Главная Сказки Представить в виде степени выражение 3 7. Степень и ее свойства

Представить в виде степени выражение 3 7. Степень и ее свойства

§ 4. Свойства степени с натуральным показателем

Рассмотрим свойства степени с натуральным показателем. Выражение а 3 а 2 является произведением двух степеней с одинаковыми основаниями. Применив определение степени, это произведение можно переписать так:

а 3 а 2 = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а 5 .

Итак, а 3 а 2 = а 5 , то есть a 5 = а 2 + 3 . В тот же нетрудно проверить, что х 5 х 4 х 2 = х 5 + 4 + 2 = х 11 . Поэтому произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Это свойство выполняется для каждого произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Доведения.

Равенство аm аn = а m + n называют основным свойством степени. Она распространяется на произведение трех и более степеней. Например:

а m а n а k =a m + n + k .

Из основного свойства степени вытекает правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

Например, 3 7 ∙ 3 5 = 3 7+5 = 3 12 ; 7 3 ∙ 7 = 7 3 ∙ 7 1 = 7 3+1 = 7 4 ; a 7 a 2 а 3 = a 7+2+3 = a 12 .

Поскольку а 3 а 2 = а 5 , то по определению доли а 5: а 3 = а 2 , т. е. а 2 = а 5-3 . В тот же нетрудно убедиться, что х 15: х 4 = х 11 . Поэтому доля степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, который равен разнице показателей делимого и делителя. Это свойство выполняется для каждой чаще степеней с одинаковыми, отличными от нуля, основами при условии, что показатель степени делимого больше показатель степени делителя.

Доведения. Так а m - n ∙ а n = а m - n + n =а m , т. е. а m - n а n =а m , то по определению доли имеем а m : а n = а m - n .

Из доказанного свойства вытекает правило деления степеней.

Например, 3 18: 3 5 = 3 18 - 5 =3 13 ; m 9: m = m 9: m 1 = m 9 -1 = m 8 .

Выражение (а 7) 3 - степень, основание которой является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:

(а 7) 3 = а 7 ∙ а 7 ∙ а 7 = а 7 + 7 + 7 = а 7∙3 = а 21 .

В тот же способ можно убедиться, что ((х 7) 3) 2 = х 42 . То есть степень при возвышении в степень равно степени с тем же основанием и показателем, который равен произведению показателей данных степеней.

Доведения.

Из доказанного свойства вытекает правило возвышение степени в степень.

Например, (4 5) 4 = 4 5 ∙ 4 = 4 20 ; (а 8) 11 = а 8∙11 = а 88 ; ((г 3) 2) 6 = (p 3 ∙ 2 )5 = (p 6 ) 5 = p 6 ∙5 = p 30 .

Выражение (аb ) 3 с степенью произведению множителей а и b . Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b :

(ab ) 3 = аb ∙ ab ∙ ab = (ааа) ∙ (bbb ) = a 2 b 3 .

Следовательно, (аb ) 3 = а 3 b 3 .

Такое же свойство при возвышении в степень имеет любое произведение.

Доведения.

Это свойство степени распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,

(mpk ) n =m n p n k n ; (abcd ) n = а n b n c n d n и тому подобное.

Имеем правило подъема произведения в степень.

Например,

(7 ab ) 2 = 7 2 а 2 b 2 = 49 а 2 b 2; (-2хy ) 3 = (-2) 3 х 3 y 3 = -8 х 3 в 3 .

Левую и правую части рассмотренных тождеств можно менять местами:

Рассмотрим, как упростить выражения, содержащие степени, и вычислить их значение.

Упростить (а 2) 3 ∙ (а 4 а) 6 .

Р а з в’ я з а н н я.

(а 2) 3 ∙ (а 4 а) 6 = а 6 ∙ (а 5) 6 = а 6 а 30 =а 36 .

Вычислить:

1) 0,7 13: 0,7 11 ;

2) 3 5 ∙ 9 2: 27 2 ;

3) 2 7 ∙ 0,58.

Р а з в’ я з а н н я.

