Механика деформируемого твердого тела. Cопротивление материалов
Задачи науки
Это наука о прочности и податливости (жесткости) элементов инженерных конструкций. Методами механики деформируемого тела ведутся практические расчеты и определяются надежные (прочные, устойчивые) размеры деталей машин и различных строительных сооружений. Вводной, начальной частью механики деформируемого тела является курс, получивший название сопротивление материалов . Основные положения сопротивления материалов опираются на законы общей механики твердого тела и прежде всего на законы статики, знание которых для изучения механики деформируемого тела является совершенно необходимым. К механике деформируемых тел относятся и другие разделы, такие, как теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, где рассматриваются те же вопросы, что и в сопротивлении материалов, но в более полной и строгой постановке.
Сопротивление же материалов ставит своей задачей создание практически приемлемых и простых приемов расчета на прочность и жесткость типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. При этом широко используются различные приближенные методы. Необходимость довести решение каждой практической задачи до числового результата заставляет прибегать в ряде случаев к упрощающим гипотезам-предположениям, которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных с экспериментом.
Общий подход
Многие физические явления удобно рассматривать при помощи схемы, изображенной на рисунке 13:
Через X здесь обозначено некоторое воздействие (управление), подаваемое на вход системы А (машина, испытуемый образец материала и т. п.), а через Y – реакция (отклик) системы на это воздействие. Будем считать, что реакции Y снимаются с выхода системы А .
Под управляемой системой А условимся понимать любой объект, способный детерминированно реагировать на некоторое воздействие. Это значит, что все копии системы А при одинаковых условиях, т.е. при одинаковых воздействиях x(t) , ведут себя строго одинаково, т.е. выдают одинаковые y(t) . Такой подход, конечно, является лишь некоторым приближением, так как практически невозможно получить ни две совершенно одинаковые системы, ни два одинаковых воздействия. Поэтому, строго говоря, следовало бы рассматривать не детерминированные, а вероятностные системы. Тем не менее, для ряда явлений удобно игнорировать этот очевидный факт и систему считать детерминированной, понимая все количественные соотношения между рассматриваемыми величинами в смысле соотношений между их математическими ожиданиями.
Поведение всякой детерминированной управляемой системы может быть определено некоторым соотношением, связывающим выход с входом, т.е. х с у . Это соотношение будем называть уравнением состояния системы. Символически это записывается так
где буква А , использованная ранее для обозначения системы может быть истолкована как некоторый оператор, позволяющий определить у(t) , если задается х(t) .
Введенное понятие о детерминированной системе с входом и выходом является весьма общим. Вот некоторые примеры таких систем: идеальный газ, характеристики которого связаны уравнением Менделеева-Клапейрона, электрическая схема, подчиняющаяся тому или иному дифференциальному уравнению, лопатка паровой или газовой турбины, деформирующаяся во времени, действующими на нее силами и т. д. Нашей целью не является изучение произвольной управляемой системы, и поэтому в процессе изложения мы будем вводить необходимые дополнительные предположения, которые, ограничивая общность, позволят рассмотреть систему частного вида, наиболее подходящую для моделирования поведения деформируемого под нагрузкой тела.
Анализ всякой управляемой системы может быть в принципе осуществлен двумя способами. Первый из них микроскопический , основан на детальном изучении устройства системы и функционирования всех образующих ее элементов. Если все это удается выполнить, то появляется возможность написать уравнение состояния всей системы, так как известно поведение каждого ее элемента и способы их взаимодействия. Так, например, кинетическая теория газов позволяет написать уравнение Менделеева-Клапейрона; знание устройства электрической цепи и всех ее характеристик дает возможность написать ее уравнения на основе законов электротехники (закона Ома, Кирхгофа и т. п.). Таким образом, микроскопический подход к анализу управляемой системы основан на рассмотрении элементарных процессов, из которых складывается данное явление, и в принципе способен дать прямое исчерпывающее описание рассматриваемой системы.
