Интерференция волн. Стоячие волны
Глава 7. Механические волны
Волны. Уравнение волны
Помимо уже рассмотренных нами движений, почти во всех областях физики встречается ещё один тип движения – волны . Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения).
Возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются волнами . Волны бывают механические и электромагнитные.
Упругие волны – это распространяющиеся возмущения упругой среды.
Возмущение упругой среды – это любое отклонение частиц этой среды от положения равновесия. Возмущения возникают в результате деформации среды в каком-либо её месте.
Совокупность всех точек, куда дошла волна в данный момент времени, образует поверхность, называемую фронтом волны .
По форме фронта волны делятся на сферические и плоские. Направление распространения фронта волны определяется перпендикуляром к фронту волны, называемым лучом . Для сферической волны лучи представляют собой радиально расходящийся пучок. Для плоской волны лучи- пучок параллельных прямых.
В любой механической волне одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространения возмущения.
Волна, в которой колебания частиц среды и распространение возмущения происходят в одном направлении, называется продольной (рис.7.2 а ).
Волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения возмущений, называется поперечной (рис. 7.2 б).
В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной - смещения (сдвига) одних слоев среды относительно других. Продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных), а поперечные - только в твёрдых.
Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны υ понимают скорость распространения возмущения. Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твёрдых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных.
Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в её источнике . Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденной волной расстояние равно произведению скорости на время её распространения. Таким образом, длина волны
Из уравнения (7.1) следует, что частицы, отделённые друг от друга интервалом λ, колеблются в одинаковой фазе. Тогда можно дать следующее определение длины волны: длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Выведем уравнение плоской волны, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени. Пусть волна распространяется вдоль луча от источника с некоторой скоростью υ.
Источник возбуждает простые гармонические колебания, и смещение любой точки волны в любой момент времени определяетcz уравнением
S = Asinωt (7. 2)
Тогда точка среды, отстоящая от источника волны на расстоянии х, также будет совершать гармонические колебания, но с запаздыванием по времени на величину, т.е. на время, необходимое для распространения колебаний от источника до этой точки. Смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия в любой момент времени будет описываться соотношением
Это и есть уравнение плоской волны. Эта волна, характеризуется следующими параметрами:
· S - смещение от положения равновесии точки упругой среды, до которой дошло колебание;
· ω - циклическая частота колебаний, генерируемых источником, с которой колеблются и точки среды;
· υ - скорость распространения волны (фазовая скорость);
· х – расстояние до той точки среды, куда дошло колебание и смещение которой равно S;
· t – время отсчитываемое от начала колебаний;
Вводя в выражение (7. 3) длину волны λ, уравнение плоской волны можно записать так:
(7. 4)
|
Интерференция волн. Стоячие волны. Уравнение стоячей волны
Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.
Представим себе, что в точке S находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.
Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.
Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны:
прямая - 
; обратная - 
где S 1 и S 2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно
Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид
Множитель cosωt показывает, что все точки среды на луче SО совершают простые гармонические колебания с частотой . Выражение называется амплитудой стоячей волны. Как видно, амплитуда определяется положением точки на луче SO (х).
Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых
Или (n = 0, 1, 2,….)
откуда , или 
(4.70)
пучностями стоячей волны .
Минимальное значение , равное нулю, будут иметь те точки для которых
Или 
(n = 0, 1, 2,….)
откуда или 
(4.71)
Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны . Сопоставляя выражения (4.70) и (4.71), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2.
На рисунке сплошной линией изображено смещение колеблющихся точек среды в некоторый момент времени, пунктирной кривой – положение этих же точек через Т/2. Каждая точка совершает колебания с амплитудой, определяемой её расстоянием от вибратора (х).
В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.
Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе.
Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.
Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
Звук. Эффект Доплера
Продольные упругие волны, распространяющиеся в газе, жидкости и твёрдых телах, невидимы. Однако при определённых условиях их можно услышать. Так, если мы возбудим колебания длинной стальной линейки, зажатой в тисках, то порождаемые ею волны мы не услышим. Но если укоротить выступающую часть линейки и тем самым увеличить частоту её колебаний, то мы обнаружим, что линейка начнёт звучать.
Упругие волны, вызывающие у человека слуховые ощущения, называются звуковыми волнами или просто звуком .
Человеческое ухо способно воспринимать упругие механические волны с частотой ν от 16Гц до 20000Гц. Упругие волны с частотой ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Гц – ультразвуком.
Частоты в диапазоне от 16 Гц до 20000Гц называют звуковыми. Любое тело (твёрдое, жидкое или газообразное), колеблющееся со звуковой частотой, создаёт в окружающей среде звуковую волну.
В газах и жидкостях звуковые волны распространяются виде продольных волн сжатия и разряжения. Сжатия и разряжения среды, возникающее вследствие колебаний источника звука (струны, ножек камертона, голосовых связок и т.д.) , через некоторое время достигают человеческого уха и, заставляя барабанную перепонку уха совершать вынужденные колебания, вызывают у человека определённые слуховые ощущения.
В вакууме звуковые волны распространяться не могут, так как там нечему колебаться. В этом можно убедиться на простом опыте. Если поместить под стеклянный колпак воздушного насоса электрический звонок, то по мере выкачивания воздуха мы обнаружим, что звук будет становиться всё слабее, пока не прекратится совсем.
Звук в газах . Известно, что вовремя грозы мы сначала видим вспышку молнии и лишь, затем слышим раскаты грома. Это запаздывание возникает из-за того, что скорость звука в воздухе значительно меньше скорости света. Скорость звука в воздухе впервые измерил французский учёный Марен Мерсен в 1646 г. При температуре +20ºС она равна 343 м/с, т.е. 1235км/ч.
Скорость звука зависит от температуры среды. С увеличением температуры она возрастает, а с уменьшением убывает.
Скорость звука не зависит от плотности газа, в котором этот звук распространяется. Однако она зависит от массы его молекул. Чем больше масса молекул газа, тем меньше скорость звука в нём. Так, при температуре
0 ºС скорость звука в водороде 1284м/с, а в углекислом газе – 259 м/с.
Звук в жидкостях. Скорость звука в жидкостях, как правило, больше скорости звука в газах. Скорость звука в воде впервые была измерена в 1826г. Опыты проводились на Женевском озере в Швейцарии. На одной лодке поджигали порох и одновременно ударяли в колокол, опущенного в воду. Звук этого колокола с помощью специального рупора, также опущенного в воду, улавливался на другой лодке, которая находилась на расстоянии 14 км от первой. По разности времени между вспышкой света и приходом звукового сигнала определили скорость звука в воде. При температуре 8 ºС она оказалась равной 1435м/с.
В жидкостях скорость звука, как правило, уменьшается с ростом температуры. Вода является исключением из этого правила. В ней скорость звука увеличивается с ростом температуры и достигает максимума при температуре 74 ºС, а при дальнейшем увеличении температуры она уменьшается.
Нужно сказать, что человеческое ухо плохо «работает» под водой. Большая часть звука при этом отражается от барабанной перепонки и потому слуховых ощущений не вызывает. Именно это в своё время дало основание нашим предкам считать подводный мир «миром молчания». Отсюда же и выражение «нем как рыба». Однако ещё Леонардо да Винчи предлагал слушать подводные звуки, приложив ухо к веслу, опущенному в воду. Воспользовавшись таким способом, можно убедиться в том, что рыбы на самом деле довольно болтливы.
Звук в твёрдых телах . Скорость звука в твёрдых телах ещё больше, чем в жидкостях. Только здесь следует учитывать, что в твёрдых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. Скорость этих волн, как мы знаем, различна. Например, в стали поперечные волны распространяются со скоростью 3300м/с, а продольные –со скоростью 6100 м/с. В том, что скорость звука в твёрдом теле больше, чем в воздухе, можно убедится следующим образом. Если ваш товарищ ударит по одному концу рельсы, а вы приложите ухо к другому концу, то будут слышны два удара. Сначала звук достигнет вашего уха по рельсу, а затем – по воздуху.
Хорошей проводимостью обладает земля. Поэтому в старые времена при осаде в крепостных стенах помещали «слухачей», которые по звуку, передаваемому землёй, могли определить, ведёт ли враг подкоп к стенам или нет. Прикладывание уха к земле также позволяло обнаружить приближение вражеской конницы.
Помимо слышимых звуков, в земной коре распространяются и инфразвуковые волны, которые человеческое ухо уже не воспринимает. Такие волны могут возникать при землетрясениях.
Мощные инфразвуковые волны, распространяющиеся как в земле, так и в воздухе, возникают при извержении вулканов и взрывах атомных бомб. Источниками инфразвука могут служить и вихри воздуха в атмосфере, грузовые разряды, орудийные выстрелы, ветер, обтекающие гребни морских волн, работающие двигатели реактивных самолётов и т.д.
Ультразвук тоже не воспринимается человеческим ухом. Однако его способны излучать и улавливать некоторые животные, например летучие мыши и дельфины. В технике для получения ультразвука используют специальные устройства.
Если в среде распространяются одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции волн. Принцип суперпозиции утверждает, что движение, вызванное распространением сразу нескольких волн, есть снова некоторый волновой процесс. Таким процессом, например, является звучание оркестра. Оно возникает от одновременного возбуждения звуковых колебаний воздуха отдельными музыкальными инструментами. Замечательно, что при наложении волн могут возникать особые явления. Их называют эффектами сложения или, как еще говорят, суперпозиции волн. Среди этих эффектов наиболее важными являются интерференция и дифракция.
Интерференция – явление устойчивого во времени перераспределения энергии колебаний в пространстве, в результате которого в одних местах колебания усиливаются, а в других ослабляются. Это явление возникает при сложении волн с сохраняющейся во времени разностью фаз, так называемых когерентных волн. Интерференцию большого числа волн принято называть дифракцией. Принципиального различия между интерференцией и дифракцией нет. Природа этих явлений одна и та же. Мы ограничимся обсуждением только одного очень важного интерференционного эффекта, который заключается в образовании стоячих волн.
Необходимым условием образования стоячих волн является наличие границ, отражающих падающие на них волны. Стоячие волны образуются в результате сложения падающих и отраженных волн. Явления такого рода встречаются довольно часто. Так, каждый тон звучания любого музыкального инструмента возбуждается стоячей волной. Эта волна образуется либо в струне (струнные инструменты), либо в столбе воздуха (духовые инструменты). Отражающими границами в этих случаях являются точки закрепления струны и поверхности внутренних полостей духовых инструментов.
Каждая стоячая волна обладает следующими свойствами. Вся область пространства, в которой возбуждена волна, может быть разбита на ячейки таким образом, что на границах ячеек колебания полностью отсутствуют. Точки, расположенные на этих границах, называются узлами стоячей волны. Фазы колебаний во внутренних точках каждой ячейки одинаковы. Колебания в соседних ячейках совершаются навстречу друг другу, то есть в противофазе. В пределах одной ячейки амплитуда колебаний изменяется в пространстве и в каком-то месте достигает максимального значения. Точки, в которых это наблюдается, называются пучностями стоячей волны. Наконец, характерным свойством стоячих волн является дискретность спектра их частот. В стоячей волне колебания могут совершаться только со строго определенными частотами, и переход от одной из них к другой происходит скачком.
Рассмотрим простой пример стоячей волны. Предположим, что струна ограниченной длины натянута вдоль оси ; концы ее жестко закреплены, причем левый конец находится в начале координат. Тогда координата правого конца будет . Возбудим в струне волну
,
распространяющуюся вдоль слева направо. От правого конца струны волна отразится. Предположим, что это произойдет без потери энергии. В этом случае отраженная волна будет иметь ту же амплитуду и ту же частоту, что и падающая. Поэтому отраженная волна должна иметь вид:
Ее фаза содержит постоянную , определяющую изменение фазы при отражении. Поскольку отражение происходит на обоих концах струны и без потерь энергии, то в струне будут одновременно распространяться волны одинаковых частот. Поэтому при сложении и должна возникнуть интерференция. Найдем результирующую волну.
Это и есть уравнение стоячей волны. Из него следует, что в каждой точке струны происходят колебания с частотой . При этом амплитуда колебаний в точке равна
.
Так как концы струны закреплены, то там колебания отсутствуют. Из условия следует, что . Поэтому окончательно получим:
.
Теперь ясно, что в точках, в которых , колебания отсутствуют вовсе. Эти точки и являются узлами стоячей волны. Там же, где , амплитуда колебаний максимальна, она равна удвоенному значению амплитуды складываемых колебаний. Эти точки являются пучностями стоячей волны. В появлении пучностей и узлов как раз и заключается интерференция: в одних местах колебания усиливаются, а в других исчезают. Расстояние между соседними узлом и пучностью находится из очевидного условия: . Поскольку , то . Следовательно, расстояние между соседними узлами .
Из уравнения стоячей волны видно, что множитель 
при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на . Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе.
Таким образом, при сложении падающей и отраженной волн действительно можно получить картину волнового движения, которая была охарактеризована ранее. При этом ячейки, о которых шла речь, в одномерном случае представляют собой отрезки, заключенные между соседними узлами и имеющие длину .
Убедимся, наконец, в том, что рассмотренная нами волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Воспользуемся тем, что колебания на правом конце струны отсутствуют, то есть . Отсюда получается, что . Это равенство возможно, если , где – целое произвольное положительное число.
Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Для простоты рассуждений допустим, что уравнения этих волн имеют вид:
Это означает, что в начале координат обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В точке А с координатой х суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции (см. § 19), равно
Данное уравнение показывает, что в результате интерференции прямой и обратной волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой происходит гармоническое колебание с той же частотой , но с амплитудой
зависящей от значения координаты х. В точках среды, в которых колебания отсутствуют вовсе: эти точки называются узлами колебаний.
В точках, где амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное Эти точки называются пучностями колебаний. Легко показать, что расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно расстояние между пучностью и ближайшим узлом равно При изменении х на косинус в формуле (5.16) меняет знак на обратный (его аргумент изменяется на поэтому если в пределах одной полуволны - от одного узла до другого - частицы среды отклонились в одну сторону, то в пределах соседней полуволны частицы среды будут отклонены в противоположную сторону.
Волновой процесс в среде, описываемый формулой (5.16), называется стоячей волной. Графически стоячая волна может быть изображена так, как это показано на рис. 1.61. Допустим, что у есть смещение точек среды от состояния равновесия; тогда формула (5.16) описывает «стоячую волну смещения». В некоторый момент времени, когда все точки среды имеют максимальные смещения, направление которых в зависимости от величины координаты х определяется знаком Эти смещения показаны на рис. 1.61 сплошными стрелками. Спустя четверть периода, когда смещения всех точек среды равны нулю; частицы среды проходят через линию с различными скоростями. Спустя еще четверть периода, когда частицы среды опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления; эти смещения показаны на
рис. 1.61 пунктирными стрелками. Точки суть пучности стоячей волны смещения; точки узлы этой волны.
Характерные особенности стоячей волны в отличие от обычной распространяющейся, или бегущей, волны следующие (имеются в виду плоские волны при отсутствии затухания):
1) в стоячей волне амплитуды колебаний различны в различных местах системы; в системе имеются узлы и пучности колебаний. В «бегущей» волне эти амплитуды везде одинаковы;
2) в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний меняются на обратные. В бегущей волне фазы колебаний, согласно формуле (5.2), зависят от координат точек;
3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как это имеет место в бегущей волне.
При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину у можно принять не только смещение или скорости частиц системы, но и величину относительной деформации или величину напряжения на сжатие, растяжение или сдвиг и т. д. При этом в стоячей волне, в местах, где образуются пучности скоростей частиц, располагаются узлы деформаций и, наоборот, узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций. Преобразование энергии из кинетической формы в потенциальную и обратно происходит в пределах участка системы от пучности до соседнего узла. Можно считать, что каждый такой участок не обменивается энергией с соседними участками. Заметим, что превращение кинетической энергии движущихся частиц в потенциальную энергию деформированных участков среды за один период происходит дважды.
Выше, рассматривая интерференцию прямой и обратной волн (см. выражения (5.16)), мы не интересовались происхождением этих волн. Допустим теперь, что среда, в которой происходит распространение колебаний, имеет ограниченные размеры, например колебания вызываются в каком-нибудь сплошном теле - в стержне или струне, в столбе жидкости или газа и т. д. Волна, распространяющаяся в такой среде (теле), отражается от границ, поэтому в пределах объема этого тела непрерывно происходит интерференция волн, вызванных внешним источником и отраженных от границ.
Рассмотрим простейший пример; допустим, в точке (рис. 1.62) стержня или струны при помощи внешнего синусоидального источника возбуждается колебательное движение с частотой ; начало отсчета времени выберем так, чтобы в этой точке смещение выражалось формулой
где амплитуда колебаний в точке Вызванная в стержне волна отразится от второго конца стержня 0% и пойдет в обратном
направлении. Найдем результат интерференции прямой и отраженной волн в некоторой точке стержня имеющей координату х. Для простоты рассуждений предположим, что в стержне нет поглощения энергии колебаний и поэтому амплитуды прямой и отраженной волн равны.
В некоторый момент времени когда смещение колеблющихся частиц в точке равно у, в другой точке стержня смещение вызванное прямой волной будет, согласно формуле волны, равно
Через эту же точку А проходит также и отраженная волна. Чтобы найти смещение вызванное в точке А отраженной волной (в тот же самый момент времени необходимо рассчитать время в течение которого волна пройдет путь от до и обратно до точки Так как то смещение, вызванное в точке отраженной волной, будет равно
При этом предполагается, что на отражающем конце стержня в процессе отражения не происходит скачкообразного изменения фазы колебания; в некоторых случаях такое изменение фазы (называемое потерей фазы) имеет место и должно быть учтено.
Сложейие колебаний, вызванных в различных точках стержня прямой и отраженной волнами, дает стоячую волну; действительно,
где некоторая постоянная фаза, не зависящая от координаты х, а величина
является амплитудой колебаний в точке она зависит от координаты х, т. е. различна в различных местах стержня.
Найдем координаты тех точек стержня, в которых образуются узлы и пучности стоячей волны. Обращение косинуса в нуль или единицу происходит при значениях аргумента, кратных
где целое число. При нечетном значении этого числа косинус обращается в нуль и формула (5.19) дает координаты узлов стоячей волны; при четных мы получим координаты пучностей.
Выше было произведено сложение только двух волн: прямой, идущей от и отраженной, распространяющейся от Однако следует учесть, что отраженная волна на границе стержня вновь отразится и пойдет в направлении прямой волны. Таких отражений
от концов стержня будет много, и поэтому необходимо найти результат интерференции не двух, а всех одновременно существующих в стержне волн.
Предположим, что внешний источник колебаний вызывал в стержне волны в течение некоторого времени после чего поступление энергии колебаний извне прекратилось. За это время в стержне произошло отражений, где время, в течение которого волна прошла от одного конца стержня к другому. Следовательно, в стержне будет одновременно существовать волн, идущих в прямом, и волн, идущих в обратном направлениях.
Допустим, что в результате интерференции одной пары волн (прямой и отраженной) смещение в точйе А оказалось равным у. Найдем условие, при котором все смещения у, вызываемые каждой парой волн, имеют в точке А стержня одинаковые направления и поэтому складываются. Для этого фазы колебаний, вызванных каждой парой волн в точке должны отличаться на от фазы колебаний, вызванных следующей парой волн. Но каждая волна вновь возвращается в точку А с тем же направлением распространения лишь спустя время т. е. отстает по фазе на со приравнивая это отставание где целое число, получаем
т. е. вдоль длины стержня должно уместиться целое число полуволн. Заметим, что этом условии фазы всех волн, идущих от в прямом направлении, отличаются друг от друга на где целое число; точно так же фазы всех волн, идущих от в обратном направлении, отличаются друг от друга на Поэтому, если одна пара волн (прямая и обратная) дает вдоль стержня распределение смещений, определяемое формулой (5.17), то при интерференции пар таких волн распределение смещений не изменится; увеличатся только амплитуды колебаний. Если максимальная амплитуда колебаний при интерференции двух волн, согласно формуле (5.18), равна то при интерференции многих волн она будет больше. Обозначим ее через тогда распределение амплитуды колебаний вдоль стержня вместо выражения (5.18) определится по формуле
Из выражений (5.19) и (5.20) определяются точки, в которых косинус имеет значения или 1:
где целое число Координаты узлов стоячей волны получатся из этой формулы при нечетных значениях тогда в зависимости от длины стержня, т. е. величины
координаты пучностей получатся при четных значениях
На рис. 1.63 схематически показана стоячая волна в стержне, длина которого ; точки суть пучности, точки узлы этой стоячей волны.
В гл. было показано, что при отсутствии периодических внешних воздействий характер кодебательных движений в системе и прежде всего основная величина - частота колебаний - определяются размерами и физическими свойствами системы. Каждая колебательная система обладает собственным, ей присущим колебательным движением; это колебание можно наблюдать, если вывести систему из состояния равновесия и затем устранить внешние воздействия.
В гл. 4 ч. I рассматривались преимущественно колебательные системы с сосредоточенными параметрами, в которых инертной массой обладали одни тела (точечные), а упругими свойствами - другие тела (пружины). В отличие от них колебательные системы, в которых масса и упругость присущи каждому элементарному объему, называются системами с распределенными параметрами. К ним относятся рассмотренные выше стержни, струны, а также столбы жидкости или газа (в духовых музыкальных инструментах) и т. д. Для таких систем собственными колебаниями являются стоячие волны; основная характеристика этих волн - длина волны или распределение узлов и пучностей, а также частота колебаний - определяется только размерами и свойствами системы. Стоячие волны могут существовать и при отсутствии внешнего (периодического) воздействия на систему; это воздействие необходимо только для того, чтобы вызвать или поддержать в системе стоячие волны или же изменить амплитуды колебаний. В частности, если внешнее воздействие на систему с распределенными параметрами происходит с частотой, равной частоте ее собственных колебаний, т. е. частоте стоячей волны, то имеет место явление резонанса, рассмотренное в гл. 5. для различных частот одинакова.
Таким образом, у систем с распределенными параметрами собственные колебания - стоячие волны - характеризуются целым спектром частот, кратных между собой. Наименьшая из этих частот, соответствующая наибольшей длине волны называется основной частотой; остальные ) - обертонами или гармониками.
Каждая система характеризуется не только наличием такого спектра колебаний, но и определенным распределением энергии между колебаниями различных частот. Для музыкальных инструментов это распределение придает звуку своеобразную особенность, так называемый тембр звука, различный для различных инструментов.
Изложенные выше расчеты относятся к свободному колеблющемуся" стержню длиной Однако обычно мы имеем стержни, закрепленные на одном или обоих концах (например, колеблющиеся струны), или же вдоль стержня имеется одна или несколько точек закрепления. Места закрепления, где частицы системы не могут совершать колебательного движения, являются вынужденными узлами смещения. Например,
если в стержне необходимо получить стоячие волны при одной, двух, трех точках закрепления и т. д., то эти точки не могут быть выбраны произвольно, а должны располагаться вдоль стержня так, чтобы они оказались в узлах образовавшейся стоячей волны. Это показано, например, на рис. 1.64. На этом же рисунке пунктиром показаны смещения точек стержня при колебаниях; на свободных концах всегда образуются пучности смещения, на закрепленных - узлы смещения. Для колеблющихся воздушных столбов в трубах узлы смещения (и скорости) получаются у отражающих твердых стенок; на открытых концах трубок образуются пучности смещений и скоростей.
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим
Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением
Тогда уравнение (99.1) примет вид
Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:
Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения
Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).
Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.
Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.
Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.
Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :
Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.
На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.
Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.
колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .
При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергии. Поэтому, основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения).
Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны
(Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.)
Это уравнение носит название волнового уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну.
Уравнением волны
называется выражение, которое дает смещение
колеблющейся точки
как функцию ее координат (x
, y
, z
) и времени t
.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
– это уравнение плоской волны.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y
или z
В общем виде уравнение плоской волны
записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
Введем волновое число , или в векторной форме:
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.
Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
уравнение сферической волны :
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.
ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР - вектор k , определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматич. волны
где - постоянные амплитуда и фаза волны, - круговая частота, r - радиус-вектор. Модуль В. в. наз. волновым числом k= , где - пространственный период или длина волны. В направлении В. в. происходит наибыстрейшее изменение фазы волны , поэтому оно и принимается за направление распространения. Скорость перемещения фазы в этом направлении, или фазовая скорость , определяется через волновое число .. в.
