Измерение времени соударения упругих шаров - лабораторная работа. Лабораторная работа

Лабораторная работа

Измерение времени соударения упругих шаров

Цель работы : Измерение времени соударения упругих шаров, определение закона упругой силы, возникающей при соударении шаров.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Соударение упругих шаров не является мгновенным. Соприкосновение шаров длится хотя и малый, но конечный промежуток времени, а силы, возникающие при ударе хотя и велики, но также конечны.

С момента соприкосновения шаров начинается процесс их деформации. Точка соприкосновения переходит в круглую площадку, при этом кинетическая энергия переходит в энергию упругой деформации. Возникают упругие силы, которые достигают наибольшей величины в момент наибольшего сжатия шаров. Затем идет обратный процесс перехода потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения, заканчивающийся в момент расхождения шаров. Все эти процессы взаимного перехода энергии разворачиваются на очень малом промежутке времени, называемом временем соударения. В общем случае время соударения зависит от упругих свойств материала шаров, их относительной скорости в момент начала удара и от их размеров.

Время соударения определяется законом упругой силы, возникающей при соударении шаров. Известно, что при упругой деформации линейных пружин, стержней упругая сила F определяется законом Гука F = -kh , где h - величина деформации пружины. При деформации тел сложной формы зависимость упругой силы от величины сжатия можно представить в следующем виде

Такой вид зависимости F от h следует из решения так называемой контактной задачи теории упругости, решенной Г.Герцем. При этом было получено, что показатель n=3/2 , а величина k при соударении шаров радиуса R и R" определяется формулой

. (2)

где D зависит от упругих свойств материала шаров.

Н
еобходимо отметить, что при ударе деформируются оба шара, поэтому под величиной сжатия h в формуле (1) следует понимать разность между суммой R+R" и расстоянием между центрами шаров при соприкосновении (см. рис.1).

Потенциальная энергия соприкасающихся деформированных шаров можно определить, используя известную формулу F=-dU/dh .

. (3)

Зависимость времени соударения шаров  от параметров k и n в законе упругой силы (1) можно получить, используя закон сохранения энергии. В системе отсчета, в которой центр инерции шаров покоится, энергия до столкновения равна кинетической энергии относительного движения  V2/2 , где V - относительная скорость сталкивающихся шаров, а  =m1m2 /(m1+m2) их приведенная масса.

В течение столкновения относительная скорость V=dh/dt будет в начале уменьшаться до нуля. Также будет уменьшаться и кинетическая энергия, равная ( /2)(dh / dt )2 . Одновременно будет возрастать величина сжатия, которая достигнет значения h0 в тот момент, когда относительная скорость окажется равной нулю. После достижения максимального сжатия процессы пойдут в обратном направлении. Систему сталкивающихся упругих шаров можно считать замкнутой, поэтому в ней должен выполняться закон сохранения энергии, в силу которого сумма кинетической энергии -  V2/2 и потенциальной энергии - (k / n +1) hn +1 в течение деформации постоянна и равна энергии шаров до соприкосновения, то есть

. (4)

Из этого уравнения можно определить максимальное сближение шаров h0 , которое достигается, когда скорость dh/dt=0 . Получаем из (4)

. (5)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его относительно dt , получаем

Время  , в течение которого длится столкновение (т.е. h меняется от 0 до h0 $ и обратно до нуля), равно

Этот интеграл удобно взять, если ввести новую переменную

Нетрудно видеть также, что x0 - значение новой переменной в точке максимального сжатия равно 1. Имеем

Последний интеграл является табличным, его значение зависеть только от числа n . Таким образом, зависимость времени соударения от скорости приобретает следующий вид.

, (6)

где I(n) -- значение интеграла, зависящее от n .

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Вид формулы (6) подсказывает методику эксперимента для определения параметров в законе упругой силы (1). Представим формулу (6) в следующем виде

Где (7)

Прологарифмируем обе части этого выражения

Отсюда видно, что если экспериментально измерить время соударения  при различных значениях относительной скорости V и по этим данным построить зависимость ln от lnV , то она, согласно (8), представляет собой прямую линию. Причем тангенс угла наклона этой прямой равен b , а отсекаемая часть - lnA . По величине b , можно определить показатель степени n в законе упругой силы. Далее по известным значениям n и A , зная массу шаров (т.е. величину  ), можно рассчитать и значение k .

Установка для измерения зависимости  от V такова. На основании установлена колонка, на которой закреплены два кронштейна. На верхнем кронштейне закрепляются стержни, служащие для подвеса шаров. Расстояние между этими стержнями может изменяться при помощи воротка. На стержнях помещены передвижные держатели подвеса шаров. Через эти подвесы подводится напряжение к нижним подвесам, а через них к шарам. Длина подвесов может регулироваться при помощи специальных втулок с винтами. На нижнем кронштейне закреплена угловая шкала, по которой можно перемещать электромагнит и фиксировать высоту его установки.