1) 0,7 13: 0,7 11 = 0,7 2 = 0,49.

2) Представим 9 2 27 2 в виде степени с основанием 3, то есть 92 = (3 2) 2 , 27 2 = (3 3) 2 .

Итак, имеем:

3 5 ∙ 9 2: 27 2 = 3 5 ∙ (3 2) 2: (3 3) 2 = 5 ∙ 3 4: 3 6 = 3 9: 3 6 = 3 3 = 27.

3) Поскольку 0,5 8 = 0,5 7 ∙ 0,5, имеем:

2 7 ∙ 0,5 8 = 2 7 ∙ 0,5 7 ∙ 0,5 = (2 ∙ 0,5) 7 ∙ 0,5 = 1 7 ∙ 0,5 = 1 ∙ 0,5 = 0,5.

Сформулируйте основное свойство степени. Сформулируйте правила умножения степеней, деление степеней, возведение степени в степень и возведение произведения в степень.

95. (Устно) Какие из равенств являются верными:

1) а 6 ∙ а 2 = а 12 ;

2) а 7 а 3 = а 10 ;

3) b 10: b 5 = b 2 ;

4) b 8: b 2 = b 6

5) (а 7) 3 = a 21 ;

6 ) (а 4) 5 = а 9 ?

96. (Устно)

1) m 7 m 4 ;

97.

1) a 4 а 9 ;

2) c 3 с 10 ;

3) в 5 y ;

4) 2 8 ∙ 2 23 .

98. Представьте произведение в виде степени:

1) m 3 m 2 ;

4) a 5 а 2 .

99. (Устно) Представьте в виде степени:

3) b 9: b ;

100. Запишите долю в виде степени:

2) х 10: х 5 ;

101. Подайте долю в виде степени:

2) х 12: х 3 ;

4) t 12: t 11 .

102. (Устно) Запишите в виде степени:

103. Представьте в виде степени:

104. Представьте в виде степени:

1) (m 3) 4 ;

105. Запишите выражение x 12 в виде произведения двух степеней, один из которых равен:

1) х 3 ; 2) х 6 ; 3) х 9 ; 4) х 11 .

106. Запишите степень в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями:

1)m 7 ; 2) с 12 ; 3) 5 17 ; 4) г 8 .

107. Представьте произведение в виде степени:

1) (-7) 3 ∙ (-7) 4 ∙ (-7);

2) aa 5 a 11 ;

3) bbbb 9 ;

4) (х - у) 3 (х - в) 12 ;

5) 14 7 ∙ 14 5 ∙ 14 9 ;

108. Запишите в виде степени выражение:

1) 12 3 ∙ 12 9 ∙ 12;

3) (а + b ) 3 (а + b ) 5 ;

109. Вычислите значения выражения, используя свойства степеней и таблицу степеней с основаниями 2 и 3 (см. упражнение 71 сек. 20).

1) 2 3 ∙ 2 4 ;

3) 3 ∙ 3 3 ∙ 3 4 ;

110. Выполните возведение в степень:

2) (аb с) 7 ;

4) (2x ) 4 ;

6)(- 0,3 а) 2 ;

7) (4аb ) 3 ;

111. Запишите степень в виде произведения степеней или числа и степеней:

1) (аb ) 5 ;

3) (-5аx ) 3 ;

5) (-0,1m ) 3 ;

6) (-0,07 mx ) 2 .

112. Найдите значение выражения:

2) 0,3 8: 0,3 5 ;

4) ;

113. Вычислите:

114. Найдите значение выражения:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

115. Вычислите:

1) 5 4 ∙ 5 12: 5 13 ;

116. Упростите выражение, используя правила умножения и деления степеней:

1) а 7 ∙ а 9: а 3 ;

2) b 9 : b 5 : b 3 ;

3) m 12: m 7 ∙ m ;

4) р 10 р 9 ∙ г 3 .

117. Запишите выражение в виде степени:

1) (a 3) 4 ∙ а 8 ;

2) ((а 7) 2) 3 ;

3) (b 3) 2: b 4 ;

4) (а 4)5 ∙ (а 7) 2 .

