{(2x-1)(х+3)}-\frac{{2х}^2-11х+5}{(x+3)(2х-1)}=0\]

Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

\[\frac{{2х}^2+9х+9-({2х}^2-11х+5)}{(2x-1)(х+3)}=0\]

Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми, стоящими в скобках на противоположные

\[{2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5\]

Приведем подобные слагаемые

${2х}^2+9х+9-\left({2х}^2-11х+5\right)={2х}^2+9х+9-{2х}^2+11х-5=20х+4$

Тогда дробь примет вид

\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

\[{\rm 20х+4=0}\]

Решим линейное уравнение:

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ: $-0,2.$

Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

2 способ. Используем основное свойство пропорции

Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Пример 2

Используем данное свойство для решения этого задания

\[\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}\]

1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[{2х}^2+3х+6х+9={2х}^2-10х-х+5\]

Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

2.Найдем допустимые значения переменной.

Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли, что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.

Определение и примеры рациональных дробей

Определение 1

Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

Пример 1

2 a 2 · b - b , x + 2 , 3 · x + 2 2 3 · x 2 · y · z x 2 + y 2 + z 2 , х 8 , 1 4 · x 2 - 3 · x + 1 2 · x + 3 считаются рациональными дробями.

А 5 · (x + y) · y 2 - x 4 · y и a b - b a 3 + 1 a + 1 a 2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Пример 2

Преобразовать 3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

Решение

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b = 3 · a - a · b - 5 3 · b 2 + 2 3 7 · a · b = = 3 · a + - α · b + 2 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 = 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2

Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 = (a 3 · b 2 + 3 · a · b) + (- 5 · a 2 · b - 15) = = a · b · (a 2 · b + 3) - 5 · (a 2 · b + 3)

Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

a · b · (a 2 · b + 3) - 5 · (a 2 · b + 3) = a 2 · b + 3 · (a · b - 5)

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b - 5) .

Ответ: 3 · a - a · b - 2 · b · 5 6 · b + 2 3 7 · a · b a 3 · b 2 - 5 · a 2 · b + 3 · a · b - 15 = 3 · a + 1 3 7 · a · b - 5 3 · b 2 a 2 · b + 3 · (a · b - 5) .

Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

Для любых многочленов a , b и c , где b и c являются ненулевыми, равенство вида a b = a · c b · c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x · y + 1 2 · x - 5 = (x · y + 1) · (x 2 + 3 · b 2) (2 · x - 5) · (x 2 + 3 · b 2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y .

Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю.То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x - y 2 · x , то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение x 2 + y , тогда имеем, что выражение x - y · x 2 + y 2 · x · (x 2 + y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x 3 + x · y - x 2 · y - y 2 2 · x 3 + 2 · x · y . Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

Определение 2

При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так - a - b = a b .

Рассмотрим пример.

Пример 3

Дробь вида - x - 2 x - y заменяют равной ей x + 2 y - x .

Определение 3

При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

a b = - - a b и a b = - a - b .

Доказательство

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что - - a b = - ((- a) : b) = (- 1) · (((- 1) · a) : b) = (- 1) · (- 1) · a: b = a: b = a b .

При помощи преобразований доказывается равенство вида a b = - a - b .

Пример 4

К примеру, x x - 1 заменяем - - x x - 1 или - x 1 - x .

Существуют два полезных равенства вида - a b = - a b и a - b = - a b . Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, - 3 x 3 · y + z = - 3 x 3 · y + z и x + 3 - x + 5 = - x + 3 x - 5 .

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Основа преобразования – это свойство дроби. То есть применяется a · c b · c = a b , где имеем, что a , b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

Пример 5

Сократить дробь 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 .

Решение

Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x 2 · y 3 x · y 7 . Видно, что x 2 = x · x и y 7 = y 3 · y 4 , тогда x – это общий множитель. После сокращения получим, что x 2 · y 3 x · y 7 = (x · x) · y 3 x · (y 3 · y 4) = x y 4 . Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = (2 · x · y 3) · x (2 · x · y 3) · y 4 = x y 4 .

Ответ: 2 · x 2 · y 3 2 · x · y 7 = x y 4 .

Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

Пример 6

К примеру, 3 · a 2 + a · b - 5 a + b = 3 · a 2 a + b + a · b a + b - 5 a + b .

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения a b = c d + a b - c d . Если x · y - x x + 1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

x · y - x x + 1 = 1 x + x 2 · y - x 2 - x - 1 x 2 + x , x · y - x x + 1 = x x - 1 + x 2 · y - x · y - 2 x 2 x 2 - 1 и так далее.

В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

Пример 7

Какие значения n являются целым числом дроби n 4 - 2 · n 3 + 4 · n - 5 n - 2 ?

Решение

Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n 4 - 2 · n 3 + 4 · n - 5 n - 2 = n 3 + 4 + 3 n - 2 . Отсюда видно, что n 3 + 4 при любом n будет целым числом. А дробь 3 n - 2 принимает целые значения при n = 3 , n = 1 , n = 5 и n = − 1 .

Ответ: − 1 , 1 , 3 , 5 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью называют выражение

где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Любой многочлен - это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, вычислим значение дроби

В первом случае получаем:

Заметим, данную дробь можно сократить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.

Во втором случае получим:

Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = -1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Решим несколько примеров.

При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:

Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для обще образовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.

Алгебраические дроби

Алгебра

8 класс

Алгебраические дроби. Основные понятия

Алгебраической дробью называют выражение P/Q , где Р и Q – многочлены; Р – числитель алгебраической дроби, Q – знаменатель алгебраической дроби.

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 1.

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 2. Найти значение алгебраической дроби

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 2. Найти значение алгебраической дроби

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 3. Найти значения переменных, при которых алгебраические дроби не имеют смысла

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 4.

дробь равна нулю, если

числитель = 0,

знаменатель ≠ 0 .

Ответ: при т = – 8 .

Алгебраические дроби. Основные понятия

Пример 4. Найти значения переменных, при которых алгебраические дроби равны нулю

дробь равна нулю, если

С другой стороны:

‒ не подходит

Ответ: при с = 4 .

1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это – тождественное преобразование заданной алгебраической дроби.

Основное свойство алгебраической дроби

2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это - тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби.

Основное свойство алгебраической дроби

Пример 3. Привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель:

Основное свойство алгебраической дроби

Пример 4. Привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель:

Основное свойство алгебраической дроби

Пример 5. Привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель:

Умножение, деление, возведение в степень алгебраических дробей осуществляется по тем же правилам, что и умножение, деление, возведение в степень обыкновенных дробей: