Анализ размерностей. Мой научный блог
Многие процессы, которые встречаются в практике, бывают настолько сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями . В таких случаях очень ценным приёмом для выявления соотношения между переменными величинами служит анализ размерностей.
Этот метод не даёт полных сведений о соотношении между переменными, которое, в конечном счёте, должно быть выявлено экспериментально. Тем не менее, этот метод позволяет значительно сократить объём экспериментальных работ.
Таким образом, эффективное применение метода размерности возможно только при комбинировании его с экспериментом; при этом должны быть известны все факторы или переменные величины, которые оказывают влияние на исследуемый процесс.
Анализ размерности даёт логичное распределение величин по безразмерным группам. В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в виде формулы, которая называется формулой размерности:
Сюда входит (k + 1) величин с включением и величины N. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае необходимо, чтобы для числовых величин, входящих в уравнение, которое характеризует физическое явление, была бы принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остаётся справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы была возможность представить через них размерности всех величин, входящих в функциональную зависимость (3.73).
Такими единицами измерения могут быть любые три величины, входящие в уравнение (3.73) и являющиеся независимыми друг от друга в отношении размерности. Если принять, например, за единицы измерения длину L и скорость V, тем самым имеем заданными единицу длины L и единицу времени . Таким образом, для третьей единицы измерения нельзя принимать любую величину, размерность которой содержит только длину и время, такую как, например, ускорение, так как единица этой величины уже есть заданной в результате выбора единиц длины и скорости. Поэтому, дополнительно должна быть выбрана любая величина, в размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость, сила и т.п.
На практике, например, при гидравлических исследованиях, оказывается целесообразным принять следующие три единицы измерения: скорость V 0 любой частицы потока, любую длину (диаметр трубопровода D или его длину L), плотность ρ выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
М/с; м; кг/м 3 .
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии с функциональной зависимостью (3.73) может быть представлено в следующем виде:
Значения N i и n i , взятые в системе основных единиц (метр, секунда, килограмм), можно выразить безразмерными числами:
; 
.
Поэтому, вместо уравнения (3.73) можно написать уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах (по отношению к V 0 , L 0 , ρ 0):
Поскольку п 1 , п 2 , п 3 представляют собой, соответственно, V 0 , L 0 , ρ 0 , то первые три члена уравнения превращаются в три единицы и функциональная зависимость принимает вид:
. (3.76)
В соответствии с π-теоремой любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. При исследованиях эта теорема позволяет определить связь не между самими переменными, а между некоторыми безразмерными их соотношениями, составленными по определённым законам.
Таким образом, функциональная зависимость между k + 1 размерными величинами N и n i в общем случае выражается как соотношение между (k + 1- 3) величинами π и π i (i = 4,5, ..., k), каждая из которых является безразмерной степенной комбинацией величин, входящих в функциональную зависимость. Безразмерные числа π носят характер критериев подобия, как это видно из следующего примера.
Пример 3.3. Определить функциональную зависимость для силы сопротивления F (Н = кг·м/с 2), которую испытывает пластина при обтекании жидкостью в направлении её длины.
Функциональную зависимость силы сопротивления можно представить в виде функции от ряда независимых переменных и определить её в условиях сходства:
,
где 
скорость обтекания, м/с; 
площадь пластины, м 2 ; 
плотность жидкости, кг/м 3 ; 
динамический коэффициент вязкости, Па·с ([Па·с] = кг/м·с); 
ускорение свободного падения, м/с 2 ; 
давление, Па (Па = кг/м·с); отношение высоты пластины к ее длине; угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины и безразмерные, остальные шесть – размерные. Три из них: 
, 
и приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только три безразмерных соотношения. Следовательно:
для силы сопротивления:
1 = z (показатели слева и справа при кг);
2 = - x (показатели слева и справа при с);
1 = х + 2у - 3z (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 2; у = 1; z = 1.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 1; у 1 = 0,5; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
имеем x 2 = 2; у 2 = - 0,5; z 2 = 0.
Функциональная зависимость:
Для давления:
имеем x 3 = 2; у 3 = 0; z 3 = 1.
Функциональная зависимость:
.
Очевидно, что 
, 
, 
.
Отсюда можно сделать вывод, что после исследования данного процесса при некоторых размерах, скоростях и т.п., можно установить как он будет протекать при других размерах и скоростях в том случае, если безразмерные отношения, составленные из этих переменных, для обоих случаев будут одинаковые. Итак, выводы, полученные при экспериментах с телами данных размеров, движущихся с данной скоростью и т.д., будут, очевидно, справедливы и для любых других размеров тела, скорости и т.д. при условии равенства безразмерных отношений 
с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.4. На основе предыдущих исследований на лабораторном устройстве определить функциональную зависимость мощности N (Вт = кг·м 2 /с 3) электродвигателя мешалки, которая необходима для перемешивания пульпы с реагентами в контактном чане.
Для подобия двух смесительных систем требуется:
Геометрическое подобие, при котором отношение величин для рассматриваемых систем должны быть равны между собой;
Кинематическое подобие, когда скорости в соответствующих точках должны быть в таком же отношении, как и скорости в других соответствующих точках, то есть пути движения пульпы должны быть подобными;
Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение сил в соответствующих точках было бы равным отношению сил в других соответствующих точках.
Если граничные условия фиксированные, можно одну переменную величину выразить через другие переменные, то есть функциональную зависимость мощности электродвигателя мешалки можно представить в виде функции от ряда независимых переменных величин и определить её по критериям подобия:
,
где диаметр мешалки, м; плотность пульпы, кг/м 3 ; 
скорость вращения мешалки, с -1 ; динамический коэффициент вязкости, Па·с (Па·с=кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с 2 – угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, имеем пять размерных величин, три из них: , и 
приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только два безразмерных соотношения. Следовательно:
.
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:
для мощности электродвигателя мешалки:
,
3 = z (показатели слева и справа при с);
1 = в (показатели слева и справа при кг);
2 = х - 3у (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 5; у = 1; z = 3.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 2; у 1 = 1; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Для ускорения свободного падения:
имеем x 2 = 1; у 2 = 0; z 2 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Очевидно, что , . Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:
.
Отсюда можно сделать вывод, что после нахождения функциональной зависимости мощности электродвигателя мешалки при некоторых её параметрах, можно установить какой она будет и при других размерах и скоростях и т.п. в том случае, если безразмерные отношения для обоих случаев будут одинаковы. Итак, выводы, полученные на экспериментальном устройстве, будут справедливы и для любых других при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.5. Исследуется процесс обогащения в тяжелосредном сепараторе. На параметрической схеме процесса тяжелосредной сепарации (рис. 3.5) указаны входящие, исходящие и контролируемые параметры, а также возможные препятствия:
Входные и контролируемые параметры: Q вх - производительность сепаратора по исходному материалу; Q сусп - расход суспензии; V - объём ковша; Δρ - разница в плотностях суспензии и разделяемой фракции; ω - скорость вращения элеваторного колеса; п - число ковшей элеваторного колеса;
Выходные и контролируемые параметры: Q к-т - производительность сепаратора по концентрата; Q отх - производительность сепаратора по отходам;
Препятствия (неучтённые параметры, оказывающие влияние на процесс): влажность, гранулометрический и фракционный состав.
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин = кг/с; = м 3 /с; [Δ ] = кг/м 3 ; [V] = м 3 ; [ 
] = c –1 ; = кг/с; [n] = 8.
Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q отх, V , Δ , ω.
0 = 3x - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у - 3z (показатели слева и справа при T);
Таким образом, x = 1; у = - 2; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности сепаратора по отходам от объёма ковша, скорости вращения элеваторного колеса и разницы в плотности суспензии и разделяемой фракции имеет вид:
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м 3 ; Δ = 100 кг/м 3 ; = 0,035 c –1 ; n = 8, в результате которых установлено, что Q отх = 42 кг/с:
Формула 
является математической моделью исследуемого процесса.
Пример 3.6. Исследуется процесс транспортировки концентрата крупностью 0,5 - 13 мм обезвоживающим элеватором багер-зумпфа:
Входные и контролируемые параметры: ω - вместимость ковша элеватора по твёрдому; ρ - плотность питания; V - скорость движения цепи элеватора;
Выходной и контролируемый параметр: Q - производительность обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5 - 13 мм;
Постоянные параметры: коэффициент заполнения ковшей 
= 0,5; влажность, гранулометрический и фракционный состав.
В рассматриваемом примере:
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин: [ω] = м 3 ; [ρ] = кг/м 3 ; [V] = м/с.
Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q, V, , ω.
Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:
,
или с использованием основных единиц измерения M, L, T:
0 = 3x + у - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у (показатели слева и справа при T);
1 = z (показатели слева и справа при M).
Таким образом, x = 2/3; у = 1; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5-13 мм от объёма ковша, скорости движения цепи элеватора и плотности питания имеет вид:
.
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м/с; = 1400 кг/м 3 ; = 50·10 –3 м 3 в результате которых установлено, что Q = 1,5 кг/с, кроме того, следует учесть коэффициент заполнения ковшей = 0,5 и тогда:
.
Формула 
является математической моделью процесса транспортировки концентрата крупностью 0,5-13 мм исследуемым обезвоживающим элеватором багер-зумпфа.
Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.
При решении задач по физике на любом уровне необычайно важно определить наиболее приемлемый метод или методы, а уж затем перейти к «техническому» воплощению. Учителя-виртуозы (мы сознательно употребили это выражение, так как считаем во многом схожим прочтение музыкального произведения музыкантами-импровизаторами и учителями-виртуозами, нашедшими собственные, авторские подходы в трактовке и толковании физических закономерностей) уделяют много времени предварительному обсуждению проблемы. Говоря другими словами, обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи, поскольку происходит своеобразный обмен методиками, соприкосновение различных точек зрения, что, собственно, и является целью процесса обучения. Процесс подготовки к решению задачи во многом напоминает процесс подготовки актера к спектаклю. Обсуждение ролей, характеров героев, обдумывание интонаций, музыкальных реприз и художественных декораций являются важнейшими элементами погружения актера в роль. Не случайно, что многие известные театральные работники ценят подготовительный процесс и вспоминают атмосферу репетиций и собственные находки. В процессе преподавания учитель использует различные методы или «спектр методов». Одним из общих методов решения является решение задач методом размерности. Суть данного метода заключается в том, что искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Важным моментом в решении является нахождение этих величин. Анализ размерностей левой и правой частей соотношения позволяет определить аналитическую зависимость с точностью до постоянного множителя.
Рассмотрим, например, от чего может зависеть давление в газе. Из повседневного опыта мы знаем, что давление является функцией температуры (увеличивая температуру, мы увеличиваем давление), концентрации (давление газа возрастет, если, не изменяя его температуры, мы поместим в данный объем большее число молекул). Естественно предположение о зависимости давления газа от массы молекул и их скорости. Понятно, что чем больше масса молекул, тем больше будет давление при прочих постоянных величинах. Очевидно, что при увеличении скоростей молекул давление будет возрастать. (Отметим, что все вышеизложенные рассуждения говорят о том, что все показатели степеней в окончательной формуле обязаны быть положительными!) Можно предположить, что давление газа находится в зависимости от его объема, однако если мы поддерживаем постоянной концентрацию молекул, то давление от объема не зависит. Действительно, в случае, если мы приведем в соприкосновение два сосуда с одинаковыми газами одной и той же концентрации, скоростями молекул, температурой и т.д., то, убрав перегородку, разъединяющую газы, мы не изменим давления. Таким образом, изменив объем, но оставив неизменным концентрацию и другие параметры, мы не изменили давления. Иначе говоря, мы не должны будем вводить объем в наши рассуждения. Казалось бы, что мы вправе строить функциональную зависимость, но, быть может, мы ввели избыточную информацию? Дело в том, что температура – это энергетическая характеристика тел, поэтому она связана с энергией молекул, т.е. является функцией массы и скорости молекул, составляющих тело. Поэтому, включая в наши предположения зависимости давления от концентрации, скоростей и массы молекул, мы уже «позаботились» о всех возможных зависимостях, которые в том числе могут включать и температуру. Говоря иными словами, искомая функциональная зависимость может быть записана в виде:
Здесь p – давление газа, т 0 – масса молекулы, n – концентрация, u – скорость молекулы.