К основанию прибора привинчен электронный секундомер, на задней панели которого находится разъем, подающий напряжение к шарам и электромагниту. На лицевой панели секундомера расположены цифровое табло, кнопка "Сеть ", а также кнопки управления "Пуск " и "Сброс ".

Электронная часть установки работает следующим образом. При нажатии кнопки "Пуск " отключается напряжение, питающее электромагнит. Правый шар, удерживаемый до этого электромагнитом под определенным углом к вертикали, отрывается от него и приходит в контакт с покоящимся левым шаром. Шары соединены с контактами блока формирования импульсов. Таким образом, в момент начала соударения происходит короткое замыкание этих контактов, и блок формирования генерирует электрический сигнал. Этот сигнал подключает к счетчику импульсов кварцевый генератор, частота которого очень стабильна и равна 1000000  1Гц , т.е. длительность одного импульса равна 1мкс. Эти импульсы, если их число меньше 999, подсчитываются счетчиком, то есть можно измерять интервалы времени до 999мкс. В конце соударения, когда шары расходятся, блок формирования вырабатывает новый импульс, который отключает кварцевый генератор от счетчика импульсов. Число импульсов, сосчитанных счетчиком за время контакта шаров, или, что то же самое, длительность столкновения в микросекундах высвечивается на цифровом табло. Если длительность контакта шаров превышает 999мкс, на лицевой панели секундомера загорается лампочка "переполнение ". При нажатии кнопки "Сброс " показания секундомера обнуляются, все электронные схемы переводятся в первоначальное состояние, прибор готов к следующим измерениям.

Таким образом, видно, что измерение времени в данной работе является прямым измерением. Систематическая погрешность измерения составляет 1мкс. Измерение скорости в этой работе, напротив, является измерением косвенным. Она о
пределяется следующим образом.

Скорость V шара в момент удара такая же, какая была у шара, падающего по вертикали с высоты H , то есть V=  2gH . Из рис.2 видно, что H=l-a , где l - длина подвеса. Но a=l cos значит H=l(1- cos ) $. Из тригонометрии известно, что 1- cos =2 sin2( /2), откуда H=2l sin2( /2) .Таким образом, . (9)

Длина подвеса измеряется непосредственно линейкой, значение отсчитывается по шкале с точностью  0,5  .

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ И УСЛОВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Откорректировать установку шаров. Для этого воротком, находящемся на верхнем кронштейне, установить такое расстояние между стержнями, чтобы шары соприкасались друг с другом. Отрегулировать высоту подвеса так, чтобы центры шаров были на одном уровне.

2. Включить микросекундомер в сеть. Нажать кнопку "Сеть ". При этом на цифровом табло должны загореться нули. Кнопка "Пуск " должна быть отжата.

3. Установить электромагнит так, чтобы правый шар, удерживаемый электромагнитом, был отклонен на максимальный угол. Нажав кнопки "Сброс ", а затем "Пуск " провести пробное измерение. При этом надо проследить, чтобы соударение было центральным, то есть траектория движения левого шара после столкновения должна находиться в плоскости движения правого шара до столкновения.

4. Установить с помощью электромагнита шар под максимально возможным углом к вертикали. Не менее 5 раз провести измерение времени соударения для данного угла. Следить за тем, чтобы левый шар в момент удара не двигался. Рассчитать скорость правого шара перед соударением по формуле (9), рассчитать погрешность определения V . Провести обработку результатов измерения времени столкновения, то есть рассчитать среднее значение, среднеквадратичное отклонение, доверительные границы. Провести анализ результатов измерения времени на промах.

5. Изменяя угол подвеса шаров в диапазоне до минимально возможного провести измерение времени соударения аналогично пункту 4. Результаты представить в виде таблицы. Построить график зависимости ln от lnV .

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости ln от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости ln от lnV , введем новые обозначения x =lnV , y =ln , a =lnA . Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

Задача состоит в нахождении таких значений a и b , при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i -го опыта выбирается величина (yi-a-bxi)2 . Почему берется именно такая величина, а не просто (yi-a-bxi) ? Ясно, что оба знака уклонения a+bxi от yi нехороши: плохо, если a и b , таковы, что yi , но также нехорошо, если a и b , таковы, что yi>a+bxi . Если бы за меру отклонения была бы взята величина yi-a-bxi , а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (yi-a-bxi)2 , то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (yi-a-bxi)2>0 .

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l ), т.е.

. (11)

Метод определения констант a и b , входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b , так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b , поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b , то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

. (12)

Величины xi , yi , xi 2 и xiyi просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b . Решая ее любым способом, нетрудно получить

Таким образом, параметры a и b , рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b , можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S0 , характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

. (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

. (15)

Наконец, доверительные границы a и b параметров прямой при доверительной вероятности  рассчитываются следующим образом

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+  )/2 и для числа точек, равного l-2 . Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10 ) при доверительной вероятности  =0.9 , то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t0,95, 8 = 2,36.