Однако микроподход не всегда может быть осуществлен ввиду сложного или еще не исследованного строения системы. Например, в настоящее время не представляется возможным написать уравнение состояния деформируемого тела, как бы тщательно оно не было изучено. То же относится и к более сложным явлениям, протекающим в живом организме. В подобных случаях применяется так называемый макроскопический феноменологический (функциональный) подход, при котором не интересуются детальным устройством системы (например, микроскопическим строением деформируемого тела) и ее элементов, а изучают функционирование системы в целом, которое рассматривается как связь между входом и выходом. Вообще говоря, эта связь может быть произвольной. Однако для каждого конкретного класса систем на эту связь накладываются ограничения общего характера, а проведение некоторого минимума экспериментов может оказаться достаточным, чтобы выяснить эту связь с необходимыми подробностями.
Использование макроскопического подхода является, как уже отмечалось, во многих случаях вынужденным. Тем не менее, даже создание последовательной микротеории явления не может полностью обесценить соответствующую макротеорию, так как последняя основана на эксперименте и потому более надежна. Микротеория же при построении модели системы всегда вынуждена идти на некоторые упрощающие предположения, приводящие к различного рода неточностям. Например, все «микроскопические» уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона, Ван-дер-Ваальса и др.) имеют неустранимые расхождения с экспериментальными данными о реальных газах. Соответствующие же «макроскопические» уравнения, основанные на этих экспериментальных данных, могут описать поведение реального газа как угодно точно. Более того, микроподход является таковым лишь на определенном уровне – уровне рассматриваемой системы. На уровне же элементарных частей системы он все же является макроподходом, так что микроанализ системы может рассматриваться как синтез ее составных частей, проанализированных макроскопически.
Поскольку в настоящее время микроподход еще не в силах привести к уравнению состояния деформируемого тела, естественно решать эту задачу макроскопически. Такой точки зрения и будем придерживаться в дальнейшем.
Перемещения и деформации
Реальное твердое тело, лишенное всех степеней свободы (возможности перемещаться в пространстве) и находящееся под действием внешних сил, деформируется . Под деформацией понимаем изменение формы и размеров тела, связанное с перемещением отдельных точек и элементов тела. В сопротивлении материалов рассматриваются только такие перемещения.
Различают линейные и угловые перемещения отдельных точек и элементов тела. Этим перемещениям соответствуют линейные и угловые деформации (относительное удлинение и относительный сдвиг).
Деформации делятся на упругие , исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные .
Гипотезы о деформируемом теле. Упругие деформации обычно (во всяком случае, в конструкционных материалах, таких, как металлы, бетон, дерево и др.) незначительны, поэтому принимаются следующие упрощающие положения:
1. Принцип начальных размеров. В соответствии с ним принимается, что уравнения равновесия для деформируемого тела могут быть составлены без учета изменения формы и размеров тела, т.е. как для абсолютно твердого тела.
2. Принцип независимости действия сил. В соответствии с ним, если к телу приложена система сил (несколько сил), то действие каждой из них можно рассматривать независимо от действия остальных сил.
Напряжения
Под действием внешних сил в теле возникают внутренние силы, являющиеся распределенными по сечениям тела. Для определения меры внутренних сил в каждой точке вводится понятие напряжения . Напряжение определяется как внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела. Пусть упруго-деформированное тело находится в состоянии равновесия под действием некоторой системы внешних сил (рис.1). Через точку (например, k ), в которой хотим определить напряжение, мысленно проводится произвольное сечение и отбрасывается часть тела (II) .Чтобы оставшаяся часть тела находилась в равновесии, взамен отброшенной части должны быть приложены внутренние силы. Взаимодействие двух частей тела происходит во всех точках проведенного сечения, а потому внутренние силы действуют по всей площади сечения. В окрестности исследуемой точки выделим площадку dА . Равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим dF . Тогда напряжение в окрестности точки будет (по определению)
Н/м 2 .
Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь, Н/м 2 .
В данной точке тела напряжение имеет множество значений, в зависимости от направления сечений, которых через точку можно провести множество. Следовательно, говоря о напряжении, необходимо указать сечение.
В общем случае напряжение направлено под некоторым углом к сечению. Это полное напряжение можно разложить на две составляющие:
1. Перпендикулярную плоскости сечения – нормальное напряжение s .
2. Лежащую в плоскости сечения – касательное напряжение t .
Определение напряжений. Задача решается в три этапа.
