Квадрат дюрера решение. Магические квадраты кхаджурахо, дюрера и золотая пропорция
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Родиной магических квадратов считают Китай. В Китае существует учение Фэн-шуй, согласно которому цвет, форма и физическое расположение каждого элемента в пространстве влияет на поток Ци, замедляя его, перенаправляя его или ускоряя его, что напрямую влияет на уровень энергии жителей. Для познания тайн мира боги послали императору Ю (Yu) древнейший символ, квадрат Ло Шу (Ло – река).
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ
Легенда гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха Шу. Люди, приносящие жертвы реке, увидели черепаху и сразу признали ее божеством. Соображения древних мудрецов показались императору Ю настолько резонными, что он приказал увековечить изображение черепахи на бумаге и скрепил его своей императорской печатью. А иначе как бы мы об этом событии узнали?
Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек. Точки были нанесены упорядоченно, это привело древних философов к мысли о том, что квадрат с числами на панцире черепахи служит моделью пространства – картой мира, составленной мифическим основателем китайской цивилизации Хуан-ди. В самом деле, сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям квадрата одинакова M=15 и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года.
Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти.
Четные числа (символы Земли) Ло Шу были нанесены на теле черепахи в виде черных точек, или Инь символов, а нечетные числа (символы Неба) – в виде белых точек, или Ян символов. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Не исключено, что современное изображение цифры 5, размещенной в центре композиции, обязано китайскому символу двуединственности Ян и Инь.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ИЗ КХАДЖУРАХО
Восточная комната
Магия Джозефа Редьярда Киплинга, создавшего образы Маугли, Багиры, Балу, Шер-Хана и, конечно, Табаки, началась накануне двадцатого века. За полстолетия до этого, в феврале 1838, года молодой британский офицер бенгальских инженерных войск Т.С. Берт, заинтересованный разговором слуг, несших его паланкин, отклонился от маршрута и наткнулся на древние храмы в джунглях Индии.
На ступенях храма Вишванатха офицер нашел надпись, свидетельствующую о древности сооружений. Спустя короткое время энергичный генерал-майор А. Каннингем начертил подробные планы Кхаджурахо. Были начаты раскопки, увенчавшиеся сенсационным открытием 22 храмов. Возвели храмы махараджи их династии Чанделов. После распада их царства джунгли поглотили постройки на тысячу лет. Найденный среди изображений обнаженных богов и богинь квадрат четвертого порядка поражал воображение.
Мало того, что у этого квадрата суммы по строкам, столбцам и диагоналям совпадали и равнялись 34. Они совпадали также по ломанным диагоналям, образующимся при сворачивании квадрата в тор, причем в обоих направлениях. За подобное колдовство цифр такие квадраты называют «дьявольскими» (или «пандиагональными», или «насик»).
Безусловно, это свидетельствовало о необычных математических способностях их создателей, превосходящих колонизаторов. Что неизбежно почувствовали люди в белых пробковых шлемах.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Знаменитый немецкий художник начала XVI века Альбрехт Дюрер составил первый в европейском искусстве магический квадрат 4х4. Сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали, а также, что удивительно, в каждой четверти (даже в центральном квадрате) и даже сумма угловых чисел равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). В средних квадратах первого столбика внесены исправления – цифры деформированы.
В картине с оккультной крылатой мышью Сатурном магический квадрат сложен крылатым разумом Юпитером, которые друг другу противостоят. Квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Воистину этот квадрат своей безупречной упорядоченностью отражает меланхолию, охватившую художника.
Утренний сон.
Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов автора.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
В середине XVI в. в Европе появились сочинения, в которых в качестве объектов математического исследования предстали магические квадраты. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, основоположников современной науки, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.
Магический , или волшебный квадрат – это квадратная таблица, заполненная n 2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Определение условное, поскольку древние придавали также значение, например, цвету.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n 2 . Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2 , хотя случай n = 1 тривиален – квадрат состоит из одного числа.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
M = n (n 2 + 1) /2
Первые значения магических констант приведены в таблице
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1 .
Существует только один нормальный квадрат третьего порядка. Его знали многие народы. Расположение чисел в квадрате Ло Шу сходно с символическими обозначениями духов в каббале и знаками индейской астрологии.