Определив параметр b , можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n) . Тогда для n получаем

. (17)

Погрешность n определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

где b вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2 .

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a =lnA , имеем A=ea и, согласно формуле (7), получаем.

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл, достаточно просто берется лишь для n , кратных ½ . Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n . Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k . Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность k , зная n и a . Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h0 по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h , из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Лабораторная работа >> Физика

... соударения . Общий вид прибора для исследования столкновения шаров ... зависят от упругих свойств материалов шаров . При столкновении шара с неподвижной... на угол 1. Порядок выполнения работы Измерение времени взаимодействия шаров и углов , β, γ, γ1. 1) ...

Ультразвук и его применение (2)

Научная работа >> Физика

Равновесия. В этом случае на шар действует возвращающая сила, направленная... точности расчетов. На принципе измерения времени запаздывания основана гидроакустическая локация и... таким образом, служит мерой упругости , и упругость воздуха, как и других газов...

Физические величины. Основы физики

Шпаргалка >> Физика

73 км/с. 15. Соударения тел. Упругое и неупругое взаимодействия. Абсолютно... столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями. ... классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного...

Механика, молекулярная физика и термодинамика

Учебное пособие >> Физика

... времени между событиями. где - промежуток времени между событиями, измеренный ... какую высоту поднимутся шары после соударения , если удар неупругий... шар догоняет меньший. 158. Абсолютно упругий шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся упругим шаром ...

Лабораторная работа №1-5: соударение шаров. Студент группа - страница №1/1

доц. Миндолин С.Ф.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-5: СОУДАРЕНИЕ ШАРОВ.
Студент____________________________________________________________________ группа:_________________

Допуск__________________________________ Выполнение _______________________Защита _________________
Цель работы: Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений. Экспериментальное определение импульса шаров до и после столкновения, расчёт коэффициента восстановления кинетической энергии, определение средней силы соударения двух шаров, скорости шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: прибор для исследования столкновения шаров FPM-08, весы, шары, изготовленные из разных материалов.

Описание экспериментальной установки. Механическая конструкция прибора

Общий вид прибора для исследования столкновения шаров FPM-08 представлен на рис.1. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками (2), которые позволяют устанавливать горизонтальное положение основания прибора. В основании закреплена колонна 3, к которой перекреплены нижний 4 и верхний 5 кронштейны. На верхнем кронштейне крепится стержень 6 и винт 7, служащие для установки расстояния между шарами. На стержнях 6 помещены передвигаемые держатели 8 с втулками 9, фиксированные при помощи болтов 10 и приспособленные к прикреплению подвесов 11. Через подвесы 11 проходят провода 12, подводящие напряжение к подвесам 13, а через них к шарам 14. После ослабления винтов 10 и 11 можно добиться центрального соударения шаров.

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15,16, а на специальных направляющих - электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный первого шара. К основанию прибора прикреплён секундомер FRM-16 21,передающий через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

На лицевой панели секундомера FRM-16 находятся следующие манипуляционные элементы:

1. 
   W1 (Сеть)- выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения;
2. 
   W2 (Сброс) – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сбрасывание схем секундомера FRM-16.
3. 
   W3 (Пуск) –управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование в схеме секундомера импульса как разрешение на измерения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Упражнение №1. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента

восстановления кинетической энергии.

Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном шаре в месте, где происходит удар, прикрепляется кусочек пластилина.

Таблица №1.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара

Упражнение №2. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе.

Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №2.

№ опыта
1
2
3
4
5

Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара
. По полученному значению отношения проекции импульсов до и после столкновения сделайте вывод о сохранении импульса системы во время столкновения.

Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара . По полученному значению отношения кинетических энергий до и после столкновения сделайте вывод о сохранении механической энергии системы во время столкновения.

Сравните полученное значение величины силы взаимодействия
с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Импульс и энергия, виды механической энергии.
2. 
   Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе.
3. 
   Закон изменения полной механической энергии, закон сохранения полной механической энергии.
4. 
   Консервативные и неконсервативные силы.
5. 
   Удар, виды ударов. Запись законов сохранения для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.
6. 
   Взаимопревращение механической энергии при свободном падении тела и упругих колебаниях.

Работа, мощность, КПД. Виды энергии.

- Механическая работа постоянной по величине и направлению силы

A = FScosα ,
где А – работа силы, Дж

F – сила,

S – перемещение, м

α - угол между векторами и

Виды механической энергии

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел.

В механике различают следующие виды энергии:

- Кинетическая энергия

- кинетическая энергия материальной точки

- кинетическая энергия системы материальных точек.