118. Представьте выражение в виде степени:

1) (b 3) 4 ∙ b 7 ;

2) ((х 4) 5) 6 ;

3) (с 3) 8: 10 ;

4) (m 3) 6 ∙ (m 2) 7 .

119. Запишите в виде степени с основанием mn :

1) m 9 n 9 ;

2) m 7 n 7 ;

3) m 2 n 2 ;

4) m 2015 n 2015 .

120. Представьте в виде степени с основанием ab :

1) а 5 b 5 ;

2) а 3 b 3 ;

3) а 18 b 18 ;

4) а 2016 b 2016 .

121. Запишите произведение в виде степени:

1) а 4 b 4 ;

2) 49a 2 x 2 ;

3) 0,001a 3 b 3 ;

4) - 8р 3 ;

5)-32а 5 b 5 ;

6)-а 7 b 7 с 7 ;

8) p 3 q 3 .

122. Найдите такое значение х, при котором равенство является правильной:

1) 3 5 ∙ 3 2 =3 5 + x ;

2) 2 7 ∙ 2 8 = 2 1 + х;

3) 4 х ∙ 4 5 = 4 8 ;

4) 9 8: 9 х = 9 5 .

123. Замените звездочку степенью с основанием а так, чтобы равенство стало тождеством:

1) а 2 ∙ * = а 7 ; 2) 8 ∙ * = а 9 ; 3) а 4 ∙ * ∙ а 7 =а 19 .

124. Замените звездочку степенью с основанием b (b ≠ 0) так, чтобы равенство стало тождеством:

1) b 7: * = b 3 ;

2) * : b 5 = b 9 ;

3) b 9: * ∙ b 3 = b 7 ;

4) * : b 9 ∙ b 4 = b 10 .

125. Найдите такое значение х, при котором верна равенство:

1) 1,8 9: 1,8 = 1,8 9 - х;

2) 19 х: 19 7 = 19 9 ;

3) 4 12: 4 х = 4 7 .

126. Подайте выражение:

1) 8 7 ; (16 3) 5 в виде степени с основанием 2;

2) 25 3 ; 625 7 в виде степени с основанием 5.

127. Подайте выражение.

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

Определение степени с натуральным показателем.
Умножение и деление степеней.
Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab) n = a n b n .
Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество (а m) n = а m n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

Степень с основанием а и показателем n записывается так: а n . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

1. Примеры возведения в степень:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Найти значения выражений:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 - 5 2 4

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

a m a n = a m + n .

Доказательство:

Правило : При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 и) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

a m: a n = a m - n

Доказательство:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

по определению частного:

a m: a n = a m - n .

Правило : При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице :

т.к. а n: a n = 1 при а0 .

а) х 4:х 2 = х 4 - 2 = х 2

б) у 8:у 3 = у 8 - 3 = у 5

в) а 7:а = а 7:а 1 = а 7 - 1 = а 6

г) с 5:с 0 = с 5:1 = с 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доказательство:

По определению степени

(ab) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило : При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 =2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Найти значение выражения:

б) (5 7 20) 2

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

(а m) n = а m n

Доказательство:

По определению степени

(а m) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают .

1. Возвести в степень:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Упростите выражения:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Найдите значение выражений:

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4 0,4 0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 - 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 - 3 2 5

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 и) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 и) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 и) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Выражения, преобразование выражений

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

В этой статье мы поговорим о преобразовании выражений со степенями. Сначала мы остановимся на преобразованиях, которые выполняются с выражениями любых видов, в том числе и со степенными выражениями, таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. А дальше разберем преобразования, присущие именно выражениям со степенями: работа с основанием и показателем степени, использование свойств степеней и т.д.

Навигация по странице.

Что такое степенные выражения?

Термин «степенные выражения» практически не встречается школьных учебниках математики, но он довольно часто фигурирует в сборниках задач, особенно предназначенных для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, например, . После анализа заданий, в которых требуется выполнить какие-либо действия со степенными выражениями, становится понятно, что под степенными выражениями понимают выражения, содержащие в своих записях степени. Поэтому, для себя можно принять такое определение:

Определение.

