Чтобы найти площадь параллелограмма надо знать. Площадь параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм - это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны.
Онлайн-калькулятор
Параллелограмм обладает некоторыми полезными свойствами, которые упрощают решение задач, связанных с этой фигурой. Например, одно из свойств заключается в том, что противоположные углы параллелограмма равны.
Рассмотрим несколько способов и формул с последующим решением простых примеров.
Формула площади параллелограмма по основанию и высоте
Данный способ нахождения площади является, наверно, одним из основных и простых, так как он практически идентичен формуле по нахождению площади треугольника за небольшим исключением. Для начала разберем обобщенный случай без использования чисел.
Пусть дан произвольный параллелограмм с основанием a a a , боковой стороной b b b и высотой h h h , проведенной к нашему основанию. Тогда формула для площади этого параллелограмма:
S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h
A a
a
- основание;
h h
h
- высота.
Разберем одну легкую задачу, чтобы потренироваться в решении типовых задач.
ПримерНайти площадь параллелограмма, в котором известно основание, равное 10 (см.) и высота, равная 5 (см.).
Решение
A = 10 a=10
a
=
1
0
h = 5 h=5
h
=
5
Подставляем в нашу формулу. Получаем:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50
S
=
1
0
⋅
5
=
5
0
(см. кв.)
Ответ: 50 (см. кв)
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
В этом случае искомая величина находится так:
S = a ⋅ b ⋅ sin (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha) S = a ⋅ b ⋅ sin (α )
A , b a, b
a
,
b
- стороны параллелограмма;
α \alpha
α
- угол между сторонами a a
a
и b b
b
.
Теперь решим другой пример и воспользуемся вышеописанной формулой.
ПримерНайти площадь параллелограмма если известна сторона a a a , являющаяся основанием и с длиной 20 (см.) и периметр p p p , численно равный 100 (см.), угол между смежными сторонами ( a a a и b b b ) равен 30 градусам.
Решение
A = 20 a=20
a
=
2
0
p = 100 p=100
p
=
1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
Для нахождения ответа нам неизвестна лишь вторая сторона данного четырехугольника. Найдем ее. Периметр параллелограмма дается формулой:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b
p
=
a
+
a
+
b
+
b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b
1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b
+
b
100 = 40 + 2 b 100=40+2b
1
0
0
=
4
0
+
2
b
60 = 2 b 60=2b
6
0
=
2
b
b = 30 b=30
b
=
3
0
Самое сложное позади, осталось только подставить наши значения для сторон и угла между ними:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^{\circ})=300
S
=
2
0
⋅
3
0
⋅
sin
(3
0
∘
)
=
3
0
0
(см. кв.)
Ответ: 300 (см. кв.)
Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac{1}{2}\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha) S = 2 1 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α )
D D
D
- большая диагональ;
d d
d
- малая диагональ;
α \alpha
α
- острый угол между диагоналями.
Даны диагонали параллелограмма, равные 10 (см.) и 5 (см.). Угол между ними 30 градусов. Вычислить его площадь.
Решение
D = 10 D=10
D
=
1
0
d = 5 d=5
d
=
5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^{\circ})=12.5 S = 2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (см. кв.)
Параллелограмм – геометрическая фигура, часто встречающаяся в задачах курса геометрии (раздел планиметрия). Ключевыми признаками данного четырехугольника являются равенство противолежащих углов и наличие двух пар параллельных противоположных сторон. Частные случаи параллелограмма – ромб, прямоугольник, квадрат.
Расчет площади данного вида многоугольника может быть произведен несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.
Найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Для вычисления площади параллелограмма можно воспользоваться значениями его стороны, а также длины высоты, опущенной на нее. При этом полученные данные будут достоверны как для случая известной стороны – основания фигуры, так и если в вашем распоряжении боковая сторона фигуры. В таком случае искомая величина будет получена по формуле:
S = a * h (a) = b * h(b),
- S – площадь, которую следовало определить,
- a, b – известная (или полученная путем вычислений) сторона,
- h – высота, опущенная на нее.
Пример: значение основания параллелограмма – 7 см, длина перпендикуляра, опущенного на него из противолежащей вершины, – 3 см.