где Т – кинетическая энергия, Дж

m – масса точки, кг

ν – скорость точки, м/с

особенность:
Виды потенциальной энергии

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй материальной точки
П=mgh
особенность:

(см. рисунок)

-Потенциальная энергия поднятой над Землёй системы материальных точек или протяжённого тела
П=mgh ц. Т.
где П – потенциальная энергия, Дж

m – масса, кг

g – ускорение свободного падения, м/с 2

h – высота точки над нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

h ц.т . - высота центра масс системы материальных точек или протяжённого тела над

нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

особенность: может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от выбора начального уровня отсчёта потенциальной энергии

- Потенциальная энергия деформированной пружины

, где к – коэффициент жёсткости пружины, Н/м

Δх – величина деформации пружины, м

Особенность: всегда является величиной положительной.

- Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек

-
, где G – гравитационная постоянная,

M и m – массы точек, кг

r – расстояние между ними, м

особенность: всегда является величиной отрицательной (на бесконечности она принята равной нулю)

Полная механическая энергия

(это сумма кинетической и потенциальной энергии, Дж)

Е = Т + П

Механическая мощность силы N

(характеризует быстроту выполнения работы)

где А – работа силы за время t

Ватт

различают: - полезную мощность

Затраченную (или полную мощность)

где А полезная и А затр – это полезная и затраченная работа силы соответственно

Мощность постоянной силы можно выразить через скорость равномерно движущегося

под действием этой силы тела:

N = Fv . cosα , где α – угол между векторами силы и скорости
Если скорость тела меняется, то различают ещё мгновенную мощность:

N = Fv мгн . cosα , где v мгн – это мгновенная скорость тела

(т.е. скорость тела в данный момент времени), м/с

Коэффициент полезного действия (КПД)

(характеризует экономичность двигателя, механизма или процесса)

η =
, где η – величина безразмерная
Связь A , N и η

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Импульсом материальной точки называется векторная величина равная произведению массы этой точки на её скорость:

,

Импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная:

Импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

,

Закон изменения импульса:

Вектор изменения импульса механической системы тел равен произведению векторной суммы всех внешних сил, действующих на систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой механической системы остаётся постоянной как по величине, так и по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы или результирующая всех внешних сил равна нулю.

Внешними называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.

Внутренними называются силы, действующие между телами самой системы.
Для незамкнутых механических систем закон сохранения импульса можно применить в следующих случаях:

1. 
   Если проекции всех внешних сил, действующих на систему, на какое-либо направление в пространстве равны нулю, то на это направление выполняется закон сохранения проекции импульса,

(то есть, если )

1. 
   Если внутренние силы по величине много больше внешних сил (например, разрыв

снаряда), либо очень мал промежуток времени, в течение которого действуют

внешние силы (например, удар), то закон сохранения импульса можно применить

в векторном виде,

(то есть )

Закон сохранения и превращения энергии:

Энергия ни откуда не возникает и ни куда не исчезает, а лишь переходит из одного вида энергии в другой, причём так, что суммарная энергия изолированной системы остаётся постоянной.

(например, механическая энергия при столкновении тел частично переходит в тепловую энергию, энергию звуковых волн, затрачивается на работу по деформации тел. Однако суммарная энергия до и после столкновения не изменяется)
Закон изменения полной механической энергии:

Изменение полной механической энергии системы тел равно сумме работ всех неконсервативных сил, действующих на тела этой системы.

(то есть )

Закон сохранения полной механической энергии:

Полная механическая энергия системы тел, на тела которой действуют только консервативные силы или все действующие на систему неконсервативные силы работу не совершают, не изменяется с течением времени.

(то есть
)

К консервативным силам относятся:
,
,
,
,
.

К неконсервативным - все остальные силы.

Особенность консервативных сил : работа консервативной силы, действующей на тело, не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а определяется лишь начальным и конечным положением тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная

,

Направление вектора М можно определить по правилу буравчика :

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора М.

Модуль момента силы относительно неподвижной точки
,

Момент импульса тела относительно неподвижной точки

,

Направление вектора L можно определить по правилу буравчика.

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора L.
Модуль момента импульса тела относительно неподвижной точки
,

закон изменения момента импульса

Произведение векторной суммы моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки О, действующих на механическую систему, на время действия этих сил равно изменению момента импульса этой системы относительно той же точки О.

закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной точки О не изменяется ни по величине ни по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Если в задаче требуется найти работу консервативной силы, то удобно применять теорему о потенциальной энергии:

Теорема о потенциальной энергии:

Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела или системы тел, взятому с противоположным знаком.

(то есть )

Теорема о кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело.

(то есть
)

Закон движения центра масс механической системы:

Центр масс механической системы тел движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие на эту систему.

(то есть
),

где m – масса всей системы,
- ускорение центра масс.

Закон движения центра масс замкнутой механической системы:

Центр масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

(то есть, если )

Следует помнить, что все законы сохранения и изменения необходимо записывать относительно одной и той же инерциальной системы отсчёта (обычно относительно земли).

Виды ударов

Ударом называется кратковременное взаимодействие двух или более тел.

Центральным (или прямым ) называется удар, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. (в противном случае удар называется нецентральным или косым )

Упругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся раздельно друг от друга.

Неупругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое, то есть с одной и той же скоростью.

Предельными случаями ударов являются абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар Абсолютно неупругий удар

1. выполняется закон сохранения 1. выполняется закон сохранения

импульса: импульса:

2. закон сохранения полной 2. закон сохранения и превращения

механической энергии: энергии:

где Q – количество теплоты,

выделившееся в результате удара.

ΔU – изменение внутренней энергии тел в

результате удара
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Момент импульса твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси
,

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно оси, движущейся поступательно

,

Основное уравнение динамики вращательного движения механической системы:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно неподвижной точки О, равна скорости изменения момента импульса этой системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно неподвижной оси Z, равна произведению момента инерции этого тела относительно оси Z, на его угловое ускорение.

Теорема Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями

,

Момент инерции материальной точки
,

Элементарная работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,

Работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси
,

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1_5

СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ

Ознакомьтесь с конспектом лекций и учебником (Савельев, т.1, § 27, 28). Запустите программу «Механика. Мол.физика». Выберите «Механика» и «Соударения упругих шаров». Нажмите вверху внутреннего окна кнопку с изображением страницы. Прочитайте краткие теоретические сведения. Необходимое запишите в свой конспект. (Если вы забыли, как работать с системой компьютерного моделирования, прочитайте ВВЕДЕНИЕ еще раз)

ЦЕЛЬ РАБОТЫ :

1. 
   Выбор физических моделей для анализа взаимодействия двух шаров при столкновении.
2. 
   Исследование , сохраняющихся при соударениях упругих шаров.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:

Ознакомьтесь с текстом в Пособии и в программе компьютера (кнопка “Физика”). Законспектируйте следующий материал:

удар (соударение, СТОЛКНОВЕНИЕ ) - модель взаимодействия двух тел, длительность которого равна нулю (мгновенное событие). Применяется для описания реальных взаимодействий, длительностью которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР - столкновение двух тел, после которого форма и размеры сталкивающихся тел восстанавливаются полностью до состояния , предшествовавшего столкновению. Суммарные импульс и кинетическая энергия системы из двух таких тел сохраняются (после столкновения такие же, какими были до столкновения):

Пусть второй шар до удара покоится. Тогда, используя определение импульса и определение абсолютно упругого удара, преобразуем закон сохранения импульса, спроектировав его на ось ОХ, вдоль которой движется тело, и ось OY, перпендикулярную OX, в следующее уравнение:

Прицельное расстояние d есть расстояние между линией движения первого шара и параллельной ей линией , проходящей через центр второго шара. Законы сохранения для кинетической энергии и импульса преобразуем и получим:

ЗАДАНИЕ: Выведите формулы 1, 2 и 3
МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Внимательно рассмотрите рисунок, найдите все регуляторы и другие основные элементы и зарисуйте их в конспект.

Рассмотрите картинку на экране. Установив прицельное расстояние d  2R (минимальное расстояние, при котором не наблюдается столкновения), определите радиус шаров.

Установив прицельное расстояние 0
Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.
ИЗМЕРЕНИЯ:

Установите, двигая мышью движки регуляторов, массы шаров и начальную скорость первого шара (первое значение), указанные в табл. 1 для вашей бригады. Прицельное расстояние d выберите равным нулю. Нажимая мышью на кнопку «СТАРТ» на экране монитора, следите за движением шаров. Результаты измерений необходимых величин записывайте в таблицу 2, образец которой приведен ниже.

Измените значение прицельного расстояния d на величину (0.2d/R, где R - радиус шара) и повторите измерения.

Когда возможные значения d/R будут исчерпаны, увеличьте начальную скорость первого шара и повторите измерения , начиная с нулевого прицельного расстояния d. Результаты запишите в новую таблицу 3, аналогичную табл. 2.

Таблица 1. Массы шаров и начальные скорости (не перерисовывать).

Номер бригады	m 1	m 2	V 0 (м/с)	V 0 (м/с)		Номер бригады	m 1	m 2	V 0 (м/с)	V 0 (м/с)
1	1	5	4	7		5	1	4	6	10
2	2	5	4	7		6	2	4	6	10
3	3	5	4	7		7	3	4	6	10
4	4	5	4	7		8	4	4	6	10

Таблицы 2 и 3. Результаты измерений и расчетов (количество измерений и строк = 10)

	m 1 =___(кг), m 2 =___(кг), V 0 = ___(м/с), (V 0) 2 = _____(м/с) 2
№	d/R	V 1	V 2	 1 град	 2 град	V 1 Cos 1	V 1 Sin 1	V 2 Cos 2	V 2 Sin 2	(м/с) 2	(м/с) 2
1	0
2	0.2
...