Степенные выражения – это выражения, содержащие степени.

Приведем примеры степенных выражений . Причем будем их представлять согласно тому, как происходит развитие взглядов на от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем.

Как известно, сначала происходит знакомство со степенью числа с натуральным показателем, на этом этапе появляются первые самые простые степенные выражения типа 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) 4 , 3·a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 и т.п.

Чуть позже изучается степень числа с целым показателем, что приводит к появлению степенных выражений с целыми отрицательными степенями, наподобие следующих: 3 −2 , , a −2 +2·b −3 +c 2 .

В старших классах вновь возвращаются к степеням. Там вводится степень с рациональным показателем, что влечет появление соответствующих степенных выражений: , , и т.п. Наконец, рассматриваются степени с иррациональными показателями и содержащие их выражения: , .

Перечисленными степенными выражениями дело не ограничивается: дальше в показатель степени проникает переменная, и возникают, например, такие выражения 2 x 2 +1 или . А после знакомства с , начинают встречаться выражения со степенями и логарифмами, к примеру, x 2·lgx −5·x lgx .

Итак, мы разобрались с вопросом, что представляют собой степенные выражения. Дальше будем учиться преобразовывать их.

Основные виды преобразований степенных выражений

Со степенными выражениями можно выполнять любые из основных тождественных преобразований выражений . Например, можно раскрывать скобки, заменять числовые выражения их значениями, приводить подобные слагаемые и т.д. Естественно, при этом стоит надо соблюдать принятый порядок выполнения действий . Приведем примеры.

Пример.

Вычислите значение степенного выражения 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Согласно порядку выполнения действий сначала выполняем действия в скобках. Там, во-первых, заменяем степень 4 2 ее значением 16 (при необходимости смотрите ), и во-вторых, вычисляем разность 16−12=4 . Имеем 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4 .

В полученном выражении заменяем степень 2 3 ее значением 8 , после чего вычисляем произведение 8·4=32 . Это и есть искомое значение.

Итак, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32 .

Ответ:

2 3 ·(4 2 −12)=32 .

Пример.

Упростить выражения со степенями 3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 .

Решение.

Очевидно, что данное выражение содержит подобные слагаемые 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и мы можем привести их: .

Ответ:

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Пример.

Представьте выражение со степенями в виде произведения.

Решение.

Справиться с поставленной задачей позволяет представление числа 9 в виде степени 3 2 и последующее использование формулы сокращенного умножения разность квадратов:

Ответ:

Также существует ряд тождественных преобразований, присущих именно степенным выражениям. Дальше мы их и разберем.

Работа с основанием и показателем степени

Встречаются степени, в основании и/или показателе которых находятся не просто числа или переменные, а некоторые выражения. В качестве примера приведем записи (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

При работе с подобными выражениями можно как выражение в основании степени, так и выражение в показателе заменить тождественно равным выражением на ОДЗ его переменных. Другими словами, мы можем по известным нам правилам отдельно преобразовывать основание степени, и отдельно – показатель. Понятно, что в результате этого преобразования получится выражение, тождественно равное исходному.

Такие преобразования позволяют упрощать выражения со степенями или достигать других нужных нам целей. Например, в упомянутом выше степенном выражении (2+0,3·7) 5−3,7 можно выполнить действия с числами в основании и показателе, что позволит перейти к степени 4,1 1,3 . А после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в основании степени (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) мы получим степенное выражение более простого вида a 2·(x+1) .

Использование свойств степеней

Один из главных инструментов преобразования выражений со степенями – это равенства, отражающие . Напомним основные из них. Для любых положительных чисел a и b и произвольных действительных чисел r и s справедливы следующие свойства степеней:

a r ·a s =a r+s ;
a r:a s =a r−s ;
(a·b) r =a r ·b r ;
(a:b) r =a r:b r ;
(a r) s =a r·s .