1. Через рассматриваемую точку проводится сечение, в котором хотят определить напряжение. Одна часть тела отбрасывается и ее действие заменяется внутренними силами. Если все тело находится в равновесии, то и оставшаяся часть также должна находиться в равновесии. Поэтому для сил, действующих на рассматриваемую часть тела, можно составить уравнения равновесия. В эти уравнения войдут как внешние, так и неизвестные внутренние силы (напряжения). Поэтому запишем их в виде
Первые слагаемые есть суммы проекций и суммы моментов всех внешних сил, действующих на оставшуюся после сечения часть тела, а вторые – суммы проекций и моментов всех внутренних сил, действующих в проведенном сечении. Как уже отмечено, в эти уравнения входят неизвестные внутренние силы (напряжения). Однако для их определения уравнений статики недостаточно , так как в противном случае пропадает разница между абсолютно твердым и деформируемым телом. Таким образом, задача определения напряжений является статически неопределимой .
2. Для составления дополнительных уравнений рассматриваются перемещения и деформации тела, в результате чего получают закон распределения напряжений по сечению.
3. Решая совместно уравнения статики и уравнения деформаций можно определить напряжения.
Силовые факторы. Условимся суммы проекций и суммы моментов внешних или внутренних сил называть силовыми факторами . Следовательно, силовые факторы в рассматриваемом сечении определяются как суммы проекций и суммы моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону этого сечения. Точно так же силовые факторы можно определить и по внутренним силам, действующим в рассматриваемом сечении. Силовые факторы, определенные по внешним и внутренним силам равны по величине и противоположны по знаку. Обычно в задачах бывают известны внешние силы, через которые и определяются силовые факторы, а по ним уже определяются напряжения.
Модель деформируемого тела
В сопротивлении материалов рассматривается модель деформируемого тела. Предполагается, что тело является деформируемым, сплошным и изотропным. В сопротивлении материалов рассматриваются преимущественно тела, имеющие форму стержней (иногда пластин и оболочек). Это объясняется тем, что во многих практических задачах схема конструкции приводится к прямолинейному стержню или к системе таких стержней (фермы, рамы).
Основные виды деформированного состояния стержней. Стержень (брус) – тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим (рис.15).
Рассмотрим стержень, находящийся в равновесии под действием приложенных к нему сил, как угодно расположенных в пространстве (рис.16).
Проводим сечение 1-1 и отбрасываем одну часть стержня. Рассмотрим равновесие оставшейся части. Воспользуемся прямоугольной системой координат, за начало которой примем центр тяжести поперечного сечения. Ось X направим вдоль стержня в сторону внешней нормали к сечению, оси Y и Z – главные центральные оси сечения. Используя уравнения статики найдем силовые факторы
три силы
три момента или три пары сил
Таким образом, в общем случае в поперечном сечении стержня возникают шесть силовых факторов. В зависимости от характера внешних сил, действующих на стержень, возможны различные виды деформации стержня. Основными видами деформаций стержня являются растяжение , сжатие , сдвиг , кручение , изгиб . Соответственно им простейшие схемы нагружения выглядят следующим образом.
Растяжение-сжатие. Силы приложены вдоль оси стержня. Отбросив правую часть стержня, выделим силовые факторы по левым внешним силам (рис.17)
Имеем один ненулевой фактор – продольную силу F .
Строим диаграмму силовых факторов (эпюру).
Кручение стержня. В плоскостях торцевых сечений стержня приложены две равные и противоположные пары сил с моментом М кр =Т , называемым крутящим моментом (рис.18).
Как видно, в поперечном сечении скручиваемого стержня действует только один силовой фактор – момент Т = F h .
Поперечный изгиб. Он вызывается силами (сосредоточенными и распределенными), перпендикулярными оси балки и расположенными в плоскости, проходящей через ось балки, а также парами сил, действующими в одной из главных плоскостей стержня.
Балки имеют опоры, т.е. являются несвободными телами, типичной опорой является шарнирно-подвижная опора (рис.19).
Иногда используется балка с одним заделанным и другим свободным концом – консольная балка (рис.20).
Рассмотрим определение силовых факторов на примере рис.21a. Сначала необходимо найти реакции опор R A и .