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА:

1. 
   Вычислите необходимые величины и заполните таблицы 2 и 3.
2. 
   Постройте графики зависимостей (на трех рисунках)

1. 
   По каждому графику определите отношение масс m 2 /m 1 шаров. Вычислите среднее значение этого отношения и абсолютную ошибку среднего.
2. 
   Проанализируйте и сравните измеренные и заданные значения отношения масс.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. 
   Что такое удар (столкновение)?
2. 
   Для какого взаимодействия двух тел можно применять модель столкновения?
3. 
   Какое столкновение называют абсолютно упругим?
4. 
   При каком столкновении выполняется закон сохранения импульса?
5. 
   Дайте словесную формулировку закона сохранения импульса.
6. 
   При каких условиях сохраняется проекция суммарного импульса системы тел на некоторую ось.
7. 
   При каком столкновении выполняется закон сохранения кинетической энергии?
8. 
   Дайте словесную формулировку закона сохранения кинетической энергии.
9. 
   Дайте определение кинетической энергии.
10. 
    Дайте определение потенциальной энергии.
11. 
    Что такое полная механическая энергия.
12. 
    Что такое замкнутая система тел?
13. 
    Что такое изолированная система тел?
14. 
    При каком столкновении выделяется тепловая энергия?
15. 
    При каком столкновении форма тел восстанавливается?
16. 
    При каком столкновении форма тел не восстанавливается?
17. 
    Что такое прицельное расстояние (параметр) при столкновении шаров?

1.ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: «Наука», 1982.
2. 
   Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. М.: «Наука», 1978.
3. 
   Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3. М.: «Наука», 1979.

2.НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ

Название	Символ	Значение	Размерность
Гравитационная постоянная	 или G	6.67 10 -11	Н м 2 кг -2
Ускорение свободного падения на поверхности Земли	g 0	9.8	м с -2
Скорость света в вакууме	c	3 10 8	м с -1
Постоянная Авогадро	N A	6.02 10 26	кмоль -1
Универсальная газовая постоянная	R	8.31 10 3	Дж кмоль -1 К -1
Постоянная Больцмана	k	1.38 10 -23	Дж К -1
Элементарный заряд	e	1.6 10 -19	Кл
Масса электрона	m e	9.11 10 -31	кг
Постоянная Фарадея	F	9.65 10 4	Кл моль -1
Электрическая постоянная	 о	8.85 10 -12	Ф м -1
Магнитная постоянная	 о	4 10 -7	Гн м -1
Постоянная Планка	h	6.62 10 -34	Дж с

ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ

для образования десятичных кратных и дольных единиц

Приставка	Символ	Множитель		Приставка	Символ	Множитель
дека	да	10 1		деци	д	10 -1
гекто	г	10 2		санти	с	10 -2
кило	к	10 3		милли	м	10 -3
мега	М	10 6		микро	мк	10 -6
гига	Г	10 9		нано	н	10 -9
тера	Т	10 12		пико	п	10 -12

Цель работы: изучение законов сохранения импульса и энергии, определение времени соударения шаров и модуля Юнга.

Оборудование: лабораторная установка «удар шаров» (рис. 14), сменные шарики, весы. На двух парах металлических проводов установки подвешены два сменных латунных или стальных шара. Один из шаров может удерживаться в отклоненном состоянии электромагнитом ЭМ. Клавиша (3) «пуск» отключает питание электромагнита, отклоненный шар освобождается и ударяет по второму шару. Шары являются элементами электрической цепи, которая замыкается в момент удара. Время протекания тока по цепи измеряется таймером, установленным внутри электронного блока, а на табло фиксируется время соударения шаров. Чтобы включить электронный блок, необходимо нажать клавишу (1) «сеть». Клавиша (2) «сброс» обнуляет таймер. При этом включается электромагнит, удерживающий первый шар. Все шары, используемые в работе, имеют сквозное отверстие с резьбой и накручиваются на вертикальные стержни, закрепленные на проводах - подвесах. По нижней части стержня можно считывать угол отклонения шара.

Рис. 14. Установка «удар шаров»: электромагнит удерживает шар в отклоненном положении.

Теория эксперимента. Рассмотрим соударение двух одинаковых шаров.Отклоним один из шаров на угол α и рассмотрим соударение шаров в системе центра масс. Отклоненный шар обладает потенциальной энергией

где L – длина подвеса, m – массы шаров.

Когда шар приходит в движение, его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Если v - скорость первого шара относительно второго, то в системе центра масс его скорость равна . В системе центра масс каждый шар обладает кинетической энергией:

Согласно теореме Кёнига, кинетическая энергия системы, состоящей из двух тел равна сумме кинетических энергий этих тел в системе центра масс и кинетической энергии всей массы системы, состоящей из массы тел системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс. Поскольку массы шаров равны, кинетическая энергия системы двух тел в момент их соударения равна:

Здесь v 0 – скорость первого шара относительно второго перед соударением, - скорости шаров в системе центра масс и скорость центра масс в лабораторной системе отсчета. Известно, что , поэтому формула (1) для потенциальной энергии примет вид:

где l – длина дуги, по которой отклонялся шар, l=αL. Перед столкновением кинетическая энергия системы шаров (3) будет равна потенциальной энергии отклоненного шара (4):

После начала движения скорость шаров в системе центра масс будет меняться от нуля до значения и будет функцией времени .