Решение:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Найти площадь параллелограмма, если известны 2 стороны и угол между ними
Рассмотрим случай, когда вы знаете величины двух сторон фигуры, а также градусной меры угла, который они между собой образуют. Предоставленными данными также можно воспользоваться для нахождения площади параллелограмма. В этом случае выражение-формула будет иметь следующий вид:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – боковая сторона,
- с – известное (или полученное путем вычислений) основание,
- α, β – углы между сторонами a и c.
Пример: основание параллелограмма – 10 см, его боковая сторона на 4 см меньше. Тупой угол фигуры составляет 135°.
Решение: определяем значение второй стороны: 10 – 4 = 6 см.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Найти площадь параллелограмма, если известны диагонали и угол между ними
Наличие известных значений диагоналей данного многоугольника, а также угла, который они образуют в результате своего пересечения, позволяет определить величину площади фигуры.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S – площадь, которую следует определить,
d1, d2 – известные (или полученные путем вычислений) диагонали,
γ, φ – углы между диагоналями d1 и d2.
Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
- Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты - Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
- Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
где S - площадь треугольника,
- длины сторон треугольника,
- высота треугольника,
- угол между сторонами и,
- радиус вписанной окружности,
R - радиус описанной окружности,
Формулы площади квадрата
- Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. - Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.S = 1 2 2
где S - Площадь квадрата,
- длина стороны квадрата,
- длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника
равна произведению длин двух его смежных сторон
где S - Площадь прямоугольника,
- длины сторон прямоугольника.
Формулы площади параллелограмма
- Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма - Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.a · b · sin α
где S - Площадь параллелограмма,
- длины сторон параллелограмма,
- длина высоты параллелограмма,
- угол между сторонами параллелограмма.
Формулы площади ромба
- Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты. - Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба. - Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S - Площадь ромба,
- длина стороны ромба,
- длина высоты ромба,
- угол между сторонами ромба,
1 , 2 - длины диагоналей.
Формулы площади трапеции
- Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,
Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ \LARGE S = a \cdot h_{a}\]
где:
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне.
2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]
3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\[ \LARGE S = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot sin(\alpha) \]
Свойства параллелограмма
В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)
В параллелограмме противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам \(AO = OC \) , \(BO = OD \)
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 o:
\(\angle A + \angle B = 180^{o} \), \(\angle B + \angle C = 180^{o}\)
\(\angle C + \angle D = 180^{o} \), \(\angle D + \angle A = 180^{o}\)
Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:
\(d_{1}^{2} + d_{2}^2 = 2a^{2} + 2b^{2} \)
В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: \(\angle K B H =\angle A \) .
Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник будет параллелограммом, если:
\(AB = CD \) и \(AB || CD \)
\(AB = CD \) и \(BC = AD \)
\(AO = OC \) и \(BO = OD \)
\(\angle A = \angle C \) и \(\angle B = \angle D \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Площадь параллелограмма
Теорема 1
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
где $a$ сторона параллелограмма, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Очевидно, что фигура $FDAE$ -- прямоугольник.
\[\angle BAE={90}^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-{90}^0={180}^0-\angle A-{90}^0={90}^0-\angle A=\angle BAE\]
Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда
Значит по теореме о площади прямоугольника :
Теорема доказана.
Теорема 2
Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).
Рисунок 2.
По определению синуса, получим
Следовательно
Значит, по теореме $1$:
Теорема доказана.
Площадь треугольника
Теорема 3
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.
Математически это можно записать следующим образом
где $a$ сторона треугольника, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.
Доказательство.
Рисунок 3.
Значит по теореме $1$:
Теорема доказана.
Теорема 4
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.
Математически это можно записать следующим образом
где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ -- угол между ними.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).
Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда
Значит по теореме $1$:
Теорема доказана.
Площадь трапеции
Теорема 5
Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.
Математически это можно записать следующим образом
Доказательство.
Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).
Рисунок 4.
По теореме $3$, получим
Теорема доказана.
Пример задачи
Пример 1
Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$
Решение.
Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.
Тогда, по теореме $4$, имеем
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.