Пусть тупым является угол с. Тупоугольный треугольник

Вообще, треугольник представляет собой наиболее простейшую фигуру из всех существующих многоугольников. Образуется он с помощью трех точек, которые лежат в 1-ой плоскости, но, при этом они не лежат на 1-ой прямой, и попарно соединяются между собой отрезками. Треугольники бывают различных типов, а значит, характеризуются разными свойствами. Зависимо от типа углов треугольник может относится к одному из 3-х видов - быть остроугольным, прямоугольным или же тупоугольным. Тупоугольным треугольником является треугольник, который имеет один тупой угол. При этом, тупым называют такой угол, который имеет величину более девяноста градусов, но менее ста восьмидесяти градусов.

Иными словами, тупоугольный треугольник представляет собой простейший многоугольник, который в себе содержит тупой угол - какой-то из его углов находится в пределах 90-180 градусов.

Задача: Является или нет треугольник тупоугольным тогда, когда:

• угол ABC в нем равняется 65 градусам;
• его угол BCA составляет 95 градусов;
• угол CAB - 20 градусов.

Решение: Углы CAB и ABC менее 90 градусов, но, при этом, угол BCA более 90 градусов. Значит, такой треугольник является тупоугольным.

Как найти стороны тупоугольного равнобедренного треугольника

Что представляет собой тупоугольный треугольник, мы разобрались выше. Теперь следует разобраться с тем, какой треугольник считается равнобедренным.

Равнобедренным называют такой треугольник, который имеет 2 абсолютно равные стороны. Стороны эти называют боковыми, третью же сторону треугольника называют основанием.

Вершины треугольника обозначают обычно заглавными латинскими буквами – то есть, A, B и C. Величины его углов соответственно вершинам обозначаются греческими буквами, то есть α,β, γ. Длины противоположных сторон треугольника - прописными латинскими буквами, то есть, a, b, c.

Простая задача: Периметр тупоугольного равнобедренного треугольника - 25см, разность 2-ух его сторон - 4 см, а 1-ин из внешних углов треугольника - острый. Как найти стороны такого треугольника?

Решение: Угол, смежным с которым выступает острый угол треугольника, является тупым. В треугольнике такого плана тупым углом может являться исключительно тот угол, который находится против его основания. Соответственно, основание является самой большой стороной такого треугольника. Если принять основание данного треугольника за х, то для решения этой задачи нужно использовать следующую формулу:

Ответ: основание равнобедренного тупоугольного треугольника составляет 11 см, а его обе стороны по 7 см.

ФОРМУЛЫ, по которым можно найти стороны тупоугольного равнобедренного треугольника

Используемые обозначения:

• b – это сторона основания треугольника
• а – его равные стороны
• α – углы при основании треугольника
• β – угол, который образован его равными сторонами
• √ - корень квадратный

1. Формулы длины основания (b):

• b = 2а sin(β/2) = а√2–2cosβ
• b = 2а cos α

2. Формулы длины равных сторон треугольника (а):

2sin(β/2) √2-2cos β

Как найти косинус угла в тупоугольном треугольнике если известна высота

Для начала не помешает разберемся в с основных терминах, которые использованы в этом вопросе: что называется высотой треугольника и что же такое косинус угла.

Высотой треугольника считается перпендикуляр, который проведен из вершины его к прямой, которая содержит противоположную сторону данного треугольника. Косинус – известная тригонометрическая функция, являющаяся одной из главных функций тригонометрии.

Для того, чтобы найти косинус угла в тупоугольном треугольнике с вершинами А, В и С, при условии, что высота известна, нужно опустить высоту из В на сторону АС. Точку, в которой высота пересекается со стороной АС необходимо обозначить D и рассмотреть треугольник АВD, который является прямоугольным. В данном треугольнике АВ, которая является стороной исходного треугольника, - это гипотенуза. Катетами же являются высота ВD исходного треугольника, а также отрезок АD, который принадлежит стороне АС. При этом, косинус угла, соответствующего вершине А, равняется отношению АD к АВ, так как катет АD - прилежащий к углу при вершине А в треугольнике АВD. В том случае, когда известно то, в каком именно соотношении сторона АС делится высотой ВD и какая эта высота, то косинус угла, соответствующий вершине А, найден.

1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)

Решение. Обозначим больший угол треугольника через?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?;

Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы

Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.

Ответ: тупоугольный.

2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)

Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:

Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°.

3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, ?5 и 3 (рис. 128). (1)

Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:

В нашем случае:

Полупериметр:

Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:

Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:

4. В треугольнике ABC, где?ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2)

Решение. Воспользуемся формулой длины медианы

У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC ? BC ? cos(?АСВ) = 62+ 42– 2 ? 6 ? 4 ? cos 120° = 36 + 16–48?(-1/2) = 76.

5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2)

Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С.

Из прямоугольного треугольника ВМС следует:

А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:

Ответ: AB = ?41; AC = 5.

6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)

Решение: Обозначим через? наименьший угол в треугольнике и через? наибольший угол. Тогда третий угол равен? – ? – ?. По условию задачи? – ? = ? – ? – ? (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2? = ?; ? = ?/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла?, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctg?, а гипотенуза АС равна 1/sin ?. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:

а площадь равна:

Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:

Длина большей стороны треугольника равна

7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2)

Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр

Расстояние между центрами окружностей:

8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)

Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:

1) на отрезок АВ;

2) на продолжение отрезка АВ за точку В;

3) в точку В.

По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:

Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что

Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см.

Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см.

9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3)

Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:

Т. к. по условию задачи В1С1:ВС = ?n, то

Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:

откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения

х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (2)

Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (2) является квадратным. Его дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n2+ 10n – 3.

Уравнение (2) будет иметь решения, если – 3n2+ 10n – 3 ? 0, т. е. при -1/3 ? n ? 3. Т. к. n – натуральное число, большее 1, то уравнение (2) имеет решения при n = 2 и n = 3. При n = 3 уравнение (2) имеет корень х = 1; при n = 2 уравнение имеет корни

Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно

при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет.

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ. Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) - данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a - данная прямая и A - данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.