При столкновении шары сдавливаются и сближаются на некоторое расстояние h , скорость каждого шара в системе центра масс связана со сближением шаров выражением

Потенциальная энергия сжатия для двух шаров была впервые получена Г. Герцем. Она имеет вид:

где коэффициент пропорциональности k имеет вид:

здесь E - модуль Юнга, μ – коэффициент Пуассона, R – радиус шаров. Во время столкновения шары деформируются, но продолжают двигаться навстречу друг другу. При этом их кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная энергия растет. Кинетическая энергия каждого из сталкивающихся шаров, двигающихся навстречу друг другу со скоростями в системе центра масс будет равна:

Кинетическая энергия центра масс в лабораторной системе отсчета:

а их сумма с потенциальной энергией деформации равна кинетической энергии системы в лабораторной системе отсчета перед столкновением:

Скорость шаров обратится в ноль в точке максимального сближения (рис. 15), когда

Расстояние h 0 «взаимного проникновения» шаров найдем из условия равенства нулю скорости шаров, :

Сделаем грубую оценку времени столкновения шаров (считая, что каждый шар проходит расстояние , двигаясь со скоростью , тогда как на самом деле скорости шаров изменяются во времени):

В работе оценка этого времени выполнена более строго. Согласно время столкновения должно быть равно:

Подставим в эту формулу выражения для скорости и коэффициента упругости шара.

Зная время взаимодействия шаров, найдем значение модуля Юнга:

Ход работы. Все заключения теоретической части относятся к центральному удару. Поэтому, прежде всего, проверьте правильность подвеса шаров. Шары должны находиться на одинаковом уровне, точки подвеса нитей должны быть расположены друг напротив друга, длины нитей подвеса должны быть одинаковыми.

1. Измерьте с помощью штангенциркуля диаметры шаров и высоту подвеса шаров при помощи линейки.

2. Передвигая электромагнит на различные углы от 7 0 до 15 0 , и меняя угол на 1 0 , исследуйте зависимость времени соударения стальных шаров от угла α . Для каждого угла рассчитайте коэффициент линейной зависимости , где . Результаты занесите в таблицу:

α 1								A
7 0
8 0
…

3. Повторите измерения пункта 2 для латунных шаров.

Обработка результатов. Для двух типов шаров постройтена одном листе две зависимости и . Для стальных шаров, пользуясь табличными значениями коэффициента Пуассона μ и плотности ρ, рассчитайте модуль Юнга по формуле:

С учетом ошибок измерения R и L , вычислите ошибку в определении модуля Юнга. По тангенсу угла наклона прямой A 2 для латуни, а также по табличным значениям коэффициента Пуассона μ и плотности ρ, для стали и для латуни, рассчитайте модуль Юнга для второй пары шаров, пользуясь формулой:

Контрольные вопросы

1. Какой удар называется абсолютно упругим?

2. Какой удар называется абсолютно неупругим?

3. Получить формулы для скоростей тел после абсолютно упругого центрального удара в лабораторной системе отсчета.

4. Получить выражения для скоростей тел после абсолютно неупругого центрального удара в лабораторной системе отсчета.

5. Выполнить преобразования для нахождения скоростей тел после абсолютно упругого центрального удара в системе центра масс.

6. Найти скорость тел после абсолютно неупругого центрального удара в системе центра масс.

7. Ледокол, ударяясь о льдину массы M , отбрасывает ее, сообщив ей скорость v м/c. Давление ледокола на льдину нарастает равномерно во времени при сближении ледокола со льдиной и также равномерно убывает, когда они расходятся. Найти максимальную силу давления льдины на борт корабля, если удар продолжался τ с.

8. Движущийся шар налетает на неподвижный шар той же массы и отклоняется. Под каким углом разлетаются шары после удара? Удар абсолютно упругий.

9. Какие факторы не учитывались в задаче? Оцените их влияние.

Литература: - §34, 35, 81,87, 88

Список литературы

1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002.

3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. 2-е изд. М.: Наука, 1971.

4. Стрелков С.П. Механика. 3-е изд. М.: Наука, 1975.

5. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1975.

6. Общий физический практикум. Механика /Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

7. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ.- М.: Мир, 1985.

8. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретация эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1990.

9. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высшая школа, 1989.

10. Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971.

11. Китель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика: Учебное руководство: Пер. с англ. – М.: Наука, 1983.