Определение 1
Механика твердого тела - обширный раздел физики, исследующий движение твердого тела под воздействием внешних факторов и сил.
Рисунок 1. Механика твердого тела. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Данное научное направление охватывает очень широкий круг вопросов в физике – в ней изучаются различные объекты, а также мельчайшие элементарные частицы вещества. В этих предельных случаях выводы механики представляют чисто теоретический интерес, предметом которого является также проектирование многих физических моделей и программ.
На сегодняшний день различают 5 видов движения твердого тела:
- поступательное движение;
- плоскопараллельное движение;
- вращательное движение вокруг неподвижной оси;
- вращательное вокруг неподвижной точки;
- свободное равномерное движение.
Любое сложное движение материального вещества может быть в итоге сведено к совокупности вращательного и поступательного движений. Фундаментальное и важное значение для всей этой тематики имеет механика движения твердого тела, предполагающая математическое описание вероятных изменений в среде и динамику, которая рассматривает движение элементов под действием заданных сил.
Особенности механики твердого тела
Твердое тело, которое систематически принимает разнообразные ориентации в любом пространстве, можно считать состоящим из огромного количества материальных точек. Это просто математический метод, помогающий расширить применимость теорий движения частиц, но не имеющий ничего общего с теорией атомного строения реального вещества. Поскольку материальные точки исследуемого тела будут направляться в разных направлениях с различными скоростями, приходится применять процедуру суммирования.
В этом случае, нетрудно определить кинетическую энергию цилиндра, если заранее известен вращающегося вокруг неподвижного вектора с угловой скоростью параметр. Момент инерции можно вычислить посредством интегрирования, и для однородного предмета равновесие всех сил возможно, если пластина не двигалась, следовательно, компоненты среды удовлетворяют условию векторной стабильности. В результате выполняется выведенное на изначальном этапе проектирования соотношение. Оба эти принципа составляют базу теории строительной механики и необходимы при возведении мостов и зданий.
Изложенное возможно обобщить на тот случай, когда отсутствуют неподвижные линии и физическое тело свободно вращается в любом пространстве. При таком процессе имеются три момента инерции, относящиеся к «ключевым осям». Проводившиеся постулаты в механике твердого вещества упрощаются, если пользоваться существующими обозначениями математического анализа, в которых предполагается предельный переход $(t → t0)$, так что нет надобности все время думать, как решить этот вопрос.
Интересно, что Ньютон первым применил принципы интегрального и дифференциального исчисления при решении сложных физических задач, а последующее становление механики как комплексной науки было делом таких выдающихся математиков, как Ж.Лагранж, Л.Эйлер, П.Лаплас и К.Якоби. Каждый из указанных исследователей находил в ньютоновском учении источник вдохновения для своих универсальных математических изысканий.
Момент инерции
При исследовании вращения твердого тела физики часто пользуются понятием момента инерции.
Определение 2
Моментом инерции системы (материального тела) относительно оси вращения называется физическая величина, которая равна сумме произведений показателей точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемого вектора.
Суммирование производится по всем движущимся элементарным массам, на которые разбивается физическое тело. Если изначально известен момент инерции исследуемого предмета относительно проходящей через его центр масс оси, то весь процесс относительно любой другой параллельной линии определяется теоремой Штейнера.
Теорема Штейнера гласит: момент инерции вещества относительно вектора вращения равен моменту его изменения относительно параллельной оси, которая проходит через центр масс системы, полученному посредством произведения масс тела на квадрат расстояния между линиями.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижного вектора каждая отдельная точка движется по окружности постоянного радиуса с определенной скоростью и внутренний импульс перпендикулярны этому радиусу.
Деформация твердого тела
Рисунок 2. Деформация твердого тела. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Рассматривая механику твердого тела, часто используют понятие абсолютно твердого тела. Однако в природе не существует таких веществ, так как все реальные предметы под влиянием внешних сил изменяют свои размеры и форму, то есть деформируются.
Определение 3
Деформация называется постоянной и упругой, если после прекращения влияния посторонних факторов тело принимает первоначальные параметры.
Деформации, которые сохраняются в веществе после прекращения взаимодействия сил, называются остаточными или пластическими.