Представим давление, массу, концентрацию, скорость в основных величинах интернациональной системы:
Зависимость (1) на языке размерностей имеет вид:
Сравнение размерности левой и правой части дает систему уравнений
Решая (4), получим а = 1; b = 1; с = 2. Давление газа теперь можно записать как
(5)
Обратим внимание на то, что коэффициент пропорциональности нельзя определить, используя метод размерностей, но, тем не менее, мы получили неплохое приближение к известному соотношению (основное уравнение мо-лекулярно-кинетической теории).
Рассмотрим несколько задач, на примере решения которых продемонстрируем суть метода размерностей.
Задача 1 . Оцените выражение для периода колебаний математического маятника, используя анализ размерностей. Предположим, что период колебаний маятника зависит от его длины, ускорения свободного падения и массы груза(!):
(6)
Представим все вышеупомянутые величины:
С учетом (7) перепишем искомую закономерность выражением
(8)
(9)
Теперь уже нетрудно записать систему уравнений:
Таким образом, ; с = 0.
(11)
Отметим, что «масса имеет нулевую размерность», т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы:
Задача 2
. Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний 
.
На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести в рассмотрение температуру газа, так как хорошо известно, что скорость звука зависит от температуры. Однако (сравните с рассуждением выше) давление может быть выражено как функция плотности (концентрации) и температуры среды. Поэтому одна из величин (давление, плотность, температура) является «лишней». Поскольку по условию задачи нам предлагается сравнить скорости разных давлений и плотностей, то разумно исключить из рассмотрения температуру. Отметим, что если бы нам надо было сделать сравнение для разных давлений и температур, то мы бы исключили плотность.
Скорость звука в условиях данной задачи может быть представлена
Соотношение (13) перепишем как
(14)
Из (14) имеем
Решение (15) дает .
Результаты экспериментов имеют следующую функциональную зависимость:
Скорость звука для двух состояний имеет вид:
(17)
Из (17) получим отношение скоростей
Задача 3 . На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F . Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживается с силой f . С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f , если выбрать столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)
Совершенно очевидно, что сила f в данном случае может зависеть лишь от приложенной внешней силы F , коэффициента трения и диаметра столба. Математическую зависимость можно представить как
(19)
Поскольку коэффициент трения является величиной безразмерной, то (19) перепишем в виде
так как а = 1; с = 0 (a – коэффициент пропорциональности, связанный с μ). Для второго, третьего, ..., п -го намотанного витка запишем аналогичные выражения:
(21)
Подставляя α из (20) в (21), получим:
Хорошо известно, что «метод размерностей» зачастую с успехом применяется в гидродинамике и аэродинамике. В некоторых случаях он позволяет «оценить решение» достаточно быстро и с хорошей степенью надежности.
Совершенно понятно, что в данном случае сила сопротивления может зависеть от плотности жидкости, скорости потока и площади поперечного сечения тела:
(23)
Выполнив соответствующие преобразования, найдем, что
(24)
Как правило, соотношение (24) представляют в виде
(25)
где . Коэффициент с характеризует обтекаемость тел и принимает различные значения для тел: для шара с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для каплеобразного тела с » 0,04. (Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1974.)
До сих пор мы рассматривали примеры, в которых коэффициент пропорциональности оставался безразмерной величиной, однако это не означает, что мы должны всегда следовать этому. Вполне возможно сделать коэффициент пропорциональности «размерным», зависящим от размера основных величин. Например, вполне уместно представить гравитационную постоянную 
. Говоря другими словами, наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных величин. (Здесь нам кажется уместным сделать ссылку на статью Д.В.Сивухина «О международной системе физических величин», УФН, 129, 335, 1975.)
Задача 5 . Определите энергию гравитационного взаимодействия двух точечных масс т 1 и т 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга.
Помимо предложенного метода анализа размерностей, дополним решение задачи принципом симметрии входящих величин. Соображения симметрии дают основания считать, что энергия взаимодействия должна зависеть от т 1 и т 2 одинаковым образом, т.е. в окончательное выражение они должны войти в одинаковой степени:
(26)
Очевидно, что
Анализируя соотношение (26), найдем, что
а = 1; b = 1; с = –1,
(28)
Задача 6. Найдите силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q 1 и q 2 , находящимися на расстоянии r .