Известен также как квадрат Сатурна. Некоторые тайные общества в Средние века видели в нем "каббалу девяти палат". Несомненно, оттенок запретного волшебства много значил для сбережения его изображений.
Он был важен в средневековой нумерологии, часто использовался как амулет или средство для гадания. Каждая ячейка его отвечает мистической букве или иному символу. Прочитанные вместе вдоль определенной линии, эти знаки передавали оккультные сообщения. Цифры, составляющие дату рождения, расставлялись в ячейках квадрата и затем расшифровывались в зависимости от значения и местоположения цифр.
Среди пандиагональных, как их именуют еще, дьявольских магических квадратов выделяют симметричные – идеальные. Дьявольский квадрат остается дьявольским, если производить его поворот, отражение, перестановку строки сверху вниз и наоборот, зачеркивание столбца справа или слева с приписыванием его с противоположной стороне. Всего выделяют пять преобразований, схема последнего приведена на рисунке
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остается только три существенно различных дьявольских квадрата 4×4:
Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, обнаружил, что, соединив одну за другой клетки только с четными или только с нечетными числами магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор. Придуманный им узор для вентиляционной решетки в потолке Торговой палаты в Рочестере (штат Нью-Йорк), где он жил, построен из магической ломаной талисмана Ло-Шу. Брэгдон использовал «магические линии» как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок.
Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям), то получится нечто вроде паркета, в котором числа, стоящие в любой группе клеток 4х4, будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырех клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены – по вертикали, по горизонтали или по диагонали, – в сумме всегда дают постоянную квадрата. Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».
ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ
Латинский квадрат – разновидность неправильных математических квадратов, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу).
Латинские квадраты существуют для любого n. Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы. Название «латинский квадрат» берет начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.
Два латинских квадрата называются ортогональными , если различны все упорядоченные пары символов (a,b), где a – символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b – символ в той же клетке второго латинского квадрата.
Ортогональные латинские квадраты существуют для любого порядка, кроме 2 и 6. Для n являющихся степенью простого числа есть набор n–1 попарно ортогональных латинских квадратов. Если в каждой диагонали латинского квадрата все элементы различны, такой латинский квадрат называется диагональным . Пары ортогональных диагональных латинских квадратов существуют для всех порядков, кроме 2, 3 и 6. Латинский квадрат часто встречается в задачах составления расписания, поскольку в строках и столбцах числа не повторяются.
Квадрат из пар элементов двух ортогональных латинских квадратов называется греко-латинский квадратом . Подобные квадраты часто используются для построения магических квадратов и в усложненных задачах о составлении расписания.
Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Ни одного квадрата 6 порядка он не нашел. Им была высказана гипотеза, что не существует квадратов четных порядков, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 Гастон Терри перебором подтвердил гипотезу для 6 порядка. Но в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими греко-латинский квадрат порядка 10.
ПОЛИМИНО АРТУРА КЛАРКА
Полимино – по сложности его, безусловно, относится к категории труднейших математических квадратов. Вот как о нем пишет писатель-фантаст А. Кларк – ниже размещен отрывок из книги "Земная Империя". Очевидно, что Кларк, проживая на своем острове, он жил на Цейлоне – и его философия отрыва от социума интересна сама по себе, увлекся развлечением, которому учит бабушка мальчика, и передал его нам. Предпочтем это живое описание имеющимся систематизациям, которые передают, возможно, суть, но не дух игры.
– Ты уже достаточно большой мальчик, Дункан, и сумеешь понять эту игру… впрочем, она куда больше, чем игра. Вопреки словам бабушки, игра не впечатлила Дункана. Ну что можно сделать из пяти белых пластмассовых квадратиков?
– Прежде всего,– продолжала бабушка,– тебе нужно проверить, сколько различных узоров ты сумеешь сложить из квадратиков.
– А они при этом должны лежать на столе? – спросил Дункан.
– Да, они должны лежать, соприкасаясь. Перекрывать один квадратик другим нельзя.
Дункан принялся раскладывать квадратики.
– Ну, я могу выложить их все в прямую линию,– начал он.– Вот так… А потом могу переложить две штуки и получить букву L… А если я возьмусь за другой край, то получится буква U…
Мальчик быстро составил полдюжины сочетаний, потом еще и вдруг обнаружил, что они повторяют уже имеющиеся.
– Может, я тупой, но это все.