Деформации абсолютного реального тела в механике всегда пластические, так как они после прекращения дополнительного влияния никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные изменения малы, то ими возможно пренебречь и исследовать более упругие деформации. Все виды деформации (сжатие или растяжение, изгиб, кручение) могут быть в итоге сведены к происходящим одновременно трансформациям.
Если сила движется строго по нормали к плоской поверхности, напряжение носит название нормальным, если же по касательной к среде – тангенциальным.
Количественной мерой, которая характеризует характеризующей деформации, испытываемой материальным телом, является его относительное изменение.
За пределом упругости в твердом теле появляются остаточные деформации и график, детально описывающий возвращение вещества в первоначальное состояние после окончательного прекращения действия силы, изображается не на кривой, а параллельно ей. Диаграмма напряжений для реальных физических тел напрямую зависит от различных факторов. Один и тот же предмет может при кратковременном воздействии сил проявлять себя как совершенно хрупкое, а при длительных - постоянным и текучим.
Лекция №1
Сопротивление материалов как научная дисциплина.
Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок.
Допущения о свойствах материала элементов конструкций.
Внутренние силы и напряжения
Метод сечений
Перемещения и деформации.
Принцип суперпозиции.
Основные понятия.
Сопротивление материалов как научная дисциплина: прочность, жесткость, устойчивость. Расчетная схема, физико-математическая модель работы элемента или части конструкции.
Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок: брус, стержень, балка, пластина, оболочка, массивное тело.
Внешние силы: объемные, поверхностные, распределенные, сосредоточенные; статические и динамические.
Допущения о свойствах материала элементов конструкций:материал сплошный, однородный, изотропный. Деформация тела: упругая, остаточная. Материал: линейно-упругий, нелинейно-упругий, упругопластический.
Внутренние силы и напряжения: внутренние силы, нормальные и касательные напряжения, тензор напряжений. Выражение внутренних усилий в поперечном сечении стержня через напряжения.
Метод сечений: определение составляющих внутренних сил в сечении стержня из уравнений равновесия отделенной части.
Перемещения и деформации: перемещение точки и его компоненты; линейные и угловые деформации, тензор деформаций.
Принцип суперпозиции: геометрически линейные и геометрически нелинейные системы.
Сопротивление материалов как научная дисциплина .
Дисциплины прочностного цикла: сопротивление материалов, теория упругости, строительная механика объединены общим названием «Механика твердого деформируемого тела ».
Сопротивление материалов - это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций.
Конструкцией принято называть механическую систему геометрически неизменяемых элементов, относительное перемещение точек которой возможно лишь в результате ее деформации.
Под прочностью конструкций понимают их способность сопротивляться разрушению – разделению на части, а также необратимому изменению формы под действием внешних нагрузок.
Деформация – это изменение относительного положения частиц тела , связанное с их перемещением.
Жесткость – это способность тела или конструкции сопротивляться возникновению деформации.
Устойчивость упругой системы называют ее свойство возвращаться в состояние равновесия после малых отклонений от этого состояния.
Упругость – это свойство материала полностью восстанавливать геометрическую форму и размеры тела после снятия внешней нагрузки.
Пластичность – это свойство твердых тел изменять свою форму и размеры под действием внешних нагрузок и сохранять ее после снятия этих нагрузок. Причем изменение формы тела (деформирование) зависит только от приложенной внешней нагрузки и не происходит само по себе с течением времени.
Ползучесть - это свойство твердых тел деформироваться под воздействием постоянной нагрузки (деформации растут со временем).
Строительной механикой называют науку о методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.
1.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок.
Моделью конструкции принято называть вспомогательный объект, заменяющий реальную конструкцию, представленную в наиболее общем виде.
Сопротивление материалов использует расчетные схемы.
Расчетная схема – это упрощенное изображение реальной конструкции, которое освобождено от ее несущественных, второстепенных особенностей и которое принимается для математического описания и расчета .
К числу основных типов элементов, на которые в расчетной схеме подразделяется целая конструкция, относятся: брус, стержень, пластина, оболочка, массивное тело.
