Обратный маятник на тележке. Фундаментальные исследования

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Перевёрнутый маятник представляет собой маятник , который имеет центр масс выше своей точки опоры, закреплённый на конце жёсткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевёрнутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечёткого управления и т. д.).

Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести, вызывая нестабильность. Эта же проблема решена, например, в сегвее , самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника является быстрое колебание основания в вертикальной плоскости. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (в смысле величины ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями , то движение маятника описывается функцией Матьё .

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия :

$\backslash ddot\; \backslash theta\; -\; \{g\; \backslash over\; \backslash ell\}\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; 0$

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

$\backslash ddot\; \backslash theta\; =\; \{g\; \backslash over\; \backslash ell\}\; \backslash sin\; \backslash theta$

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где $\backslash theta(t)$ угол маятника длиной $l$ по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил $F$ в направлении $x$. Определим $x(t)$ положение тележки. Лагранжиан $L\; =\; T\; -\; V$ системы:

L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta где $v\_1$ является скоростью тележки, а $v\_2$ - скорость материальной точки $m$. $v\_1$ и $v\_2$ может быть выражена через $x$ и $\backslash theta$ путём записи скорости как первой производной положения.

v_1^2=\dot x^2

v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left(\ell\cos\theta \right)}\right)^2 Упрощение выражения $v\_2$ приводит к:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = \frac{1}{2} \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta и уравнения движения:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0 Подстановка $L$ в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв $\backslash theta\; \backslash approx\; 0$.

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

$\backslash left(-\backslash ell\; \backslash sin\; \backslash theta\; ,\; y\; +\; \backslash ell\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash right)$

и скорость найдена через первую производную позиции:

$v^2=\backslash dot\; y^2-2\; \backslash ell\; \backslash dot\; y\; \backslash dot\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; \backslash ell^2\backslash dot\; \backslash theta\; ^2.$ $$

\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся $y$, маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если $y$ быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции ($\backslash theta\; =\; 0$).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде . А также сегве́й - электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами. Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов .

См. также

Ссылки

• D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишите отзыв о статье "Обратный маятник"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Обратный маятник

– Это брат Безуховой – Анатоль Курагин, – сказала она, указывая на красавца кавалергарда, который прошел мимо их, с высоты поднятой головы через дам глядя куда то. – Как хорош! неправда ли? Говорят, женят его на этой богатой. .И ваш то соusin, Друбецкой, тоже очень увивается. Говорят, миллионы. – Как же, это сам французский посланник, – отвечала она о Коленкуре на вопрос графини, кто это. – Посмотрите, как царь какой нибудь. А всё таки милы, очень милы французы. Нет милей для общества. А вот и она! Нет, всё лучше всех наша Марья то Антоновна! И как просто одета. Прелесть! – А этот то, толстый, в очках, фармазон всемирный, – сказала Перонская, указывая на Безухова. – С женою то его рядом поставьте: то то шут гороховый!
Пьер шел, переваливаясь своим толстым телом, раздвигая толпу, кивая направо и налево так же небрежно и добродушно, как бы он шел по толпе базара. Он продвигался через толпу, очевидно отыскивая кого то.
Наташа с радостью смотрела на знакомое лицо Пьера, этого шута горохового, как называла его Перонская, и знала, что Пьер их, и в особенности ее, отыскивал в толпе. Пьер обещал ей быть на бале и представить ей кавалеров.
Но, не дойдя до них, Безухой остановился подле невысокого, очень красивого брюнета в белом мундире, который, стоя у окна, разговаривал с каким то высоким мужчиной в звездах и ленте. Наташа тотчас же узнала невысокого молодого человека в белом мундире: это был Болконский, который показался ей очень помолодевшим, повеселевшим и похорошевшим.
– Вот еще знакомый, Болконский, видите, мама? – сказала Наташа, указывая на князя Андрея. – Помните, он у нас ночевал в Отрадном.
– А, вы его знаете? – сказала Перонская. – Терпеть не могу. Il fait a present la pluie et le beau temps. [От него теперь зависит дождливая или хорошая погода. (Франц. пословица, имеющая значение, что он имеет успех.)] И гордость такая, что границ нет! По папеньке пошел. И связался с Сперанским, какие то проекты пишут. Смотрите, как с дамами обращается! Она с ним говорит, а он отвернулся, – сказала она, указывая на него. – Я бы его отделала, если бы он со мной так поступил, как с этими дамами.

Вдруг всё зашевелилось, толпа заговорила, подвинулась, опять раздвинулась, и между двух расступившихся рядов, при звуках заигравшей музыки, вошел государь. За ним шли хозяин и хозяйка. Государь шел быстро, кланяясь направо и налево, как бы стараясь скорее избавиться от этой первой минуты встречи. Музыканты играли Польской, известный тогда по словам, сочиненным на него. Слова эти начинались: «Александр, Елизавета, восхищаете вы нас…» Государь прошел в гостиную, толпа хлынула к дверям; несколько лиц с изменившимися выражениями поспешно прошли туда и назад. Толпа опять отхлынула от дверей гостиной, в которой показался государь, разговаривая с хозяйкой. Какой то молодой человек с растерянным видом наступал на дам, прося их посторониться. Некоторые дамы с лицами, выражавшими совершенную забывчивость всех условий света, портя свои туалеты, теснились вперед. Мужчины стали подходить к дамам и строиться в пары Польского.
Всё расступилось, и государь, улыбаясь и не в такт ведя за руку хозяйку дома, вышел из дверей гостиной. За ним шли хозяин с М. А. Нарышкиной, потом посланники, министры, разные генералы, которых не умолкая называла Перонская. Больше половины дам имели кавалеров и шли или приготовлялись итти в Польской. Наташа чувствовала, что она оставалась с матерью и Соней в числе меньшей части дам, оттесненных к стене и не взятых в Польской. Она стояла, опустив свои тоненькие руки, и с мерно поднимающейся, чуть определенной грудью, сдерживая дыхание, блестящими, испуганными глазами глядела перед собой, с выражением готовности на величайшую радость и на величайшее горе. Ее не занимали ни государь, ни все важные лица, на которых указывала Перонская – у ней была одна мысль: «неужели так никто не подойдет ко мне, неужели я не буду танцовать между первыми, неужели меня не заметят все эти мужчины, которые теперь, кажется, и не видят меня, а ежели смотрят на меня, то смотрят с таким выражением, как будто говорят: А! это не она, так и нечего смотреть. Нет, это не может быть!» – думала она. – «Они должны же знать, как мне хочется танцовать, как я отлично танцую, и как им весело будет танцовать со мною».
Звуки Польского, продолжавшегося довольно долго, уже начинали звучать грустно, – воспоминанием в ушах Наташи. Ей хотелось плакать. Перонская отошла от них. Граф был на другом конце залы, графиня, Соня и она стояли одни как в лесу в этой чуждой толпе, никому неинтересные и ненужные. Князь Андрей прошел с какой то дамой мимо них, очевидно их не узнавая. Красавец Анатоль, улыбаясь, что то говорил даме, которую он вел, и взглянул на лицо Наташе тем взглядом, каким глядят на стены. Борис два раза прошел мимо них и всякий раз отворачивался. Берг с женою, не танцовавшие, подошли к ним.
Наташе показалось оскорбительно это семейное сближение здесь, на бале, как будто не было другого места для семейных разговоров, кроме как на бале. Она не слушала и не смотрела на Веру, что то говорившую ей про свое зеленое платье.
Наконец государь остановился подле своей последней дамы (он танцовал с тремя), музыка замолкла; озабоченный адъютант набежал на Ростовых, прося их еще куда то посторониться, хотя они стояли у стены, и с хор раздались отчетливые, осторожные и увлекательно мерные звуки вальса. Государь с улыбкой взглянул на залу. Прошла минута – никто еще не начинал. Адъютант распорядитель подошел к графине Безуховой и пригласил ее. Она улыбаясь подняла руку и положила ее, не глядя на него, на плечо адъютанта. Адъютант распорядитель, мастер своего дела, уверенно, неторопливо и мерно, крепко обняв свою даму, пустился с ней сначала глиссадом, по краю круга, на углу залы подхватил ее левую руку, повернул ее, и из за всё убыстряющихся звуков музыки слышны были только мерные щелчки шпор быстрых и ловких ног адъютанта, и через каждые три такта на повороте как бы вспыхивало развеваясь бархатное платье его дамы. Наташа смотрела на них и готова была плакать, что это не она танцует этот первый тур вальса.
Князь Андрей в своем полковничьем, белом (по кавалерии) мундире, в чулках и башмаках, оживленный и веселый, стоял в первых рядах круга, недалеко от Ростовых. Барон Фиргоф говорил с ним о завтрашнем, предполагаемом первом заседании государственного совета. Князь Андрей, как человек близкий Сперанскому и участвующий в работах законодательной комиссии, мог дать верные сведения о заседании завтрашнего дня, о котором ходили различные толки. Но он не слушал того, что ему говорил Фиргоф, и глядел то на государя, то на сбиравшихся танцовать кавалеров, не решавшихся вступить в круг.

Нашелся еще один, необычный подход к описанию горнолыжной техники, также НЕ связанный с движениями в шарнирной системе, соответствующей частям тела лыжника. Он основан на модели перевернутого маятника, называемого также "обратным маятником", или "маятником Уитни".
Это очень интересный объект теоретической механики, исходно задача Уитни формулировалась так: предположим, что на тележке установлен перевернутый материальный маятник, тележка движется прямолинейно, но НЕ равномерно. Требуется найти исходное положение маятника, такое, что он НЕ упадет на тележку, если заранее известна зависимость скорости от времени, при непрерывности ее 2-й производной.

Задача Уитни, до сих пор интересует математиков, но намного важней обратная задача: динамическое управление движением тележки, такое, что маятник сохраняет заданное исходное положение, или колеблется около него. Эта задача важна для робототехники, навигации, автоматизации производства, ориентации космических аппаратов, она также реализуется и при обычной ходьбе.
Но задачу можно обобщить: на маятник с 2-мя степенями свободы, опора которого двигается уже по произвольной, криволинейной траектории, с переменной скоростью, но также при условии непрерывности 2-х производных. Самый простой пример обобщенного обратного маятника: поставим на ладонь длинный стержень, и будем удерживать его в неустойчивом положении, двигая рукой по произвольной траектории.
Если обобщать дальше, то можно сделать маятник с переменной длиной: при этом его собственная частота будет меняться, задача становится намного сложней. Это уже общая модель неустойчивого равновесия механической системы, например человека на канате. Но эту задачу также можно поставить по другому: обеспечить равновесие маятника, при неравномерном движении опоры по заданной криволинейной траектории, за счет активного изменения наклона и длины маятника. Мы видим: в такой постановке, задача полностью соответствует движению горнолыжника по трассе!
Выяснилось: что еще в 1973 году, польский математик, Януш Моравский описал механику горнолыжника с помощью обратного маятника, но эта работа была забыта на 40 лет.

Модель Я.Моравского была не совершенной: он не учитывал боковое проскальзывание опоры маятника, которое было необходимым в горнолыжной технике начала 1970-х годов. Но у современных спортсменов высокого уровня, техника уже не связана с проскальзыванием, и модель более точно соответствует реальности.
Новые исследования обратного маятника начались с решения узкой, практической задачи: упростить проведение экспериментов по изучению горнолыжной техники. Обычно, для изучения движений горнолыжников, необходимо непрерывно фиксировать его положение, и множество сил, действующих на лыжи, и самого лыжника, требуется сложное оборудование и долгая подготовка экспериментов.

В 2013 году, Матиас Гилгиен, известный специалист по лыжной механике, доказал: если известна траектория центра масс относительно поверхности снега, то по модели обобщенного обратного маятника можно вычислить траекторию лыж, и также все действующие силы во время спуска. В результате, все сложное измерительное оборудование можно заменить обычным GPS-навигатором!
Эксперимент проводился с геодезическим навигатором, работавшим по методу дифференциальной навигации, с точностью определения координат: 1 см в горизонтальной плоскости, и 2 см по вертикали. Использовалась также подробная 3D-модель местности, полученная с помощью геодезического сканера. Сейчас, для некоторых районов США и Европы, в открытом доступе, есть аналогичные по точности спутниковые 3D-карты, зона их покрытия быстро увеличивается.

С учетом микро-рельефа, непрерывно меняющегося на склоне, точность высот, составляет 10-20 см, те. на порядок ниже точности навигации. Антенна навигатора находилась на шлеме лыжника, положение ЦМ вычислялось на основе предыдущих результатов Роберта Рейда, который выяснил: у спортсменов уровня сборных, ЦМ не отклоняется далеко от прямой, проходящей через середину шеи, и середину расстояния между лыжами. А лыжник, при повороте старается держать голову вертикально, середина шеи находится примерно под антенной. Расстояние "поверхность-ЦМ" всегда составляет примерно 0.45-0.5 расстояния "поверхность-голова", иногда ЦМ может отклоняться от этого положения, но с учетом точности представления поверхности, ошибки в вычислении положения ЦМ, не являются значимыми, сильные отклонения бывают только при грубых ошибках с потерей равновесия.

Если лыжник описывается моделью обобщенного обратного маятника, с переменной длиной, то по известной траектории, и скорости ЦМ относительно поверхности, можно вычислить углы его отклонения от вертикального положения, такие, что маятник не падает. Также можно и получить траекторию опоры: точки на середине расстояния между креплениями лыж. А из положения ЦМ относительно опоры можно получить центровку лыжника в продольном направлении, и наклон к центру поворота, хотя нельзя вычислить положение частей тела и относительную загрузку лыж.
Параллельно с измерениями по GPS, на контрольном участке установили обычное оборудование, которое используется при исследованиях горнолыжной техники методами MOCAP, на основе модели шарнирной системы, с вычислением динамики частей тела по давно проверенным методам. Собранные данные о движении ЦМ затем сравнивались: они оказались очень близки, сильные расхождения есть только на участках между поворотами, на которых длина маятника резко меняется, при разгрузке.

Но задача не сводилась к построению новой модели движения ЦМ, не зависимого от положения лыжника: это никому не нужно! Практическая цель: на основе модели обратного маятника получить внешние силы, действующие на лыжника и лыжи: реакцию поверхности, сопротивление снега, и аэродинамическое сопротивление. Доктор М. Гилгиен и его сотрудники получили уравнения всех сил, и сравнили с значениями, которые вычислялись по динамике частей тела. На графике реакции поверхности, взятом для примера: синяя кривая показывает силу, вычисленную по модели обратного маятника, красная по модели шарнирной системы, в качестве эталона.

Швейцарский ученый, Рольф Адельсбергер, провел аналогичный эксперимент, но измерял также деформацию лыж при спуске, с помощью датчиков, наклеенных на лыжи. Результаты измерений соответствовали силам, которые вычислялись также на основе данных GPS, по методу М.Гилгиена, это доказывает корректность метода.

Словенский математик, Боян Немец, также изучал модель обратного маятника со спортсменами сборной Словении, но установил антенну на шее лыжника, для лучшего приближения положения ЦМ. Он получил уравнение пространственного угла наклона: в зависимости от действующих ускорений и длины маятника.

Мы видим: уравнение намного сложней, чем простые формулы углов, которые обсуждаются постоянно на горнолыжных сайтах! Но это уравнение получено на основе экспериментальных данных, и более точно соответствует реальным процессам, которые происходят при спуске. Была также получена поправка, для точного определения положения ЦМ, но выяснилось: она не очень велика, и укладывается в точность измерений поверхности, как раньше предположил М.Гилгиен.

Профессор Б.Немец также заметил сильные расхождения на участках разгрузки, и предположил: ошибка связана с линейным законом изменения длины маятника. Если ввести продольную упругость, то длина будет изменяться нелинейно, и ошибки резко уменьшатся. Но при этом, маятник получит новую степень свободы: длина будет стремиться к гармоническим колебаниям, это требует полной переработки модели, Б.Немец планирует сделать это в следующих работах. Главная проблема: введение коэффициента упругости, от которого зависит собственная частота продольных колебаний, ведь возможно, что величина коэффициента также не постоянна.

При этом возможно получение нового эффекта: если опора маятника вибрирует в вертикальном направлении, с высокой частотой и маленькой амплитудой, то возникает дополнительная сила, которая удерживает маятник в вертикальном равновесии: это явление обнаружил П.Капица, и определил минимальную частоту колебаний, и их предельную амплитуду. В ответ на единичный удар по упругой поверхности, возникают затухающие колебания, следовательно обратный маятник, установленный на упругой опоре, также будет находиться в равновесии, но очень короткое время после удара: до затухания колебаний. Аналогичное явление возможно при резком изменении нагрузки на лыжи, но их продольная упругость зависит от величины изгиба, задача усложняется еще больше.

Но вычисление сил также не являлось конечной целью: доктор М.Гилгиен получил нагрузки на колени лыжника, которые могут приводить к травмам суставов. Его метод позволяет получить оценку трассы, с точки зрения безопасности, только на основе данных GPS во время контрольных проездов.
Другим направлением является, как всегда, создание инструмента для тренеров, непрерывно отображающего динамику лыжника, которая скрыта от прямого наблюдения: условий равновесия, действующих ускорений и сил. Этот метод не требует сложного, дорогого оборудования, ведь даже очень дорогой приемник GPS в разы дешевле систем MOCAP, или инерциальных датчиков, и намного проще в использовании.

Мы видим: старая идея, описывать горнолыжную технику без связи с движениями лыжника, все таки не забыта, несмотря на появление новых технологий. Возможно, что мы рано попрощались с милыми сферическими конями.

Удачи и равновесия!

Схематическое изображение перевёрнутого маятника на тележке. Стержень не обладает массой. Массу тележки и массу шара на конце стержня обозначим через М и m . Стержень имеет длину l .

Перевёрнутый маятник представляет собой маятник , который имеет центр масс выше своей точки опоры, закреплённый на конце жёсткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевёрнутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечёткого управления и т. д.).

Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести, вызывая нестабильность. Эта же проблема решена, например, в сегвее , самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника является быстрое колебание основания в вертикальной плоскости. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (в смысле величины ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями , то движение маятника описывается функцией Матьё .

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия :

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta))-{g \over \ell }\sin \theta =0}

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {\displaystyle {\ddot {\theta))={g \over \ell }\sin \theta }

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где θ (t) {\displaystyle \theta (t)} угол маятника длиной l {\displaystyle l} по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F {\displaystyle F} в направлении x {\displaystyle x} . Определим x (t) {\displaystyle x(t)} положение тележки. Лагранжиан L = T − V {\displaystyle L=T-V} системы:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2))mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }

где является скоростью тележки, а - скорость материальной точки m {\displaystyle m} . v 1 {\displaystyle v_{1)) и v 2 {\displaystyle v_{2)) может быть выражена через x {\displaystyle x} и θ {\displaystyle \theta } путём записи скорости как первой производной положения.

v 1 2 = x ˙ 2 {\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x))^{2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 {\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt)){\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2))

Упрощение выражения v 2 {\displaystyle v_{2)) приводит к:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x))^{2}-2\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2))

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))\left(M+m\right){\dot {x))^{2}-m\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +{\frac {1}{2))m\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}-mg\ell \cos \theta }

и уравнения движения:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {x))}-{\partial {L} \over \partial x}=F} d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}

Подстановка L {\displaystyle L} в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x))-m\ell {\ddot {\theta))\cos \theta +m\ell {\dot {\theta))^{2}\sin \theta =F} ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta))-g\sin \theta ={\ddot {x))\cos \theta }

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} .

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}

и скорость найдена через первую производную позиции:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . {\displaystyle v^{2}={\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}.}

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle L={\frac {1}{2))m\left({\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}

уравнения движения следуют из:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0} 1

Работа посвящена задаче стабилизации перевернутого маятника, которой уделяется большое внимание в теории управления, поскольку на примере данной неустойчивой системы строятся алгоритмы поддержания вертикального положения антропоморфных технических устройств. Вданной статье описана стратегия вывода обратного маятника в вертикальное неустойчивое положение, разработана опто-механическая система стабилизации обратного маятника, состоящая из лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo и устройства контроля перемещений. Показано, что после выведения маятника в крайнее верхнее положение система стабилизации удерживает маятник в этом положении путем перемещения каретки на определенное число шагов в зависимости от угла наклона маятника. Разработаны алгоритмы для выведения маятника в положение неустойчивого равновесия и последующего его удержания в этом положении, а также соответствующее программное обеспечение.

обратный маятник

равновесие

стабилизация

обратная связь

алгоритм

фотоизлучатель

микропроцессор

программное обеспечение

1. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса// ЖЭТФ. – 1951. – №21. – С.588–597.

2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом// УФН. – 1951. – №44. – С.7–20.

3. Кузнецов В.П., Иванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектирование средств измерения параметров технологических объектов на основе волоконно-оптических преобразователей: учебное пособие. – Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2013. – 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.Н. Устройство для контроля перемещений// Патент России №2150086. – 2000. – Бюл. №15.

5. Формальский А.М. Остабилизации перевернутого маятника с неподвижной или подвижной точкой подвеса// ДАН. – 2006. – т.406, №2. – С.175–179.

6. Ashish S. Katariya Optimal state-feedback and output-feedback controllers for the wheeled inverted pendulum system; Georgia Institute of Technology, 2010. – 72 p.

7. Bradshaw A., Shao J. Swing-up control of the inverted pendulum systems// Robotica. – 1996. – Vol. 14. – Р. 397–405.

8. Bugeja M. Non-linear Swing-up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum System, Proc. of. EUROCON, Ljubljana. – 2003.

9. Positioning system. Smart Positioning Controller SPC200. Manual. Festo AG & Co. KG, Dept. KI-TD. – 2005. – 371 p.

10. SPC200 Smart Positioning Controller. WinPISA software package. Festo AG & Co. KG. – 2005. – 381 p.

Проблема управления объектами маятникового типа является фундаментальной для ряда областей науки, поскольку ее решение нашло отражение в теории автоматического управления, робототехнике и используется при моделировании летательных аппаратов, при решении задач стабилизации положения объектов на подвижной платформе, при разработке специальных средств передвижения - сегвеев и др.

Физический маятник - это одна из простых и наиболее распространенных физических моделей, представляющая собой груз, колеблющийся на нерастяжимой нити или жестком стержне. Частным случаем такой системы является обратный маятник, который представляет собой неустойчивый физический объект, обладающий двумя положениями равновесия: в нижней и верхней точках. При этом любое, сколь угодно малое возмущение способно вывести маятник из верхнего положения равновесия с последующим стремлением его перейти в нижнее положение равновесия. Для стабилизации маятника в верхней точке система может дополняться различными элементами, обеспечивающими обратную связь - необходимую составляющую системы управления .

Решению задачи стабилизации верхнего положения для перевернутого маятника посвящены работы . Модель системы выражается следующим уравнением:

где m - масса маятника; l - длина подвеса маятника; J - момент инерции маятника; θ - угол наклона маятника от вертикали; a - ускорение движения точки подвеса маятника (каретки); g - ускорение свободного падения. Проведя преобразования, получаем

Следовательно, на движение системы влияют следующие параметры: масса и длина подвеса маятника и ускорение движения его точки подвеса - каретки.

Описание работы системы

В данной работе была поставлена задача смоделировать процесс выведения маятника в крайнее верхнее положение с последующей стабилизацией этого положения при использовании лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo (Германия) в качестве задатчика крайнего верхнего положения маятника, а также других компонентов, используемых для созданной системы стабилизации.

1.Стратегия выведения маятника в верхнее положение равновесия

Очевидно, что возможности выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия ограничены параметрами (вчастности, длиной привода и максимально возможным значением ускорения движения каретки) лабораторного стенда ТР-802 фирмы Festo, на базе которого решается поставленная задача. Так, максимальное ускорение движения каретки a=4м/с2.

Путем математических расчетов было установлено, что пороговое значение ускорения движения маятника, определяющее необходимое количество изменения кареткой направления своего движения, является a0=13,1м/с2. Поскольку при использовании лабораторного стенда Festo ТР-802 это значение намного превышает максимально возможное значение ускорения каретки, в данной работе была использована такая стратегия вывода обратного маятника, при которой многократно изменяется направление движения каретки и увеличивается смещение каретки от текущего положения.

2. Математическое описание вывода маятника в крайнее верхнее положение

Известно, что для достижения маятником своего верхнего положения равновесия его потенциальная энергия должна достичь значения Ep=2mpgl, где mp - масса маятника; l - длина маятника; g - ускорение свободного падения. При этом учитывается, что mp=0,06кг, l=0,25м, g=10м/с2. Таким образом, для решения поставленной задачи потенциальная энергия маятника должна стать равной Ep=0,3Дж.

Было решено, что раскачка маятника будет проводиться следующим образом: электромеханический привод смещает каретку относительно исходного положения на фиксированное число шагов сначала в отрицательном направлении, потом в положительном. Величина смещения от исходного положения возрастает каждый раз после того, как каретка сместилась в том и другом направлении. Для вывода маятника в крайнее верхнее положение равновесия был разработан алгоритм, представленный на рис.1. При этом принято: (1) каретка движется по оси Ox между точками X=0мм и X=300мм; (2) исходное положение каретки - координата X=150мм; (3) N - величина (в мм) смещения каретки от исходного положения, (4)K - задаваемое приращение (в мм) смещения каретки от этого положения.

Принимая во внимание, что при движении каретки с прикрепленным к ней маятником по горизонтальной оси кинетическая энергия движения каретки Eк превращается в потенциальную энергию движения маятника Ep, можно рассчитать прирост энергии маятника. Допустим, величина смещения каретки от исходного положения равна N=50мм, величина задаваемого приращения смещения каретки от исходного положения К=50мм. Тогда величина потенциальной энергии маятника после первого смещения каретки

после второго -

Таким образом, после трех движений каретки потенциальная энергия маятника должна превысить величину, требуемую для вывода его в верхнее положение равновесия.

3. Алгоритм вывода маятникав крайнее верхнее положение

На практике оказалось, что выводы, сделанные в предыдущем пункте с учетом превращения кинетической энергии каретки в потенциальную энергию маятника, не соответствуют экспериментальным данным. Большая часть энергии расходуется в окружающую среду ввиду несовершенства конструкции, трения каретки и подвеса маятника.

Таким образом, физическим объектом управления является обратный маятник, выведенный в крайнее верхнее неустойчивое положение за конечное число движений каретки электромеханического привода, приводимого в движение шаговым двигателем MTR-ST, которым управляет компьютер РС посредством координатного контроллера позиционирования SPC-200 . Начало работы системы стабилизации положения обратного маятника следует за выводом маятника в крайнее верхнее положение. Для решения этой задачи, с учетом , были разработаны алгоритм, представленный на рис.1, и соответствующая ему прикладная программа позиционирования каретки. При этом принято, что N - смещение каретки от центра оси привода, а K - задаваемое увеличение смещения каретки от центра оси привода.

Рис. 1. Алгоритм подпрограммы выведения маятника в верхнее положение

Листинг программы выведения маятника в крайнее верхнее положение, разработанной в ходе эксперимента над системой «каретка - маятник» с использованием программного приложения Festo WinPisa 4.41 , представлен ниже. Комментарии с пояснением кода программы приведены напротив соответствующих строк после знака «;».

В начале выполнения программы каретка перемещается в центр оси привода. Последующие 9строк программы соответствуют нарастающим колебаниям маятника, по окончании которых кареткой совершаются еще 2перемещения с целью недолговременной стабилизации маятника в верхней точке.

Непосредственно в момент достижения маятником верхнего положения равновесия управление движения системой «каретка - маятник» переходит к разработанной системе стабилизации.

4.Работа системы стабилизации

Одним из важных компонентов этой системы является оптическое устройство для контроля перемещений, описанное в работе . Структура системы приведена на рис.2.

На неподвижном основании1 расположена перемещающаяся по оси Х каретка3, на которой закреплен маятник7 с грузом8, содержащим излучатель9. Каретка жестко связана с шаговым двигателем4 посредством линейного электромеханического привода2. Шаговый двигатель4 управляется через контроллер двигателя5 с помощью контроллера позиционирования6. Компьютер14 управляет работой излучателя9 и дешифратора13, на входы которого поступают сигналы с фотоприемников 10, 11, 12 , содержащих устройство преобразования в величину тока, а их выходы связаны с компьютером14. При этом фотоприемник10 является центральным и формирует сигнал на своем выходе только тогда, когда обратный маятник находится в вертикальном положении (верхней точке).

Система работает следующим образом: маятник7 выводится в крайнее верхнее неустойчивое положение равновесия за конечное число движений каретки электромеханического привода, управляемого шаговым двигателем5, причем максимальное расстояние хода каретки составляет 300мм. Закрепленный на грузе маятника8 излучатель света9 включен с момента начала движения маятника7 вверх, а на фотоприемнике10 в момент вертикального положения маятника7 формируется сигнал, который через дешифратор 13 поступает на компьютер 14 и программно фиксируется, что соответствует крайнему верхнему положению маятника. Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику10 первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений.

Находясь под воздействием физических сил, маятник не может долго оставаться в этом положении и начинает отклоняться. При отклонении маятника от вертикали изменяется направление света фотоизлучателя, что регистрируется фотоприемниками. По тому, какой ближайший фотоприемник по отношению к фотоприемнику 10первым зарегистрировал сигнал излучателя (Лк или Пк), можно установить координаты маятника (угол отклонения маятника от вертикали) и направление отклонения. Количество фотоприемников и шаг их чередования прямо зависят от требуемой точности измерений. Информация о положении маятника7 поступает от фотоприемников в компьютер14, обрабатывается по заданной программе, на основании чего формируется управляющее воздействие для контроллера позиционирования 6: сдвинуть каретку в сторону отклонения маятника на определенное число шагов, зависящее от отклонения маятника от вертикали. Таким образом, данная система является замкнутой и позволяет стабилизировать обратный маятник в вертикальном положении. Алгоритм работы системы представлен на рис.3.

Рис. 2. Структура системы

Рис. 3. Алгоритм работы системы

Заключение

Таким образом, в данной работе были разработаны алгоритмы выведения маятника в крайнее верхнее положение равновесия с последующим его удержанием в вертикальном (неустойчивом) положении равновесия. Неидеальность конструкции маятника привела к необходимости выполнения большего числа движений каретки для вывода маятника в верхнюю точку. Также были разработаны принципы построения опто-механической системы стабилизации положения обратного маятника в верхней точке, состоящей из лабораторного электро-механического стенда ТР-802 фирмы Festo и оптического устройства контроля перемещений. Вкачестве рекомендаций предлагается использование полученных результатов для разработки систем мониторинга технологических объектов при перемещении управляемых сканирующих органов по трем координатам.

Библиографическая ссылка

Кузяков О.Н., Андреева М.А. ОПТО-МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА // Фундаментальные исследования. – 2016. – № 5-3. – С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата обращения: 23.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»