Дункан упустил самую простую из фигур – крест, для создания которой достаточно было выложить четыре квадратика по сторонам пятого, центрального.
– Большинство людей начинают как раз с креста,– улыбнулась бабушка.– По-моему, ты поторопился объявить себя тупым. Лучше подумай: могут ли быть еще какие-нибудь фигуры?
Сосредоточенно двигая квадратики, Дункан нашел еще три фигуры, после чего прекратил поиски.
– Теперь уже точно все, – уверенно заявил он.
– А что ты скажешь про такую фигуру?
Слегка передвинув квадратики, бабушка сложила из них подобие горбатой буквы F.
– И вот еще одна.
Дункан чувствовал себя последним идиотом, и бабушкины слова легли бальзамом на его смущенную душу:
– Ты просто молодец. Подумаешь, упустил всего две фигуры. А общее число фигур равно двенадцати. Не больше и не меньше. Теперь ты знаешь их все. Ищи хоть целую вечность – больше не найдешь ни одной.
Бабушка смела в угол пять белых квадратиков и выложила на стол дюжину ярких разноцветных пластиковых кусочков. Это были те самые двенадцать фигур, но уже в готовом виде, и каждая состояла из пяти квадратиков. Дункан уже был готов согласиться, что никаких других фигур действительно не существует.
Но раз бабушка выложила эти разноцветные полоски, значит, игра продолжается, и Дункана ждал еще один сюрприз.
– А теперь, Дункан, слушай внимательно. Эти фигуры называются «пентамино». Название произошло от греческого слова «пента», что значит «пять». Все фигуры равны по площади, поскольку каждая состоит из пяти одинаковых квадратиков. Фигур двенадцать, квадратиков – пять, следовательно, общая площадь будет равняться шестидесяти квадратикам. Правильно?
– Мм…да.
– Слушай дальше. Шестьдесят – замечательное круглое число, которое можно составить несколькими способами. Самый легкий – умножить десять на шесть. Такую площадь имеет эта коробочка: по горизонтали в ней умещается десять квадратиков, а по вертикали – шесть. Стало быть, в ней должны уместиться все двенадцать фигур. Просто, как составная картинка-загадка.
Дункан ожидал подвоха. Бабушка обожала словесные и математические парадоксы, и далеко не все они были понятии ее десятилетней жертве. Но на сей раз обошлось без парадоксов. Дно коробки было расчерчено на шестьдесят квадратиков, значит… Стоп! Площадь площадью, но ведь фигуры имеют разные очертания. Попробуй-ка загони их в коробку!
– Оставляю тебе эту задачу для самостоятельного решения,– объявила бабушка, видя, как он уныло двигает пентамино по дну коробки.– Поверь мне, их можно собрать.
Вскоре Дункан начал крепко сомневаться в бабушкиных словах. Ему с легкостью удавалось уложить в коробку десять фигур, а один раз он ухитрился втиснуть и одиннадцатую. Но очертания незаполненного пространства не совпадали с очертаниями двенадцатой фигуры, которую мальчик вертел в руках. Там был крест, а оставшаяся фигура напоминала букву Z…
Еще через полчаса Дункан уже находился на грани отчаяния. Бабушка погрузилась в диалог со своим компьютером, но время от времени заинтересованно поглядывала на него, словно говоря: «Это не так легко, как ты думал».
В свои десять лет Дункан отличался заметным упрямством. Большинство его сверстников давным-давно оставили бы всякие попытки. (Только через несколько лет он понял, что бабушка изящно проводила с ним психологический тест.) Дункан продержался без посторонней помощи почти сорок минут…
Тогда бабушка встала от компьютера и склонилась над головоломкой. Ее пальцы передвинули фигуры U, X и L…
Дно коробки оказалось целиком заполненным! Все куски головоломки заняли нужные места.
– Конечно, ты заранее знала ответ! – обиженно протянул Дункан.
– Ответ? – переспросила бабушка.– А как ты думаешь, сколькими способами можно уложить пентамино в эту коробку?
Вот она, ловушка. Дункан провозился почти час, так и не найдя решения, хотя за это время он перепробовал не меньше сотни вариантов. Он думал, что существует всего один способ. А их может быть… двенадцать? Или больше?
– Так сколько, по-твоему, может быть способов? – снова спросила бабушка.
– Двадцать,– выпалил Дункан, думая, что уж теперь бабушка не будет возражать.
