Построение развертки конуса. Как сделать развертку – выкройку для конуса или усеченного конуса заданных размеров

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
4. Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

Вам понадобится

• Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур

Инструкция

На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.

Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .

От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.

От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.

Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.

Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.

Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.

16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .

Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.

Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.

Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей

Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.

Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.

Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей

16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .

Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).

Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей

Построения выполняются так:

1. Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.

   Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.

2. К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.

Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.

Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.

Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей

Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».

1. Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
2. Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?

Построить развертку конуса можно 2 путями:

• Разделить основание конуса на 12 частей (вписываем правильный многогранник – пирамиду). Можете разделить основание конуса и на большее или меньше количество частей, т.к. чем меньше хорда, тем точнее построение развертки конуса. Затем на дугу кругового сектора перенести хорды.
• Построение развертки конуса, по формуле определяющей угол кругового сектора.

Так как нам необходимо нанести на развертку конуса линии пересечения конуса и цилиндра, то нам все равно придется делить основание конуса на 12 частей и вписывать пирамиду, поэтому мы пойдем сразу по 1 пути построения развертки конуса.

Алгоритм построения развертки конуса

• Делим основание конуса на 12 равных частей (вписываем правильную пирамиду).
• Строим боковую поверхность конуса, которая представляет собой круговой сектор. Радиус кругового сектора конуса равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. На дугу сектора переносим 12 хорд, которые определят ее длину, а также угол кругового сектора.
• К любой точке дуги сектора пристраиваем основание конуса.
• Через характерные точки пересечения конуса и цилиндра проводим образующие.
• Находим натуральную величину образующих.
• Строим данные образующие на развертке конуса.
• Соединяем характерные точки пересечения конуса и цилиндра на развертке.

Более подробно в видеоуроке по начертательной геометрии в Автокад.

Во время построения развертки конуса мы будем использовать Массив в Автокад - Круговой массив и массив по траектории. Рекомендую к просмотру данные видеоуроки Автокад. Видеокурс Автокад 2D на момент написания статьи содержит классический способ построения кругового массива и интерактивный при построении массива по траектории.

ем перпендикуляры к каждому отрезку, на них откладываем действительные величины образующих цилиндра, взятые с фронтальной проекции. Соединив полученные точки между собой, получаем кривую.

Для получения полной развертки к развертке боковой поверхности добавляем окружность (основание) и натуральную величину сечения (эллипс), построенный по его большой и малой оси или по точкам.

5.3.4. Построение развертки усеченного конуса

В частном случае развертка конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (основания конуса).

В общем случае развертывание поверхности производится по принципу развертывания многогранной пирамиды (т. е. способом треугольников), вписанной в коническую поверхность. Чем большее число граней пирамиды, вписанной в коническую поверхность, тем меньше будет разница между действительной и приближенной развертками конической поверхности.

Построение развертки конуса начинается с нанесения из точки S 0 дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса. На этой дуге откладывают 12 частей окружности основания конуса и полученные точки соединяют с вершиной. Пример изображения полной развертки усеченного конуса представлен на рис. 5.7.

Лекция 6 (начало)

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ И ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

6.1. Взаимное пересечение поверхностей

Пересекаясь между собой, поверхности тел образуют различные ломаные или кривые линии, которые называют линиями взаимного пересечения.

Для построения линий пересечения двух поверхностей нужно найти такие точки, которые одновременно принадлежат двум заданным поверхностям.

Когда одна из поверхностей полностью пронизывает другую, получаются 2 отдельные линии пересечения, называемые ветвями. В случае получения врезки, когда одна поверхность частично входит в другую, линия пересечения поверхностей будет одна.

6.2. Пересечение гранных поверхностей

Линия пересечения двух многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию. Ее звенья являются линиями пересечения граней одного многогранника с гранями другого, а вершины – точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Таким образом чтобы построить линию пересечения двух многогранников, нужно решить задачу либо на пересечение двух плоскостей (способ граней), либо на пересечение прямой с плоскостью (способ ребер). На практике обычно используются оба способа в комбинации.

Пересечение пирамиды с призмой. Рассмотрим случай пересече-

ния пирамиды с призмой, боковая поверхность которой проецируется на π3 на очерковые основания (четырехугольник). Построение начинаем с профильной проекции. При нанесении точек воспользуемся способом ребер, т. е. когда ребра вертикальной пирамиды пересекают грани горизонтальной призмы (рис. 6.1).