Мы здесь можем воспользоваться симметрией, но если не хотим делать предположений о симметрии или не уверены в такой симметрии, то можно использовать другие методы. Данная статья написана для того, чтобы показать различные методы, поэтому мы решим задачу другим способом. Очевидна аналогия с предыдущей задачей, однако в данном случае можно воспользоваться принципом нахождения эквивалентных величин. Попытаемся определить эквивалентную величину – напряженность электрического поля заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2 . Понятно, что искомая сила – это произведение q 2 на найденную напряженность поля. Поэтому будем предполагать зависимость напряженности от искомых величин в виде:
Представим все в основных единицах:
Проделав все преобразования, получим систему уравнений
Таким образом, а = –1; b = 1; с = –2, и выражение для напряженности принимает вид
Искомая же сила взаимодействия может быть представлена выражением
(33)
В соотношении (33) отсутствует безразмерный коэффициент 4π, который был введен по историческим причинам.
Задача 7. Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r 0 и плотностью r на расстоянии R (R > r 0) от оси цилиндра.
Поскольку мы не можем сделать предположений о равноправии r 0 и R , то решить данную задачу методом размерностей, не привлекая иных соображений, довольно трудно. Попытаемся понять физическую суть параметра r . Он характеризует плотность распределения массы, создающей интересующую нас напряженность поля. Если цилиндр сжать, оставив массу внутри цилиндра неизменной, то напряженность поля (на фиксированном расстоянии R > r 0) будет такой же. Иначе говоря, линейная плотность является более важной характеристикой, поэтому применим метод замены переменной. Представим . Теперь s является новой переменной в предложенной задаче, при этом:
a . Горизонтальная и вертикальная скорости и ускорение свободного падения принимают соответственно вид:
Построим математическую конструкцию для дальности и высоты полета:
(39)
Анализируя выражение (39), получим теперь
(40)
(41)
Данный метод является более сложным, однако хорошо работает, если имеется возможность различить величины, измеряемые одной и той же единицей измерения. Например: инерционная и гравитационная масса («инерционные» и «гравитационные» килограммы), вертикальное и горизонтальное расстояние («вертикальные» и «горизонтальные» метры), сила тока в одной и другой цепи и т.п.
Суммируя все вышеизложенное, отметим:
1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.
2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.
3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.
4. Анализ размерностей при решении задач широко используется в научных исследованиях.
5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.
аканчивая изучение механики, познакомимся еще с одним методом исследования физических процессов - так называемым методом анализа размерностей. Рассмотрим задачу, ответ на которую нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты /г, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо того, чтобы непосредственно определять эту скорость, пользуясь соотношениями кинематики, попробуем рассуждать следующим образом. От чего вообще может зависеть эта скорость? Довольно очевидно, что от высоты h и от ускорения свободного падения g она непременно должна зависеть. Поколебавшись, мы можем включить в число величин, от; которых зависит скорость падения, и массу тела т, хотя вообще-то легко сообразить, что от массы зависимости быть не должно. Итак, предположим, что скорость падения зависит от h, g и т: v=f(h, g, т). (16.1) Какой вид может иметь функция /? Ответить на этот вопрос можно с помощью анализа размерностей. В любой системе единиц имеется несколько физических величин, для которых единицы выбраны произвольно и считаются основными. В системе единиц СГС (а для механических величин и в СИ) в качестве основных выбраны единицы длины L, времени Т и массы М. Единицы всех остальных физических величин выражаются через основные. Например, единица скорости выражается через основные единицы длины и времени как LT~ . Выражение единицы любой физической величины в определенной системе единиц через основные единицы этой системы называется размерностью данной физической величины. Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то после некоторого раздумья можно для искомой функции / предложить такую формулу: v - Chxgymz, (16.2) где С--некоторое постоянное число (безразмерная постоянная), а х, у и z - неизвестные числа, которые следует определить. Теперь учтем то обстоятельство, что если формула (16.2) правильна, то размерность ее левой части должна совпадать с размерностью правой. Размерность скорости есть LT"1, размерность высоты h есть L, размерность ускорения свободного падения g равна LT~2, и, наконец, размерность массы m равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то муле (16.2) соответствует следующее равенство ^мерностей: 1 LT~1 - Lx , (16.24) гле С-некоторая постоянная. Сила сопротивления "Ропорциональна скорости движения тела, вязкости и линейному размеру тела в направлении движения, ^"а оказывается не зависящей от плотности жидкости и от поперечного сечения тела. При большей скорости определяющей становитс j не вязкость жидкости, а ее плотность. Для того чтобш сила сопротивления не зависела от вязкости, нуж^Г1 чтобы функция / стремилась к постоянному значению Формула (16.23) при этом принимает вид F=Cji;2pS, (16.25) где Ct - новая постоянная. Как и можно было ожидать из качественных соображений, сопротивление в этом! случае определяется поперечным сечением тела и це! зависит от размеров тела вдоль направления движения ВОПРОСЫ 1. Почему в состоянии равновесия жидкость действует на твердое" тело только по нормали к его поверхности? 2. Объясните, почему не опрокидывается корабль, центр тяжести! которого расположен вы!пе ватерлинии? 3. При каких условиях равновесие плавающего в полностью погруженном положении тела будет устойчивым? 4. Какие предположения" лежат в основе модели идеальной жидкости? Зависит ли применимость этой модели только от свойств самой жидкости? 5. В чем причина различия в показаниях манометра при разной ориентации его чувствительного элемента в потоке жидкости? 6. Получите выражения для скорости истечения жидкости из отверстия иглы шприца непосредственно с помощью закона сохранения энергии, не используя уравнения Бернулли. 7. Почему при рассмотрении явления гидравлического удара нельзя использовать модель несжимаемой жидкости? 8. Когда силу сопротивления движению тела в жидкости или I газе можно считать пропорциональной скорости, а когда квадрату, скорости? 9. Какую роль играет циркуляция воздуха вокруг крыла для возникновения подъемной силы? 10. Что можно сказать о возможностях и ограничениях методгй анализа размерностей? 11. Разъясните, каким образом введение «векторных едипиа¦ длины» расширяет возможности метода анализа размерностей, а
В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми
Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.
При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.
Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.
Вот некоторые достоинства и приложения метода размерностей:
- быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;
- получение качественных и функциональных зависимостей;
- восстановление забытых формул на экзаменах;
- выполнение некоторых заданий ЕГЭ;
- осуществление проверки правильности решения задач.
Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).
Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:
Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.
Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:
где k – постоянная Больцмана.
Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.
Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.
Рисунок 1
Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.
Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: .Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.
Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.
Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак ~ означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.
Левая и правая части соотношения (1) имеют одинаковые размерности. Размерности величин v, F, m и s таковы: [v] = м/c = мc -1 , [F] = H = кгмс -2 , [m] = кг, [s] = м. (Символ [A] обозначает размерность величины A.) Запишем равенство размерностей в левой и правой частях соотношения (1):
м c -1 = кг x м x c -2x кг y м Z = кг x+y м x+z c -2x .
В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.
Это значит, что
Справа метры входят в степени x+z, а слева - в степени 1, поэтому
Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует
Из полученных уравнений находим числа x, y, z:
x = 1/2, y = -1/2, z = 1/2.
Окончательная формула имеет вид
Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что
Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.
Принцип подобия, сформулированный Ньютоном, заключается в том, что отношение v 2 /s прямо пропорционально отношению F/m. Например, два тела с разными массами m 1 и m 2 ; будем действовать на них разными силами F 1 и F 2 , но таким образом, что отношения F 1 / m 1 и F 2 / m 2 будут одинаковыми. Под действием этих сил тела начнут двигаться. Если начальные скорости равны нулю, то скорости, приобретаемые телами на отрезке пути длины s, будут равны. Это и есть закон подобия, к которому мы пришли с помощью идеи о равенстве размерностей правой и левой частей формулы, описывающей степенную связь значения конечной скорости со значениями силы, массы и длины пути.
Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.
В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.
Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.
Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.
Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:
Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.
Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:
C -1 , [F] = кгм с -2 , [M] = кг, = м.
Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство
с -1 = кг x м x c -2x кг y м z = кг x + y м x + z c -2x
В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:
x+y=0, x+z=0, -2x= -1
Решая эту систему, находим:
x=1/2, y= -1/2, z= -1/2
Следовательно,
~F 1/2 M -1/2 1 -1/2
Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).
Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.
При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.
Ответ ищем в виде:
где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.
м/c = (кг/м 3) x Па y ,
м/с = (кг/м 3) x (кг м/(с 2 м 2)) y ,
м 1 с -1 = кг x м -3x кг y м y c -2y м -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x + y-2y c -2y ,
м 1 с -1 = кг x+y м -3x-y c -2y .
Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:
x + y = 0, -3x-y = 1, -2y= -1,
x= -y, -3+x = 1, -2x = 1,
x = -1/2 , y = 1/2 .
Таким образом, скорость звука в газе
Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.
Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.
Повторяя данный материал в 11-м классе, внимание учащихся обращается на то, что результат (2) можно получить для модели изотермического процесса распространения звука с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона и понятия плотности:
– скорость распространения звука.
Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.
Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .
Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:
,
,
,
Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:
Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:
- отсюда следует
Из заштрихованного треугольника видно, что
Ответ: В).
Это мы воспользовались методом размерности.
Метод размерностей кроме осуществления традиционной проверки правильности решения задач, выполнения некоторых заданий ЕГЭ, помогает находить функциональные зависимости между различными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Таких зависимостей в природе много, и метод размерностей - хороший помощник при решении подобных задач.
Физические величины, числовое значение которых не зависит от выбранного масштаба единиц, называются безразмерными. Примеры безразмерных величин - угол (отношение длины дуги к радиусу), показатель преломления вещества (отношение скорости света в вакууме к скорости света в веществе).
Физические величины, изменяющие свое числовое значение при изменении масштаба единиц, называются размерными. Примеры размерных величин - длина, сила и т. д. Выражение единицы физической величины через основные единицы называется ее размерностью (или формулой размерности). Например, размерность силы в системах СГС и СИ выражается формулой
Соображения размерности можно использовать для проверки правильности полученных ответов при решении физических задач: правые и левые части полученных выражений, как и отдельные слагаемые в каждой из частей, должны иметь одинаковую размерность.
Метод размерностей можно использовать и для вывода формул и уравнений, когда нам известно, от каких физических параметров может зависеть искомая величина. Сущность метода легче всего уяснить на конкретных примерах.
Применения метода размерностей. Рассмотрим задачу, ответ для которой нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с высоты если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо непосредственного вычисления на основе законов движения будем рассуждать следующим образом.
Подумаем, от чего вообще может зависеть искомая скорость. Очевидно, что она должна зависеть от начальной высоты и от ускорения свободного падения Можно предположить, следуя Аристотелю, что она зависит и от массы . Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то для искомой скорости можно предложить такую формулу:
где С - некоторая безразмерная постоянная (числовой коэффициент), а х, у и z - неизвестные числа, которые следует определить.
Размерность правой и левой частей этого равенства должна быть одинакова, и именно этим условием можно воспользоваться для определения показателей степени х, у, z в (2). Размерность скорости есть размерность высоты есть размерность ускорения свободного падения равна , наконец, размерность массы равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то формуле (2) соответствует следующее равенство размерностей:
Это равенство должно выполняться независимо от того, каковы числовые значения . Поэтому следует приравнять показатели степеней при и М в левой и правой частях равенства (3):
Из этой системы уравнений получаем Поэтому формула (2) принимает вид
Истинное значение скорости, как известно, равно
Итак, использованный подход позволил определить правильно зависимость от и и не дал возможности найти значение
безразмерной постоянной С. Хотя нам и не удалось получить исчерпывающего ответа, все же получена весьма существенная информация. Например, мы можем с полной определенностью утверждать, что, если начальную высоту увеличить в четыре раза, скорость в момент падения возрастет вдвое и что вопреки мнению Аристотеля эта скорость не зависит от массы падающего тела.