– Попробуй снова.
Дункан почуял опасность. Забава оказалась куда хитрее, чем он думал, и мальчик благоразумно решил не рисковать.
– Вообще-то, я не знаю,– сказал он, мотая головой.
– А ты восприимчивый мальчик,– снова улыбнулась бабушка.– Интуиция – опасный проводник, но порою другого у нас нет. Могу тебя обрадовать: угадать правильный ответ здесь невозможно. Существует более двух тысяч различных способов укладки пентамино в эту коробку. Точнее, две тысячи триста тридцать девять. И что ты на это скажешь?
Вряд ли бабушка его обманывала. Но Дункан был настолько раздавлен своей неспособностью найти решение, что не удержался и выпалил:
– Не верю!
Элен редко выказывала раздражение. Когда Дункан чем-то обижал ее, она просто становилась холодной и отрешенной. Однако сейчас бабушка лишь усмехнулась и что-то выстучала на клавиатуре компьютера.
– Взгляни сюда,– предложила она.
На экране появился набор из двенадцати разноцветных пентамино, заполняющих прямоугольник размером десять на шесть. Через несколько секунд его сменило другое изображение, где фигуры, скорее всего, располагались уже по-другому (точно сказать Дункан не мог, поскольку не запомнил первую комбинацию). Вскоре изображение опять поменялось, потом еще и еще… Так продолжалось, пока бабушка не остановила программу.
– Даже при большой скорости компьютеру понадобится пять часов, чтобы перебрать все способы,– пояснила бабушка.– Можешь поверить мне на слово: все они разные. Если бы не компьютеры, сомневаюсь, что люди нашли бы все способы обычным перебором вариантов.
Дункан долго глядел на двенадцать обманчиво простых фигур. Он медленно переваривал бабушкины слова. Это было первое в его жизни математическое откровение. То, что он так опрометчиво посчитал обыкновенной детской игрой, вдруг стало разворачивать перед ним бесконечные тропинки и горизонты, хотя даже самый одаренный десятилетний ребенок вряд ли сумел бы ощутить безграничность этой вселенной.
Но тогда восторг и благоговение Дункана были пассивными. Настоящий взрыв интеллектуального наслаждения случился позже, когда он самостоятельно отыскал свой первый способ укладки пентамино. Несколько недель Дункан везде таскал с собой пластмассовую коробочку. Все свободное время он тратил только на пентамино. Фигуры превратитесь в личных друзей Дункана. Он называл их по буквам, которые те напоминали, хотя в ряде случае сходство было более чем отдаленным. Пять фигур – F, I, L, Р, N шли вразнобой, зaто остальные семь повторяли последовательность латинского алфавита: Т, U, V, W, X, Y, Z.
Однажды, в состоянии не то геометрического транса, не то геометрического экстаза, который больше не повторялся, Дункан менее чем за час нашел пять вариантов укладки. Возможно, даже Ньютон, Эйнштейн или Чэнь-цзы в свои моменты истины не ощущали большего родства с богами математики, чем Дункан Макензи.
Вскоре он сообразил, причем сам, без бабушкиных подсказок, что пентамино можно уложить в прямоугольник с другими размерами сторон. Довольно легко Дункан нашел несколько вариантов для прямоугольников 5 на 12 и 4 на 15. Затем он целую неделю мучился, пытаясь загнать двенадцать фигур в более длинный и узкий прямоугольник 3 на 20. Снова и снова он начинал заполнять коварное пространство и… получат дыры в прямоугольнике и «лишние» фигуры.
Сокрушенный, Дункан наведался к бабушке, где его ждал новый сюрприз.
– Я рада твоим опытам,– сказала Элен.– Ты исследовал все возможности, пытаясь вывести общую закономерность. Так всегда поступают математики. Но ты ошибаешься: решения для прямоугольника три на двадцать все-таки существуют. Их всего два, и если ты найдешь одно, то сумеешь отыскать и второе.
Окрыленный бабушкиной похвалой, Дункан с новыми силами продолжил «охоту на пентамино». Еще через неделю он начал понимать, какой непосильный груз взвалил на свои плечи. Количество способов, которым можно расположить двенадцать фигур, просто ошеломляло Дункана. Более того, ведь каждая фигура имела четыре положения!