Рис. 1.1 Основные типы элементов конструкций
Брус – это твердое тело, полученное перемещение плоской фигуры вдоль направляющей так, что его длина значительно больше двух других размеров.
Стержнем называется прямолинейный брус , который работает на растяжение/сжатие ( существенно превышает характерные размеры поперечного сечения h,b).
Геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений, будем называть осью стержня .
Пластина – это тело, у которого толщина существенно меньше его размеров a и b в плане.
Естественно искривленная пластина (кривая до загружения) называется оболочкой .
Массивное тело характерно тем, что все его размеры a ,b , и c имеют один порядок.
Рис. 1.2 Примеры стержневых конструкций.
Балкой называется брус, который испытывает изгиб в качестве основного способа нагружения.
Фермой называется совокупность стержней, соединенных шарнирно.
Рама – это совокупность балок, жестко соединенных между собой.
Внешние нагрузки подразделяют на сосредоточенные и распределенные .
Рис 1.3 Схематизация работы подкрановой балки.
Силу или момент , которые условно считают приложенными в точке, называютсосредоточенными .
Рис 1.4 Объемная, поверхностная и распределенная нагрузки.
Нагрузка, постоянная или очень медленно изменяющаяся во времени, когда скоростями и ускорениями возникающего движения можем пренебречь, называется статической.
Быстро изменяющуюся нагрузку называют динамической , расчет с учетом возникающего колебательного движения – динамическим расчетом.
Допущения о свойствах материала элементов конструкций.
В сопротивлении материалов используют условный материал, наделенный определенными идеализированными свойствами.
На рис. 1.5 изображены три характерные диаграммы деформирования, связывающие значения силы F и деформации при нагружении и разгрузке .
Рис. 1.5 Характерные диаграммы деформирования материала
Полная деформация складывается из двух составляющих упругой и пластической.
Часть суммарной деформации, исчезающей после снятия нагрузки, называется упругой .
Деформация, остающаяся после разгрузки, называется остаточной или пластической .
Упруго - пластический материал – это материал проявляющий упругие и пластические свойства.
Материал, в котором возникают только упругие деформации, называется идеально-упругим .
Если диаграмма деформирования выражена нелинейной зависимостью, то материал называется нелинейно-упругим, если линейной зависимостью, то линейно-упругим .
Материал элементов конструкций будем в дальнейшем считать сплошным, однородным, изотропным и линейно упругим.
Свойство сплошность означает, что материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции.
Свойство однородности означает, что весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами.
Материал называется изотропным , если его механические свойства по всем направлениям одинаковые (в противном случае анизотропным ).
Соответствие условного материала реальным материалам достигается тем, что в расчет элементов конструкций вводятся экспериментально получаемые усредненные количественные характеристики механических свойств материалов .
1.4 Внутренние силы и напряжения
Внутренние силы – приращение сил взаимодействия между частицами тела, возникающих при его нагружении.
Рис. 1.6 Нормальные и касательные напряжения в точке
Тело рассечено плоскостью (рис.1.6 а)и в этом сечении в рассматриваемой точке М выделена малая площадка , её ориентация в пространстве определяется нормалью n . Равнодействующую силу на площадке обозначим через . Среднюю интенсивность на площадке определим по формуле . Интенсивность внутренних сил в точке определим как предел
(1.1) Интенсивность внутренних сил передающихся в точке через выделенную площадку, называется напряжением на данной площадке .
Размерность напряжения .
Вектор определяет полное напряжение на данной площадке. Разложим его на составляющие (рис.1.6 б) так, что , где и –соответственно нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью n .
При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки М (рис.1.6 в) выделяют бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда со сторонами dx,dy,dz (проводят 6 - сечений). Полные напряжения, действующие на его гранях, раскладывают на нормальное и два касательных напряжения. Совокупность напряжений, действующих на гранях, представляют в виде матрицы (таблицы), которую называют тензор напряжений
Первый индекс у напряжения, например , показывает, что оно действует на площадке с нормалью, параллельной оси х, а второй показывает, что вектор напряжений параллелен оси у. У нормального напряжения оба индекса совпадают поэтому ставится один индекс.
Силовые факторы в поперечном сечении стержня и их выражение через напряжения.