Выбор параметров. При использовании метода размерностей следует в первую очередь выявить параметры, определяющие рассматриваемое явление. Это легко сделать, если известны описывающие его физические законы. В ряде случаев определяющие явление параметры можно указать и тогда, когда физические законы неизвестны. Как правило, для использования метода анализа размерностей нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения.
Если число параметров, определяющих изучаемое явление, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная система единиц, то, разумеется, все показатели степеней в предлагаемой формуле для искомой величины не могут быть определены. В этом случае полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации из выбранных параметров. Тогда искомая физическая величина будет определяться не формулой типа (2), а произведением какой-либо (самой простой) комбинации параметров, имеющей нужную размерность (т. е. размерность искомой величины), на некоторую функцию найденных безразмерных параметров.
Легко видеть, что в разобранном выше примере падения тела с высоты из величин и безразмерную комбинацию составить нельзя. Поэтому там формула (2) исчерпывает все возможные случаи.
Безразмерный параметр. Рассмотрим теперь такую задачу: определим дальность горизонтального полета снаряда, выпущенного в горизонтальном направлении с начальной скоростью из орудия, находящегося на горе высоты
В отсутствие сопротивления воздуха число параметров, от которых может зависеть искомая дальность, равно четырем: и т. Поскольку число основных единиц равно трем, то полное решение задачи методом размерностей невозможно. Найдем прежде всего все независимые безразмерные параметры у, которые можно составить из и
Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей:
Отсюда получаем систему уравнений
которая дает и для искомого безразмерного параметра получаем
Видно, что единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемой задаче - это Теперь достаточно найти какой-либо параметр, имеющий размерность длины, например взять сам параметр для того чтобы написать общее выражение для дальности полета снаряда по горизонтали в виде
где - пока неизвестная функция безразмерного параметра Метод размерностей (в изложенном варианте) не позволяет определить эту функцию. Но если нам откуда-нибудь, например из опыта, известно, что искомая дальность пропорциональна горизонтальной скорости снаряда, то вид функции немедленно определяется: скорость должна входить в нее в первой степени, т. е.
Теперь из (5) для дальности полета снаряда получаем
что при совпадает с правильным ответом
Подчеркнем, что при таком способе определения вида функции нам достаточно знать характер экспериментально установленной зависимости дальности полета не от всех параметров, а только от какого-нибудь одного из них.
Векторные единицы длины. Но можно определить дальность (7) только из соображений размерности, если увеличить до четырех число основных единиц, через которые выражаются параметры и т. До сих пор при записи формул размерностей не делалось различий между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направлении. Однако такое различие можно ввести, основываясь на том, что сила тяжести действует только по вертикали.
Обозначим размерность длины в горизонтальном направлении через а по вертикали - через Тогда размерность дальности полета по горизонтали будет размерность высоты будет размерность горизонтальной скорости будет а для ускорения
свободного падения получим Теперь, глядя на формулу (5), мы видим, что единственный способ получить правильную размерность в правой части заключается в том, чтобы считать пропорциональной Мы снова приходим к формуле (7).
Разумеется, имея четыре основные единицы и М, можно и непосредственно сконструировать величину нужной размерности из четырех параметров и
Равенство размерностей левой и правой частей имеет вид
Система уравнений для х, у, z и и дает значения и мы опять приходим к формуле (7).
Используемые здесь разные единицы длины по взаимно перпендикулярным направлениям иногда называют векторными единицами длины. Их применение существенно расширяет возможности метода анализа размерностей.
При использовании метода анализа размерностей полезно развить навыки до такой степени, чтобы не составлять систему уравнений для показателей степеней в искомой формуле, а подбирать их непосредственно. Проиллюстрируем это на следующей задаче.
Задача
Максимальная дальность. Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы дальность полета по горизонтали была максимальной?
Решение. Допустим, что мы «забыли» все формулы кинематики, и попытаемся получить ответ из соображений размерности. На первый взгляд может показаться, что метод размерностей здесь вообще неприменим, так как в ответ должна войти какая-то тригонометрическая функция угла бросания. Поэтому вместо самого угла а попробуем искать выражение для дальности Ясно, что без векторных единиц длины здесь не обойтись.