И вновь он явился к бабушке, выложив ей все свои затруднения. Если для прямоугольника 3 на 20 существовало только два варианта, сколько же времени понадобится, чтобы их найти?
– Изволь, я тебе отвечу,– сказала бабушка.– Если бы ты действовал как безмозглый компьютер, занимаясь простым перебором комбинаций и тратя на каждую по одной секунде, тебе понадобилось бы…– Здесь она намеренно сделала паузу.– Тебе понадобилось бы более шести миллионов… да, более шести миллионов лет.
Земных или титанских? Этот вопрос мгновенно возник в мозгу Дункана. Впрочем, какая разница?
– Но ты отличаешься от безмозглого компьютера,– продолжала бабушка.– Ты сразу видишь заведомо непригодные комбинации, и потому тебе не надо тратить время на их проверку. Попробуй еще раз.
Дункан повиновался, уже без энтузиазма и веры в успех. А потом ему в голову пришла блестящая идея.
Карл сразу же заинтересовался пентамино и принял вызов. Он взял у Дункана коробочку с фигурами и исчез на несколько часов.
Когда Карл позвонил ему, вид у друга был несколько расстроенный.
– А ты уверен, что эта задача действительно имеет решение? – спросил он.
– Абсолютно уверен. Их целых два. Неужели ты так и не нашел хотя бы одно? Я-то думал, ты здорово соображаешь в математике.
– Представь себе, соображаю, потому и знаю, каких трудов стоит твоя задачка. Нужно проверить… миллион миллиардов возможных комбинаций.
– А откуда ты узнал, что их столько? – спросил Дункан, довольный тем, что хоть чем-то сумел заставить друга растерянно чесать в затылке.
Карл скосил глаза на лист бумаги, заполненный какими-то схемами и цифрами.
– Если исключить недопустимые комбинации и учесть симметрию и возможность поворота… получается факториал… суммарное число перестановок… ты все равно не поймешь. Я тебе лучше покажу само число.
Он поднес к камере другой лист, на котором была крупно изображена внушительная вереница цифр:
1 004 539 160 000 000.
Дункан ничего не смыслил в факториалах, однако в точности подсчетов Карла не сомневался. Длиннющее число ему очень понравилось.
– Так ты собрался бросить эту задачу? – осторожно спросил Дункан.
– Еще чего! Я просто хотел тебе показать, насколько она трудна.
Лицо Карла выражало мрачную решимость. Произнеся эти слова, он отключился.
На следующий день Дункана ожидало одно из величайших потрясений в его мальчишеской жизни. С экрана на него смотрело осунувшееся, с воспаленными глазами, лицо Карла. Чувствовалось, он провел бессонную ночь.
– Ну вот и все,– усталым, но торжествующим голосом возвестил он.
Дункан едва верил своим глазам. Ему казалось, что шансы на успех ничтожно малы. Он даже убедил себя в этом. И вдруг… Перед ним лежал прямоугольник три на двадцать, заполненный всеми двенадцатью фигурами пентамино.
Потом Карл поменял местами и перевернул фигуры на концах, оставив центральную часть нетронутой. От усталости у него слегка дрожали пальцы.
– Это второе решение,– пояснил он.– А теперь я отправляюсь спать. Так что спокойной ночи или доброго утра – это уж как тебе угодно.
Посрамленный Дункан еще долго глядел в погасший экран. Он не знал, какими путями двигался Карл, нащупывая решение головоломки. Но он знал, что его друг вышел победителем. Наперекор всему.
Он не завидовал победе друга. Дункан слишком любил Карла и всегда радовался его успехам, хотя нередко сам оказывался побежденной стороной. Но в сегодняшнем триумфе друга было что-то иное, что-то почти магическое.
Дункан впервые увидел, какой силой обладает интуиция. Он столкнулся с загадочной способностью разума вырываться за пределы фактов и отбрасывать в сторону мешающую логику. За считаные часы Карл выполнил колоссальную работу, превзойдя самый быстродействующий компьютер.
Впоследствии Дункан узнал, что подобными способностями обладают все люди, но используют они их крайне редко – возможно, один раз в жизни. У Карла этот дар получил исключительное развитие… С того момента Дункан стал серьезно относиться к рассуждениям друга, даже самым нелепым и возмутительным с точки зрения здравого смысла.