Анализ условия задачи показывает, что линия пересечения пирамиды и призмы распадается на 2 ветви, одна из ветвей – плоский многоугольник, точки 1 , 2 , 3 , 4 (точки пересечения ребер пирамиды с гранью призмы). Горизонтальные, фронтальные и профильные их проекции находятся на проекциях соответствующих ребер и определяются по линиям связи. Аналогично могут быть найдены точки 5 , 6 , 7 и 8 , принадлежащие другой ветви. Точки 9 , 10 , 11 , 12 определяются из условия, что верхняя и нижняя грани призмы параллельны между собой, т. е. 1 " 2 " параллельна 5" 10" и т. д.

Можно воспользоваться способом вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает обе поверхности по ломаным линиям. Взаимное пересечение этих линий и дает нам точки, принадлежащие искомой линии пересечения. В качестве вспомогательных плоскостей выбираем α""" и β""". С помощью плоскости α"""

находим проекции точек 1 " , 2 " , 3 " , 4 " , а плоскости β""" – точки 5" , 6" , 9 " , 10" , 11 " , 12 " . Точки 7 и 8 определяем как в предыдущем способе.

6.3. Пересечение гранных поверхностей

с поверхностями вращения

Большинство технических деталей и предметов состоит из сочетания различных геометрических тел. Пересекаясь между собой, по-

верхности этих тел образуют различные прямые или кривые линии, которые называются линиями взаимного пересечения.

Для построения линии пересечения двух поверхностей нужно найти такие точки, которые одновременно принадлежали бы двум поверхностям.

При пересечении многогранника с поверхностью вращения образуется пространственная кривая линия пересечения.

Если происходит полное пересечение (проницание), то образуются две замкнутые кривые линии, а если неполное пересечение – то одна замкнутая пространственная линия пересечения.

Для построения линии взаимного пересечения многогранника с поверхностью вращения используется способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает обе поверхности по кривой и по ломаной линиям. Взаимное пересечение этих линий и дает нам точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Пусть требуется построить проекции линии пересечения поверхностей цилиндра и треугольной призмы. Как видно из рис. 6.2, в пересечении участвуют все три грани призмы. Две из них направлены под некоторым углом к оси вращения цилиндра, следовательно, пересекают поверхность цилиндра по эллипсам, одна грань перпендикулярна к оси цилиндра, т. е. пересекает его по окружности.

План решения:

1) находим точки пересечения ребер с поверхностью цилиндра;

2) находим линии пересечения граней с поверхностью цилиндра. Как видно из рис. 6.2, боковая поверхность цилиндра – горизон-

тально-проецирующая, т. е. перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Боковая поверхность призмы – профильно-проецирую- щая, т. е. каждая ее грань перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения тел совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, а профильная – с профильной проекцией призмы. Таким образом, на чертеже нужно построить лишь фронтальную проекцию линии пересечения.

Построение начинаем с нанесения характерных точек, т. е. точек, которые можно найти без дополнительных построений. Такими являются точки 1, 2 и 3. Они находятся на пересечении очерковых образующих фронтальных проекций цилиндра с фронтальной проекцией соответствующего ребра призмы с помощью линий связи.

Таким образом, точки пересечения ребер призмы с поверхностью цилиндра построены.

Для того чтобы найти промежуточные точки (всего таких точек четыре, но обозначим одну из них А ) линий пересечения цилиндра с гранями призмы, пересекаем обе поверхности какой-либо проецирующей плоскостью или плоскостью уровня. Возьмем, например, горизонтальную плоскость α. Плоскость α пересекает грани призмы по двум прямым, а цилиндр – по окружности. Эти линии пересекаются в точке A " (одну точку подписали, а остальные нет), которая принадлежит одновременно и поверхности цилиндра (лежит на окружности, которая принадлежит цилиндру) и поверхности призмы (лежит на прямых линиях, которые принадлежат граням призмы).

Прямые, по которым пересекаются грани призмы с плоскостью α, найдены сначала на профильной проекции многогранника (там они спроецировались в точку A """ и симметричную точку), а затем с помощью линий связи построены на горизонтальной проекции призмы. Точка A и симметричные точки получены на пересечении горизонтальной проекции линий пересечения (плоскости α с призмой) с окружностью и при помощи линий связи найдены на фронтальной проекции.