Рассмотрим поперечное сечение стержня нагруженного стержня (рис 1.7 ,а). Внутренние силы, распределенные по сечению, приведем к главному вектору R ,приложенному в центре тяжести сечения, и главному моменту M . Далее разложим их на шесть компонент: три силы N,Qy,Qz и три момента Mx,My,Mz, называемые внутренними усилиями в поперечном сечении.
Рис. 1.7 Внутренние усилия и напряжения в поперечном сечении стержня.
Компоненты главного вектора и главного момента внутренних сил, распределенных по сечению, называются внутренними усилиями в сечении ( N- продольная сила ; Qy,Qz- поперечные силы , Mz,My-изгибающие моменты , Mx-крутящий момент) .
Выразим внутренние усилия через напряжения, действующие в поперечном сечении, предполагая их известными в каждой точке (рис. 1.7,в)
Выражение внутренних усилий через напряжения .
(1.3)
1.5 Метод сечений
При действии на тело внешних сил оно деформируется. Следовательно, меняется взаимное расположение частиц тела; в результате этого возникают дополнительные силы взаимодействия между частицами. Эти силы взаимодействия в деформированном теле есть внутренние усилия . Необходимо уметь определять значения и направления внутренних усилий через внешние силы, действующие на тело. Для этого используется метод сечений.
Рис. 1.8 Определение внутренних усилий методом сечений.
Уравнения равновесия для оставшейся части стержня.
Из уравнений равновесия определяем внутренние усилия в сечении a-a.
1.6 Перемещения и деформации.
Под действием внешних сил тело деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму (рис.1.9). Некоторая произвольная точка M переходит в новое положение M 1 . Полное перемещение MM 1 будем
разлагать на компоненты u, v, w , параллельные осям координат.
Рис 1.9 Полное перемещение точки и его компоненты.
Но перемещение данной точки еще не характеризует степень деформирования элемента материала у этой точки (пример изгиба балки с консолью).
Введем понятие деформаций в точке как количественную меру деформирования материала в её окрестности . Выделим в окрестности т.М элементарный параллелепипед (рис. 1.10). За счет деформации длины его ребер получат удлинение .
Рис 1.10 Линейная и угловая деформации элемента материала.
Линейные относительные деформации в точке определятся так():
Кроме линейных деформаций возникают угловые деформации или углы сдвига, представляющие малые изменения первоначально прямых углов параллелепипеда (например, в плоскости xy это будет ). Углы сдвига весьма малы и имеют порядок .
Введенные относительные деформации в точке сведем в матрицу
. (1.6)
Величины (1.6) количественно определяют деформацию материала в окрестности точки и составляют тензор деформаций.
Принцип суперпозиции.
Систему, в которой внутренние усилия, напряжения, деформации и перемещения прямо пропорциональны действующей нагрузке, называют линейно деформируемой (материал работает как линейно-упругий).
Ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние...
Механика деформируемого твердого тела - наука, в которой изучаются законы равновесия и движения твердых тел в условиях их деформирования при различных воздействиях. Деформация твердого тела заключается в том, что изменяются его размеры и форма. С этим свойством твердых тел как элементов конструкций, сооружений и машин инженер постоянно встречается в своей практической деятельности. Например, стержень под действием растягивающих сил удлиняется, балка, нагруженная поперечной нагрузкой, изгибается и т.п.
При действии нагрузок, а также при тепловых воздействиях в твердых телах возникают внутренние силы, которые характеризуют сопротивление тела деформации. Внутренние силы, отнесенные к единице площади, называются напряжениями.
Исследование напряженного и деформированного состояний твердых тел при различных воздействиях составляет основную задачу механики деформируемого твердого тела.
Сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести являются разделами механики деформируемого твердого тела. В технических, в частности строительных, вузах эти разделы имеют прикладной характер и служат для разработки и обоснования методов расчета инженерных конструкций и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Правильное решение этих задач является основой при расчете и проектировании конструкций, машин, механизмов и т.п., поскольку оно обеспечивает их надежность в течение всего периода эксплуатации.
Под прочностью обычно понимается способность безопасной работы конструкции, сооружения и их отдельных элементов, которая исключала бы возможность их разрушения. Потеря (исчерпание) прочности показана на рис. 1.1 на примере разрушения балки при действии силы Р.