Это было двадцать лет назад. Дункан не помнил, куда делись пластмассовые фигуры пентамино. Возможно, так и остались у Карла.
Бабушкин подарок стал их новым воплощением, теперь уже в виде кусочков разноцветного камня. Удивительный, нежно-розового оттенка гранит был с холмов Галилея, обсидиан – с плато Гюйгенса, а псевдомрамор – с гряды Гершеля. И среди них… сначала Дункан подумал, что ошибся. Нет, так оно и есть: то был самый редкий и загадочный минерал Титана. Крест каменного пентамино бабушка сделала из титанита. Этот иссиня-черный, с золотистыми вкраплениями минерал не спутаешь ни с чем. Таких крупных кусков Дункан еще не видел и мог только догадываться, какова его стоимость.
– Не знаю, что и сказать,– пробормотал он.– Какая красота. Такое я вижу в первый раз.
Он обнял худенькие бабушкины плечи и вдруг почувствовал, что они дрожат и ей никак не унять эту дрожь. Дункан бережно держал ее в своих объятиях, пока плечи не перестали дрожать. В такие мгновения слова не нужны. Отчетливее, чем прежде, Дункан понимал: он последняя любовь в опустошенной жизни Элен Макензи. И теперь он улетает, оставляя ее наедине с воспоминаниями.
БОЛЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).
Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Самым ценным в этом квадрате является то, что его довольно просто превратить в идеальный магический квадрат, в то время как построение идеальных магических квадратов – нелегкая задача. Франклин называл этот квадрат "самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворенных чародеями".
ХIII научно-практическая конференция школьников
«Магические квадраты»
Ученицы 8 «А» класса
ПТП лицея
Шолоховой Анны
Руководитель Анохина М.Н.
История создания моей работы………………………………………………2
Магический квадрат.......................................................................3
Исторически значимые магические квадраты...................4-5
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7
Квадрат Альбрехта Дюрера...........................................................8
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9
Дьявольский магический квадрат.........................................10-11
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.....12
СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15
Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18
Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23
БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25
Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27
История создания моей работы .
Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые.
Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби.
После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку.
Магический квадрат.
Магический, или волшебный квадрат-это квадратная таблица, заполненная n числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n .
Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой , М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.
| Порядок n |
|||||||||||
Первые значения магических констант приведены в следующих таблице.
Исторически значимые магические квадраты.
В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица.
У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.
Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Рис.1
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо.
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков.
Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка.
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.
Рис.3 рис.4
Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в которой также с магической константой совпадает сумма чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Такие квадраты называют ещё пандиагональными .
Существует 48 дьявольских магических квадратов 4х4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и их дополнительную симметрию – торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата:
Рис. 5 рис. 6
Однако было доказано, что (рис.7) простейшими перестановками чисел получаются первые два квадрата (рис.5;6). То есть третий вариант- это базовый дьявольский квадрат, из которого различными преобразованиями можно построить все остальные.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n=4k+2 (k=1,2,3…).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных пандиагональных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.
Найти все магические квадраты порядка n удается только для, n=3,4 поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4.Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (х,y) поставить число.
Ещё проще построение выполнить следующим образом, берется матрица n x n.Внутри её строится ступенчатый ромб. В нем ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом чисел. Определяется значение центральной ячейки С.
Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка С-1; нижняя левая ячейка С+1; нижняя правая ячейка С-n; верхняя левая ячейка С+n.
СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.
Каким же образом составляют магические квадраты?
Создание магического квадрата «Ло-Шу».
Задача : Квадрат 3х3, составить из цифр от 1 до 9, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.
Решение: Решим задачу, не прибегая к перебору одной за другой всех перестановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во-вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центрального, которое войдёт четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4*15=3х+3*15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.
Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем углу. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. Значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4и2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15-9-5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. Тем самым, магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «Ло-Шу».
Конечно, для 9 можно выбрать другие три места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. Всего получается 4*2=8 различных магических квадратов из трёх строк и трёх столбцов (или, как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить на «Ло-Шу» либо поворачивая квадрат на 180,90 или 270. Еще возможен вариант зеркального отображения.
Квадрат
«Ло-Шу»
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Создание магического квадрата
Альбрехта Дюрера.
Задача : Создать магический квадрат 4х4, из цифр от 1 до 16, так, что бы суммы чисел в каждых строках, столбцах и по диагоналям были равны.
