Разложение числа на множители. Простые и составные числа Разложение числа на простые множители
Данный онлайн-калькулятор предназначен для разложения функции на множители.
Например, разложить на множители: x 2 /3-3x+12 . Запишем как x^2/3-3*x+12 . Также можно использовать и этот сервис , где все выкладки сохраняются в формате Word .
Например, разложить на слагаемые . Запишем как (1-x^2)/(x^3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .
Примечание : число "пи" (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .
- Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
- Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .
см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)
Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Методы разложения на множители
Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:- Использование формул сокращенного умножения.
- Поиск общего множителя.
Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.
Определения:
Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.
Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.
Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.
Замечания:
- В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
- Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
- Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.
Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10. 15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150. |
|
Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30. 5 - число простое. 30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом. |
|
Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания. |
|
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей. |
При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:
Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108. |
|
Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54. |
|
Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27. |
|
Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1. |
|
- Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
- Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.
Рассмотрим примеры:
4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13. |
|
11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11. 11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка. |
Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a. |
|
Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30. |
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
- Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
- Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
- Интернет-портал Matematika-na.ru ().
- Интернет-портал Math-portal.ru ().
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
- Другие задания: № 133, № 144.
Всё начинается с
геометрической прогрессии. На первой
лекции по рядам (см. раздел 18.1.
Основные определения
)
мы доказали, что эта функция является
суммой ряда
,
и ряд сходится к функции при
.
Итак,
.
Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х , получим
при замене х
на
получаем
и т.д.; область
сходимости всех этих рядов одна и та
же:
.
2.
.
Все производные
этой функции в точке х
=0
равны
,
поэтому ряд имеет вид
.
Область сходимости
этого ряда - вся числовая ось (пример 6
раздела 18.2.4.3.
Радиус сходимости, интервал сходимости
и область сходимости степенного ряда
),
поэтому
при
.
Как следствие, остаточный член формулы
Тейлора
.
Поэтому ряд сходится к
в любой точке
х
.
3.
.
Этот ряд абсолютно
сходится при
,
и его сумма действительно равна
.
Остаточный член формулы Тейлора имеетвид
,
где
или
- ограниченная функция, а
(это общий член предыдущего разложения).
4.
.
Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:
Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.
5. Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , .
6.
.
Ряд для этой функции называется биномиальным рядом . Здесь мы будем вычислять производные.
…Ряд Маклорена имеет вид
Ищем интервал
сходимости:
, следовательно, интервал сходимости
есть
.
Исследование остаточного члена и
поведение ряда на концах интервала
сходимости проводить не будем; оказывается,
что при
ряд абсолютно сходится в обеих точках
,
при
ряд условно сходится в точке
и расходится в точке
,
при
расходится в обеих точках.
7.
.
Здесь мы воспользуемся
тем, что
.
Так как ,
то, после почленного интегрирования,
Область сходимости
этого ряда - полуинтервал
,
сходимость к функции во внутренних
точках следует из теоремы о почленном
интегрировании степенного ряда, в точке
х
=1
- из непрерывности и функции, и суммы
степенного ряда во всех точках, сколь
угодно близких к х
=1
слева. Отметим, что взяв х
=1,
мы найдём сумму ряда .
8.
Почленно
интегрируя ряд ,
получим разложение для функции
.
Выполнить все выкладки самостоятельно,
выписать область сходимости.
9.
Выпишем
разложение функции
по формуле биномиального ряда с
:
.
Знаменатель
представлен как ,
двойной факториал
означает произведение всех натуральных
чисел той же чётности, что и ,
не превосходящих .
Разложение сходится к функции при
.
Почленно интегрируя его от 0 до х
,
получим .
Оказывается, что этот ряд сходится к
функции на всём отрезке
;
при х
=1
получаем ещё одно красивое представление
числа
:
.
18.2.6.2. Решение
задач на разложение функций в ряд.
Большинство
задач, в которых требуется разложить
элементарную функцию в ряд по степеням
,
решается применением стандартных
разложений. К счастью, любая основная
элементарная функция имеет свойство,
которое позволяет это сделать. Рассмотрим
ряд примеров.
1. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
2. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Область сходимости:
.
3. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
4. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Ряд сходится при
.
5. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
.
Область сходимости
.
6. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
Разложение в ряд простых рациональных
дробей второго типа получается почленным
дифференцированием соответствующих
разложений дробей первого типа. В этом
примере .
Дальше почленным дифференцированием
можно получить разложения функций
,
и т.д.
7. Разложить функцию
по степеням
.
Решение.
Если рациональная дробь не является
простой, она сначала представляется в
виде суммы простых дробей:
,
а затем действуем, как в примере 5: ,
где
.
Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням х . Здесь, если надо получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке х =0 требуемого количества первых производных.