Приложение. Таблица коэффициентов Стьюдента

Число измерений (n )	Надежность (α )
0,5	0,6	0,7	0, 8	0,9	0,95	0,98	0,999
	1, 00	1,38	1, 96	3, 07	6, 31	12, 71	31, 82	636,62
	0,82	1, 06	1, 39	1, 89	2, 92	4, 30	6, 96	31, 60
	0, 76	0, 98	1, 25	1, 64	2, 35	3, 18	4, 54	12, 92
	0, 73	0, 94	1, 19	1, 53	2, 13	2, 78	3, 75	8, 61
	0, 73	0,92	1, 16	1,48	2,02	2,57	3,36	6,87
	0, 72	0, 91	1,13	1, 44	1, 94	2,45	3,14	5,96
	0, 71	0, 90	1,12	1, 41	1, 90	2,36	3,00	5,41
	0, 71	0, 90	1,11	1, 40	1, 86	2,31	2,90	5,04
	0, 70	0,88	1,10	1, 38	1, 83	2,26	2,82	4,78

Эмпирический – основанный на опыте.

Цели работы:

1) изучение законов упругого и неупругого соударения шаров,

2) определение отношения скоростей и масс шаров.

Основные понятия и закономерности

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе тела испытывают деформацию. Явление удара протекает обычно в сотые, тысячные и миллионные доли секунды. Время соударения тем меньше, чем меньше деформации тел. Так как при этом количество движения тел изменяется на конечную величину, то при соударении развиваются огромные силы.

Процесс удара разделяют на две фазы.

Первая фаза – с момента соприкосновения тел до момента, когда их относительная скорость становится равной нулю.

Вторая фаза – от этого последнего момента до момента, когда соприкосновение тел прекращается.

С момента возникновения деформаций в местах соприкосновения тел начинают действовать силы, направленные противоположно относительным скоростям тел. При этом происходит переход энергии механического движения тел в энергию упругой деформации (первая фаза удара).

Во второй фазе удара, когда относительная скорость стала равной нулю, начинается частичное или полное восстановление формы тел, затем тела расходятся и удар заканчивается. В этой фазе кинетическая энергия системы растет за счет положительной работы упругих сил.

У реальных тел относительная скорость после удара не достигает той величины, которую она имела до удара, так как часть механической энергии необратимо переходит во внутреннюю и другие формы энергии.

Различают два предельных типа удара:

а) удар абсолютно неупругий;

б) удар абсолютно упругий .

Абсолютно неупругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из пластических материалов (глина, пластилин, свинец и др.), форма которых не восстанавливается после прекращения действия внешней силы.

Абсолютно неупругим ударом называется удар, после которого возникшие в телах деформации полностью сохраняются. После абсолютно неупругого удара тела движутся с общей скоростью.

Абсолютно упругий удар (близкий к нему) возникает при столкновении тел из упругих материалов (сталь, слоновая кость и др.0, форма которых после прекращения действия внешней силы полностью (или почти полностью) восстанавливается. При упругом ударе восстанавливается форма тел и величина их кинетической энергии. После удара тела движутся с разными скоростями, но сумма кинетических энергий тел до удара равна сумме кинетических энергий после удара. Прямая, совпадающая с нормалью к поверхности тел в точке их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если линия удара проходит через центры тяжести тел. Если векторы скоростей тел до удара лежали на линии удара, то удар называется прямым.

При соударении тел выполняются два закона сохранения.

1. Закон сохранения импульса .

В замкнутой системе (система, для которой результирующая всех внешних сил равна нулю) векторная сумма импульсов тел не изменяется, т.е. величина постоянная:

= = = const , (4.1)

где – полный импульс системы,

– импульс i –го тела системы.

2. Закон сохранения энергии

В замкнутой системе тел сумма кинетической, потенциальной и внутренней энергии остается величиной постоянной:

W к + W n + Q = const, (4.2)

Где W к – кинетическая энергия системы,

W n – потенциальная энергия системы,

Q – энергия теплового движения молекул (тепловая энергия).

Простейшим случаем соударения тел является центральный удар двух шаров. Рассмотрим удар шаров массами m i и m 2 .

Скорости шаров до удара и после удара и . Для них законы сохранения импульса и энергии запишутся так:

. (4.4)

Удар шаров характеризуется коэффициентом восстановления К , который определяется отношением относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара . , взятое по абсолютной величине т.е.

Скорости первого шара относительно второго до и после удара равны:

, . (4.6)

Тогда коэффициент восстановления шаров равен:

. (4.7)

При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения механической энергии, Q = 0, относительные скорости шаров до и после взаимодействия равны и коэффициент восстановления равен 1.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия системы не сохраняется, часть ее переходит во внутреннюю. Тела деформируются. После взаимодействия тела двигаются с одинаковой скоростью, т.е. их относительная скорость равна 0, поэтому коэффициент восстановления тоже равен нулю, К = 0. Закон сохранения импульса запишется в виде

где – скорость тел после взаимодействия.

Закон сохранения энергии примет вид:

. (4.9)

Из уравнения (4.9) можно найти Q – механическую энергию, перешедшую во внутреннюю.

На практике предельные случаи взаимодействия осуществляются редко. Чаще взаимодействие носит промежуточный характер, и коэффициент восстановления К имеет значение.