Решение
: Сумма всех чисел от 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться:136:4=34. Но если просуммировать все числа, во-вторых, в столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдёт один раз, за исключением центральных, которые войдут дважды. Этими числами будут 10,11,6,7. После чего доставим остальные числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 в остальные ячейки
Квадрат Альбрехта Дюрера
Судоку.
В переводе с Японского «су» означает «цифра», а «доку» - «стоящая отдельно».
Не надо гадать или капаться в книгах – только логика и внимательность!
Задача: заполните пустые клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в любой строке, любом столбце и в каждом из 9 блоков 3х3 цифра не повторялась.
Решение: шаг 1
Посмотрим на выделенный ряд. В нем не хватает только двух цифр: 1 и 2.Взглянем на первую пустую клетку справа. Можем мы вписать туда 1? Нет. Потому что в этой колонке 1 уже есть, а повторяться эти цифры в колонке не могут. Значит, в эту клетку мы можем вписать лишь 2. Так и сделаем. Теперь нам осталось только вписать цифру 1 в пустую, последнюю клетку в этом ряду, и ряд заполнен.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Давайте посмотрим на выделенную колонку: в ней также не хватает всего двух цифр- 2 и 7. Цифру 7 мы не можем вписать в первую сверху пустую клетку этой колонки, потому что в пересекающем колонку ряду уже есть цифра 7. Зато мы можем вписать в неё цифру 2, что и делаем! А для цифры 7 остается только одна пустая
клетка в этой колонке - вторая клетка снизу. Смело в ней пишем цифру 7- колонка заполнена!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Ну а теперь давайте взглянем на центральный блок клеток: в нем осталась только одна пустая клетка, то есть недостает всего лишь одной цифры. Посмотрим внимательно- это цифра 9, так как все остальные цифры уже стоят на своих местах. Пишем снова в клетку цифру 9... и снова «осматриваемся» - и у нас снова есть один ряд и одна колонка. В которых не хватает по две цифры. Что дальше? Ответ мы найдем сами- шаг 1, шаг 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Данные числа.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.
Квадрат в привычном виде (рис. 6.1):
Рисунок 6.1
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры - 1514.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры.
Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера.
Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 6.2.
Рисунок 6.2
Свойства данного квадрата:.
Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата - 34 .
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5 . Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.
Свойство 6 . Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата.
Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.
Свойство 8 . В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21. мозг клетка квадрат судоку
Свойство 9 . Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438
122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 6.3), то:
- · сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
- · равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
- 122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
- 123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624
Рисунок 6.3
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 5.2
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 5.4 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
Рисунок 6.4
В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств в квадрате с рис. 6.4.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.
Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру “Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Рис. 3
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Рис. 4
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1 . Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+ n 2 .
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Рис. 5
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
|
На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр этого и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34. ВведениеНа основе теоретического анализа квадратов Кхаджурахо, Дюрера и подобных им квадратов 4×4 выявлены особенности их «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Магический квадрат – квадратная таблица n×n, заполненная n 2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самый ранний уникальный магический квадрат 4×4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве (1514г.). Сумма чисел квадрата Дюрера на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17. Существует 48 пандиагональных квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).  Основная частьМною проанализирована «структура» пандиагональных квадратов 4×4 и выявлены инвариантные части их строения (рисунок 3). Инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Различные варианты симметричного комбинирования этих числовых пар образуют множество пандиагональных квадратов 4×4.  Квадрат Дюрера (и ему подобные пандиагональные квадраты 4×4) обладают симметрией золотой пропорции. Например, на рисунке 4 показано красными и синими квадратами варианты симметрий, при которых среднее арифметическое значение от суммы красных составляющих квадратов в возможных позициях (4 или 2, при вращении в разные стороны) равно 51. Таким образом, сумма всех чисел квадрата – 136, из которых 85 – синие, 51 – красные. 136/85=1,6; 85/51=1,667.  На основе квадрата Дюрера нами построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами симметрии пандиагональных квадратов 4×4 (рисунок 5). Подобное «преобразование» стало возможным при расположении вертикальных столбцов чисел квадрата Дюрера под определенным углом, образуя, таким образом, куб в кубе. При этом свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов построенной фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.  Заключение
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter . Рекомендуем другие статьи |