Заметим, что при натуральных, целых, а также положительных показателях степени ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Например, для натуральных чисел m и n равенство a m ·a n =a m+n верно не только для положительных a , но и для отрицательных, и для a=0 .

В школе основное внимание при преобразовании степенных выражений сосредоточено именно на умении выбрать подходящее свойство и правильно его применить. При этом основания степеней обычно положительные, что позволяет использовать свойства степеней без ограничений. Это же касается и преобразования выражений, содержащих в основаниях степеней переменные – область допустимых значений переменных обычно такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения, что позволяет свободно использовать свойства степеней. Вообще, нужно постоянно задаваться вопросом, а можно ли в данном случае применять какое-либо свойство степеней, ведь неаккуратное использование свойств может приводить к сужению ОДЗ и другим неприятностям. Детально и на примерах эти моменты разобраны в статье преобразование выражений с использованием свойств степеней . Здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких простых примеров.

Пример.

Представьте выражение a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 в виде степени с основанием a .

Решение.

Сначала второй множитель (a 2) −3 преобразуем по свойству возведения степени в степень: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6 . Исходное степенное выражение при этом примет вид a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Очевидно, остается воспользоваться свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием, имеем
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Ответ:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2 .

Свойства степеней при преобразовании степенных выражений используются как слева направо, так и справа налево.

Пример.

Найти значение степенного выражения .

Решение.

Равенство (a·b) r =a r ·b r , примененное справа налево, позволяет от исходного выражения перейти к произведению вида и дальше . А при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: .

Можно было выполнять преобразование исходного выражения и иначе:

Ответ:

Пример.

Дано степенное выражение a 1,5 −a 0,5 −6 , введите новую переменную t=a 0,5 .

Решение.

Степень a 1,5 можно представить как a 0,5·3 и дальше на базе свойства степени в степени (a r) s =a r·s , примененного справа налево, преобразовать ее к виду (a 0,5) 3 . Таким образом, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6 . Теперь легко ввести новую переменную t=a 0,5 , получаем t 3 −t−6 .

Ответ:

t 3 −t−6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Степенные выражения могут содержать дроби со степенями или представлять собой такие дроби. К таким дробям в полной мере применимы любые из основных преобразований дробей , которые присущи дробям любого вида. То есть, дроби, которые содержат степени, можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с их числителем и отдельно со знаменателем и т.д. Для иллюстрации сказанных слов рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Упростить степенное выражение .

Решение.

Данное степенное выражение представляет собой дробь. Поработаем с ее числителем и знаменателем. В числителе раскроем скобки и упростим полученное после этого выражение, используя свойства степеней, а в знаменателе приведем подобные слагаемые:

И еще изменим знак знаменателя, поместив минус перед дробью: .

Ответ:

Приведение содержащих степени дробей к новому знаменателю проводится аналогично приведению к новому знаменателю рациональных дробей. При этом также находится дополнительный множитель и выполняется умножение на него числителя и знаменателя дроби. Выполняя это действие, стоит помнить, что приведение к новому знаменателю может приводить к сужению ОДЗ. Чтобы этого не происходило, нужно, чтобы дополнительный множитель не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) к знаменателю a , б) к знаменателю .

Решение.

а) В этом случае довольно просто сообразить, какой дополнительный множитель помогает достичь нужного результата. Это множитель a 0,3 , так как a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a . Заметим, что на области допустимых значений переменной a (это есть множество всех положительных действительных чисел) степень a 0,3 не обращается в нуль, поэтому, мы имеем право выполнить умножение числителя и знаменателя заданной дроби на этот дополнительный множитель:

б) Присмотревшись повнимательнее к знаменателю, можно обнаружить, что

и умножение этого выражения на даст сумму кубов и , то есть, . А это и есть новый знаменатель, к которому нам нужно привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель . На области допустимых значений переменных x и y выражение не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:

Ответ:

а) , б) .

В сокращении дробей, содержащих степени, также нет ничего нового: числитель и знаменатель представляются в виде некоторого количества множителей, и сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Пример.

