Какие способы задания функции вы знаете. Функции и графики

Если два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А , то всегда реакцию , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I , можно разложить на две составляющие: , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А и , лежащую в касательной плоскости. Составляющая называется нормальной реакцией , сила называется силой трения – она препятствует скольжению тела I по телу II . В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления . Как было сказано выше, сила трения , если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты, и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения проведем опыт по схеме, представленной на рис. К телу В , находящемуся на неподвижной плите D , присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А . Если площадку А постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S , которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения будет удерживать тело В в покое. На рис. изображены действующие на тело В силы, причем через обозначена сила тяжести, а через – нормальная реакция плиты D .

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Отсюда следует, что и . Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити . Обозначим через силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D . Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления . Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т.е. имеет место равенство

Это соотношение носит название закона Амонтона – Кулона .

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения . Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей , но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Задача 6.1. Тяжелая плита АВ веса , длины l опирается на идеально гладкую стену ОВ и шероховатый пол ОА . Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен . Составим уравнение равновесия:

,

,

.

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Решая уравнения, получим

, .

Следовательно,

Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение угла определяется из уравнения

Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиту о стенку, если соответствующий коэффициент трения также равен .

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

и три уравнения равновесия

, , .

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Задача 6.2. На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом . Тело удерживается на плоскости тросом АВ , весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса S при двух значениях коэффициента трения: и .

Решение. На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса . Составим уравнения равновесия тела:

,

,

Отсюда найдем:

,

или, учитывая условия задачи,

Для первого случая будем иметь: . При отсутствии троса получим . Так как при этом условие не нарушается, то это означает, что при тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения .

Пусть теперь . Тогда должно выполняться условие . При отсутствии троса это неравенство находится в противоречии с первым уравнением . Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при сила трения достигает своего максимального значения , а натяжение троса будет .

Задача 6.3. К однородной прямоугольной призме веса , находящейся на горизонтальной поверхности, прислонена под углом однородная балка веса и длины . Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен , а между призмой и плоскостью . Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить:

Решение. Расчленим систему и изобразим все силы(активные и реакции связей), действующие на призму и балку. На призму действуют сила тяжести , сила давления плоскости балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости , приложенная в некоторой точке D , и сила трения . На балку действуют сила тяжести , сила давления призмы на балку, нормальная составляющая реакции плоскости и сила трения . Конечно, модули сил и равны между собой (аксиома 4).

,

,

,

Из уравнений находим

Внеся значения и в неравенство, получим условия равновесия балки:

Составим теперь условия равновесия призмы:

,

,

,

Из уравнений находим

, , .

Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства , или

;

Так как точка приложения силы не может находиться левее точки , то , или

что дает нам еще одно условие равновесия:

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра (его можно получить из условия, чтобы момент силы относительно точки не превосходил по модулю момента силы относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы призма не скользила по плоскости, т.е. чтобы выполнялось неравенство

Имеем: , . Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:

Если будет нарушено только первое из этих неравенств:

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие:

точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра .

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6):

точка баки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. показана предельная реакция и ее составляющие и

(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения направлена влево). Угол между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. имеем

или, пользуясь выражением (6.4)

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность – конус трения . Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей , составляющей угол с нормалью к поверхности. Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая определяет нормальную составляющую реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения , а во-вторых, ее касательная составляющая стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы , то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы и определяется только углом – чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим уравнения равновесия тела:

,

,

Из уравнений найдем , и, подставляя их в неравенство, получим

или, учитывая, (6.7), . Следовательно, при равновесии тела

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела: для того, чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.

Задача 6.4. Найти условие, определяющее размер самотормозящегося механизма, изображенного на рис. Необходимо, чтобы приложенная к узлу С сила не могла вызвать скольжения ползунов А и В по вертикальным направляющим. Коэффициент трения , расстояние между направляющими м.

Решение. Сила вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Но , поэтому м.

Рассмотрим теперь трение гибких тел . Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса , достаточную для уравновешивания силы , приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение.

Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила . Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки).

Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата . Обозначим через и значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла , определяющего положение элемента, т.е. , . Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией , т.е. . .Найти угол охвата судна может выдержать матрос, прикладывая силу

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Определение 1

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией .

Определение 2

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Определение 3

Пусть $M$ и $N$ - два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Определение 4

Пусть $M$ - множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Определение 5

Пусть $X$ и $Y$ - некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару .

Определение 6

Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x",\ y"\right)\in f$ и $\left(x"",\ y""\right)\in f$ из условия $y"≠ y""$ следует, что $x"≠x""$ называется функцией или отображением .

Определение 7

Функция $f:X → Y$ - это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция -- кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ - независимая переменная.

$y$ - зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции , а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Определение 8

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Пример 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.

Плюсы:

1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

1. Малая наглядность.
2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Пример 2

Рисунок 1.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

1. Чаще всего, нет полного задания функции;
2. Малая наглядность.

(Определение: Пусть X и Y – числовые множества. Если каждому элементу x X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X определена функция y=f(x). x=D(f) – область значения; y= ; x=(- )=R; E(f)= =. = 2 [" class="link_thumb"> 7 Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [" title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 ["> title="Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. = 2 [">

Из всех указанных способов задания функции наибольшие возможности для применения аппарата математического анализа дает аналитический способ, а н нн наибольшей наглядностью обладает г гг графический. Вот почему математический анализ основывается на глубоком синтезе аналитических и геометрических методов. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций.

Х у=х

Великий математик - Дирихле В профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда (т.н. признак Дирихле, 1862), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике (принцип Дирихле в теории гармонической функции). Дирихле Петер Густав Лежён () Немецкий математик, иностранный чл.-корр. Петербургской АН (с), член Лондонского королевского общества (1855), Парижской АН (1854), Берлинской АН. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые и изучал (1837) закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввел функциональные ряды особого вида (т.н. ряды Дирихле).

Если поезд движется с постоянной скоростью v км/ч, то путь s км, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = vt. Здесь v обозначает какое – то число, а s и t изменяются в каждый момент движения. Будем находить при данной постоянной скорости величину s в зависимости от времени движения t. Тогда t называется независимой переменной или аргументом , s называется зависимой переменной или функцией. Зависимость между аргументом t и функцией s записывается s(t).

Запись s(t) означает, что берутся произвольные отрезки пути и устанавливается, за какое время (при данной постоянной скорости v) может быть пройден этот путь. Например, если автомобиль движется со скоростью 50 км/ч, то на путь 100 км потребуется 100 км: 50 км/ч = 2 ч, на путь в 25 км ему потребуется 1/2 ч, на путь в 150 км/ч – 3 ч.

Если даны две переменные х и y , то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.

Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.

Способы задания функции.

Функция может быть задана формулой, например:

у = 3х 2 – 2.

Давая произвольные значения независимой переменной х, вычисляют с помощью этой формулы соответствующие значения зависимой переменной у. Например, если х = -0,5, то с помощью формулы находим, что соответствующее значение у равно

3 · (-0,5) 2 – 2 = -1,25

Взяв любое значение, которое может принимать аргумент х в формуле у = 3х 2 – 2, можно с её помощью вычислить то единственное значение функции, которое ему соответствует.

Функция может быть задана, например, таблицей:

С помощью данной таблицы можно установить, что значению аргумента – 1 соответствует значение функции 1; значению х = 2 соответствует у = 10 и т.д. При этом любому значению аргумента, включённого в таблицу, соответствует только одно значение функции.

Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.

Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

1) Область определения функции.

Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

2) Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Нули функции.

Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

4) Чётность и нечётность функции.

Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = у(х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = -у(х).

График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

5) Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

у(х + Р) = у(х).

Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.