Процесс исчерпания прочности без изменения схемы работы конструкции или формы ее равновесия обычно сопровождается нарастанием характерных явлений, таких, например, как появление и развитие трещин.
Устойчивость конструкции - это ее способность сохранять вплоть до разрушения первоначальную форму равновесия. Например, для стержня на рис. 1.2, а до определенного значения сжимающей силы первоначальная прямолинейная форма равновесия будет устойчивой. Если сила превысит некоторое критическое значение, то устойчивым будет искривленное состояние стержня (рис. 1.2, б). При этом стержень будет работать не только на сжатие, но и на изгиб, что может привести к быстрому его разрушению из-за потери устойчивости или к появлению недопустимо больших деформаций.
Потеря устойчивости очень опасна для сооружений и конструкций, поскольку она может произойти в течение короткого промежутка времени.
Жесткость конструкции характеризует ее способность препятствовать развитию деформаций (удлинений, прогибов, углов закручивания и т.п.). Обычно жесткость конструкций и сооружений регламентируется нормами проектирования. Например, максимальные прогибы балок (рис. 1.3), применяемых в строительстве, должны находиться в пределах /= (1/200 + 1/1000)/, углы закручивания валов обычно не превышают 2° на 1 метр длины вала и т.п.
Решение проблем надежности конструкций сопровождается поисками наиболее оптимальных вариантов с точки зрения эффективности работы или эксплуатации конструкций, расхода материалов, технологичности возведения или изготовления, эстетичности восприятия и т.п.
Сопротивление материалов в технических вузах является по существу первой в процессе обучения инженерной дисциплиной в области проектирования и расчета сооружений и машин. В курсе сопротивления материалов в основном излагаются методы расчета наиболее простых конструктивных элементов - стержней (балок, брусьев). При этом вводятся различные упрощающие гипотезы, с помощью которых выводятся простые расчетные формулы.
В сопротивлении материалов широко используются методы теоретической механики и высшей математики, а также данные экспериментальных исследований. На сопротивление материалов как на базовую дисциплину в значительной степени опираются дисциплины, изучаемые студентами на старших курсах, такие как строительная механика, строительные конструкции, испытание сооружений, динамика и прочность машин и т.д.
Теория упругости, теория ползучести, теория пластичности являются наиболее общими разделами механики деформируемого твердого тела. Вводимые в этих разделах гипотезы носят общий характер и в основном касаются поведения материала тела в процессе его деформирования под действием нагрузки.
В теориях упругости, пластичности и ползучести используются по возможности точные или достаточно строгие методы аналитического решения задач, что требует привлечения специальных разделов математики. Получаемые здесь результаты позволяют дать методы расчета более сложных конструктивных элементов, например пластин и оболочек, разработать методы решения специальных задач, таких, например, как задача о концентрации напряжений вблизи отверстий, а также установить области использования решений сопротивления материалов.
В тех случаях, когда механика деформируемого твердого тела не может дать достаточно простые и доступные для инженерной практики методы расчета конструкций, используются различные экспериментальные методы определения напряжений и деформаций в реальных конструкциях или в их моделях (например, метод тензометрии, поляризационно-оптический метод, метод голографии и т.п.).
Формирование сопротивления материалов как науки можно отнести к середине прошлого века, что было связано с интенсивным развитием промышленности и строительством железных дорог.
Запросы инженерной практики дали импульс исследованиям в области прочности и надежности конструкций, сооружений и машин. Ученые и инженеры в этот период разработали достаточно простые методы расчета элементов конструкций и заложили основы дальнейшего развития науки о прочности.
Теория упругости начала развиваться в начале XIX века как математическая наука, не имеющая прикладного характера. Теория пластичности и теория ползучести как самостоятельные разделы механики деформируемого твердого тела сформировались в XX веке.
Механика деформируемого твердого тела является во всех своих разделах постоянно развивающейся наукой. Разрабатываются новые методы определения напряженного и деформированного состояний тел. Широкое применение получили различные численные методы решения задач, что связано с внедрением и использованием ЭВМ практически во всех сферах науки и инженерной практики.