Сократите дробь: а) , б) .

Решение.

а) Во-первых, числитель и знаменатель можно сократить на чисел 30 и 45 , который равен 15 . Также, очевидно, можно выполнить сокращение на x 0,5 +1 и на . Вот что мы имеем:

б) В этом случае одинаковых множителей в числителе и знаменателе сразу не видно. Чтобы получить их, придется выполнить предварительные преобразования. В данном случае они заключаются в разложении знаменателя на множители по формуле разности квадратов:

Ответ:

а)

б) .

Приведение дробей к новому знаменателю и сокращение дробей в основном используется для выполнения действий с дробями. Действия выполняются по известным правилам. При сложении (вычитании) дробей, они приводятся к общему знаменателю, после чего складываются (вычитаются) числители, а знаменатель остается прежним. В результате получается дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей. Деление на дробь есть умножение на дробь, обратную ей.

Пример.

Выполните действия .

Решение.

Сначала выполняем вычитание дробей, находящихся в скобках. Для этого приводим их к общему знаменателю, который есть , после чего вычитаем числители:

Теперь умножаем дроби:

Очевидно, возможно сокращение на степень x 1/2 , после которого имеем .

Еще можно упростить степенное выражение в знаменателе, воспользовавшись формулой разность квадратов: .

Ответ:

Пример.

Упростите степенное выражение .

Решение.

Очевидно, данную дробь можно сократить на (x 2,7 +1) 2 , это дает дробь . Понятно, что надо еще что-то сделать со степенями икса. Для этого преобразуем полученную дробь в произведение . Это дает нам возможность воспользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: . И в заключение процесса переходим от последнего произведения к дроби .

Ответ:

И еще добавим, что можно и во многих случаях желательно множители с отрицательными показателями степени переносить из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, изменяя знак показателя. Такие преобразования часто упрощают дальнейшие действия. Например, степенное выражение можно заменить на .

Преобразование выражений с корнями и степенями

Часто в выражениях, в которыми требуется провести некоторые преобразования, вместе со степенями с дробными показателями присутствуют и корни. Чтобы преобразовать подобное выражение к нужному виду, в большинстве случаев достаточно перейти только к корням или только к степеням. Но поскольку работать со степенями удобнее, обычно переходят от корней к степеням. Однако, осуществлять такой переход целесообразно тогда, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков (это мы подробно разобрали в статье переход от корней к степеням и обратно После знакомства со степенью с рациональным показателем вводится степень с иррациональным показателем, что позволяет говорить и о степени с произвольным действительным показателем. На этом этапе в школе начинает изучаться показательная функция , которая аналитически задается степенью, в основании которой находится число, а в показателе – переменная. Так мы сталкиваемся со степенными выражениями, содержащими числа в основании степени, а в показателе - выражения с переменными, и естественно возникает необходимость выполнения преобразований таких выражений.

Следует сказать, что преобразование выражений указанного вида обычно приходится выполнять при решении показательных уравнений и показательных неравенств , и эти преобразования довольно просты. В подавляющем числе случаев они базируются на свойствах степени и нацелены по большей части на то, чтобы в дальнейшем ввести новую переменную. Продемонстрировать их нам позволит уравнение 5 2·x+1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x−1 =0 .

Во-первых, степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной (или выражения с переменными) и числа, заменяются произведениями. Это относится к первому и последнему слагаемым выражения из левой части:
5 2·x ·5 1 −3·5 x ·7 x −14·7 2·x ·7 −1 =0 ,
5·5 2·x −3·5 x ·7 x −2·7 2·x =0 .

Дальше выполняется деление обеих частей равенства на выражение 7 2·x , которое на ОДЗ переменной x для исходного уравнения принимает только положительные значения (это стандартный прием решения уравнений такого вида, речь сейчас не о нем, так что сосредоточьте внимание на последующих преобразованиях выражений со степенями):

Теперь сокращаются дроби со степенями, что дает .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению , которое равносильно . Проделанные преобразования позволяют ввести новую переменную , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения