Решить логарифмическое неравенство егэ задание 15. Примеры заданий ЕГЭ

Статья посвящена разбору заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике за 2017 год. В этом задании школьникам предлагают для решения неравенства, чаще всего логарифмические. Хотя могут быть и показательные. В данной статье приводится разбор примеров логарифмических неравенств, в том числе содержащих переменную в основании логарифма. Все примеры взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике (профиль), так что подобные неравенства с большой вероятностью могут попасться вам на экзамене в качестве задания 15. Идеально для тех, кто за коротких промежуток времени хочет научиться решать задание 15 из второй части профильного ЕГЭ по математике, чтобы получить больше баллов на экзамене.

Разбор заданий 15 из профильного ЕГЭ по математике

В заданиях 15 ЕГЭ по математике (профиль) часто встречаются логарифмические неравенства. Решение логарифмических неравенств начинается с определения области допустимых значений. В данном случае в основании обоих логарифмов нет переменной, есть только число 11, что существенно упрощает задачу. Поэтому единственное ограничение, которое у нас здесь есть, заключается в том, что оба выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Первое неравенство в системе — это квадратное неравенство. Чтобы его решить, нам бы очень не помешало разложить левую часть на множители. Я думаю, вы знаете, что любой квадратный трехчлен вида раскладывается на множители следующим образом:

где и — корни уравнения . В данном случае коэффициент равен 1 (это числовой коэффициент, стоящий перед ). Коэффициент тоже равен 1, а коэффициент — это свободный член, он равен -20. Корни трёхчлена проще всего определить по теореме Виета. Уравнение у нас приведённое, значит сумма корней и будет равна коэффициенту с противоположным знаком, то есть -1, а произведение этих корней будет равно коэффициенту , то есть -20. Легко догадаться, что корни будут -5 и 4.

Теперь левую часть неравенства можно разложить на множители: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось X в точках -5 и 4. Значит, искомое решение неравенства — это промежуток . Для тех, кому не понятно, что здесь написано, подробности вы можете посмотреть в видеоролике, начиная с этого момента . Там же вы найдёте подробное объяснение, как решается второе неравенство системы. Оно решается . Причём ответ получается точно таким же, как и для первого неравенства системы. То есть записанное выше множество — это и есть область допустимых значений неравенства.

Итак, с учётом разложения на множители, исходное неравенство принимает вид:

Используя формулу , внесём 11 в степень выражения, стоящего под знаком первого логарифма, и перенесём второй логарифм в левую сторону неравенства, изменив при этом его знак на противоположный:

После сокращения получаем:

Последнее неравенство, в силу возрастания функции , эквивалентно неравенству , решением которого является промежуток . Осталось пересечь его с областью допустимых значений неравенства, и это получится ответ ко всему заданию.

Итак, искомый ответ к заданию имеет вид:

С этим заданием мы разобрались, теперь переходим к следующему примеру задания 15 ЕГЭ по математике (профиль).

Решение начинаем с определения области допустимых значений данного неравенства. В основании каждого логарифма должно находиться положительное число, которое не равно 1. Все выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть положительны. В знаменателе дроби не должно оказаться нуля. Последнее условие эквивалентно тому, что , поскольку лишь в противном случае оба логарифма в знаменателе обращаются в нуль. Все эти условия определяют область допустимых значений этого неравенства, задающуюся следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

В области допустимых значений мы можем использовать формулы преобразования логарифмов для того, чтобы упростить левую часть неравенства. С помощью формулы избавляемся от знаменателя:

Теперь у нас получились только логарифмы с основанием . Это уже удобнее. Далее используем формулу , в также формулу для того, чтобы привести выражение, стоящее слава, к следующему виду:

При вычислениях мы использовали то, что в области допустимых значений . Используя замену , приходим к выражению:

Используем ещё одну замену: . В результате чего приходим к следующему результату:

Итак, постепенно возвращаемся к исходным переменным. Сперва к переменной :

ЕГЭ по математике профильный уровень

Работа состоит из 19 заданий.
Часть 1:
8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности.
Часть 2:
4 задания с кратким ответом
7 заданий с развернутым ответом высокого уровня сложности.

Время выполнения - 3 часа 55 минут.

Примеры заданий ЕГЭ

Решение заданий ЕГЭ по математике.

Для самостоятельного решения:

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек.
Счетчик электроэнергии 1 ноября показывал 12625 киловатт-часов, а 1 декабря показывал 12802 киловатт-часа.
Какую сумму нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь?
Ответ дайте в рублях.

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек.
Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг.
Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Маша отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям.
Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 30 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Маши было 30 рублей.
Сколько рублей останется у Маши после отправки всех сообщений?

В школе есть трехместные туристические палатки.
Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское).
Сколько часов поезд находится в пути?

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием - степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: - 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: - Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг - один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую - два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

ЕГЭ 2020 по математике задание 15 с решением

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2020 по математике

ЕГЭ по математике 2020 в формате pdf Базовый уровень | Профильный уровень

Задания для подготовки к ЕГЭ по математике: базовый и профильный уровень с ответами и решением.

Математика: базовый | профильный 1-12 | | | | | | | | Главная

ЕГЭ 2020 по математике задание 15

ЕГЭ 2020 по математике профильный уровень задание 15 с решением

ЕГЭ по математике задание 15

Условие:

Решить неравенство:
log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3)/(7 -x 2 +16 - 1)) > log 2 (7 7-x 2 - 2) 2

Решение:

Разбираемся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7 (-(x 2))-3) (7 (-(x 2) + 16) -1) > 0

X 2 всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7 (-x 2) < = 1, следовательно,
7 (-x 2) - 3 < = -2 < 0

Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7 (-(x 2)+16) - 1 < 0
7 (-(x 2)+16) < 1 = 7 0
-(x 2)+16 < 0
x 2 > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)

2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но там результат будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках стоят одинаковые выражения.

3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7 (7-x 2) -2) 2 > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7 (7-x 2) -2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7(2))
7-x 2 = log_7(2)
x 2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

То есть, условие x не равно (+-)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п. (1) мы уже выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.

Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (- бесконечность; -4) U (4, + бесконечность)

4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно преобразовать вот так:
log_2((7 (-x 2) - 3) 2) > log_2((7 (7 - x 2) - 2) 2)

Log_2(x) - функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не меняя знак:
(7 (-x 2) -3) 2 > (7 (7-x 2) -2) 2

Оценим сверху и снизу выражения (7 (-x 2) -3) 2 и (7 (7-x 2) -2) 2 , принимая во внимание ОДЗ:

X 2 < -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9

X 2 < -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4

Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.