Главная Для детей "силой трения можно пренебречь". Пособие по практическим занятиям Трением пренебречь

"силой трения можно пренебречь". Пособие по практическим занятиям Трением пренебречь

Вот так я вижу выражение главного принципа, всегда обеспечивавшего человечеству громадную скорость, на которой оно безмятежно и вольготно несётся в сторону знака "Стоп! ". Этот принцип можно выразить, конечно, и по-другому: "примем объект "А" за точку " или "тридцатью процентами голосов за другие идеи можно пренебречь ". Можно пренебречь чем угодно , если только это что-то мешает однозначно ответить на интересующие нас вопросы. А таких вопросов много, которые уже много-много лет нас интересуют, и если мы не способны получить на них однозначный ответ, то просто подтасовываем данные так, чтобы однозначный ответ всё-таки получился. Подтасовывание данных чаще всего происходит с помощью упрощения системы; мы пренебрегаем некоторыми данными и получаем определённый результат. Поэтому рождается следующий вопрос. А почему и исходя из каких соображений мы пренебрегли именно этими данными? Может мы просто пытаемся подогнать условия задачи под заранее ожидаемый результат? Почему мы притворяемся, что данных, которыми мы пренебрегаем, не существует в природе и они ни на что не влияют?

"Конечно же влияют , - скажет вам любой математик или физик,- но их влияние абсолютно незначительно. И даже это незначительное влияние мы учитываем, если нам вообще вдруг захочется его учесть, с помощью такого понятия как погрешность ".(очень интересное слово кстати). Но ведь даже из математики известно, что погрешность растёт с ростом количества произведённых действий, подразумевавших пренебрежение какими-то данными. (Если, например, перемножить два числа, которые были округлены с точностью до семи верных знаков после запятой, то получим число, которое уже не будет содержать семи верных знаков после запятой. Т.е. погрешность растёт. ) Тут неучтённый, малю-ю-сенький такой фактор, тут тоже пренебрежём, и так много-много раз. И в итоге мы получаем не просто не точный результат; в нём уже будет заложена недопустимая неточность с точки зрения использования этого результата для решения многих других задач. Но такие результаты зачастую повсеместно принимаются на вооружение и редко кто замечает, что неточность недопустима велика. Ему сразу же приводят пример, для которого использование неточного результата не создаёт никаких проблем. По-крайней мере так кажется на первый взгляд. Когда ошибка вылезет, а случится это может после решения пары-тройки вытекающих из предыдущей логики уравнений, или же это может произойти через несколько сотен лет - придётся возвращаться назад по расчётам и парадигмам вниз, пока мы на каком-то из этапов не увидим недопустимое упрощение.

Поэтому не зря говорят "дьявол в мелочах " и, вполне возможно, что не зря слово "погрешность " имеет в себе явное указание на нечто неблагодарное. Что-то нехорошее мы делаем, получается?

А теперь посмотрите на объём текста, который всего-то навсего описывает искусные выверты и фокусы, которые использует человечество в попытке ответить на интересующие его вопросы. Ведь была возможность поступить по-другому и не пытаться искажать окружающую действительность, подтасовывая данные, и не пытаться искать ответы на все вопросы. Можно было просто понять и смириться с тем, что на некоторые вопросы нам не дано знать ответ хотя бы потому, что человек ещё даже не научился правильно их формулировать. Можно было уже наконец смириться и с тем, что мир намного сложнее, чем наши схематичные представления о нём. Можно уже было смириться и с тем, что техногенный мир, созданный нами, основан на упрощениях, и потому он заведомо проще устроен, и потому не идеален, и ему это можно простить. И нам это тоже можно простить. Можно было уже наконец смириться и с тем, что меньшее не способно познать большее, что менее сложно устроенная система не способна познать более сложно устроенную. И можно было просто жить, любя этот мир таким какой он есть. И любить себя в этом мире и вообще всё, что есть в этом мире. И такие люди есть, уж поверьте=). Но есть и такие, которые не хотят любить - они хотят исследовать, а предмет исследования, тем временем, совсем не торопится покидать категорию "недоисследован " и "к бабке не ходи " ещё на очень и очень долгое время останется для людей непознанным. Разные в общем есть люди.

Процесс, описанный в задаче, можно разбить на два этапа:

1) пуля попадает в тело, сообщая ему некоторую скорость;

2) имея эту начальную скорость, тело отклоняется на нитях на некоторый угол .

На первом этапе происходит неупругое взаимодействие тел. При этом в системе (тело + пуля) действуют неконсервативные силы (сила трения, или сопротивления движению пули в теле), и часть энергии пули превращается в тепло. В этих условиях закон сохранения механической энергии не выполняется, поэтому воспользуемся только законом сохранения импульса. На этом этапе должна сохраняется горизонтальная проекция импульса, откуда можно найти начальный импульс тела после по падания в него пули.

На втором этапе неконсервативные силы отсутствуют. Поэтому применим закон сохранения энергии, связав угол отклонения нитей с изменением энергии тела в поле силы тяжести. Отсюда найдем искомую скорость.

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с поверхностью Земли. Ось направим вдоль направления движения пули, а ось вертикально вверх. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось для соударении тел:

где - скорость тела непосредственно после соударения. Массой пули пренебрегаем, т.к. по условию . Для второго этапа запишем закон сохранения энергии в виде

,(2)

где - высота подъема тела. Кинетическая энергия тела в начале этапа равна потенциальной энергии в поле силы тяжести в конце. Из рисунка находим , откуда

Закон сохранения импульса целесообразно применять для решения тех задач, в которых требуется определять скорости, а не силы или ускорения. Конечно, решать подобные задачи можно, используя законы Ньютона. Но применение закона сохранения импульса упрощает решение.

Прежде чем решать задачу с помощью закона сохранения импульса, надо выяснить, можно ли его применять в данном случае. Закон можно применять для замкнутой системы или же в случае, когда сумма проекций сил на какое-либо направление равна нулю, а также когда импульсом внешних сил можно пренебречь.

Для решения задачи нужно записать закон в векторной форме (5.3.7).

После этого векторное уравнение записывают в проекциях на оси выбранной системы координат(1).

Выбор направления осей диктуется удобством решения задачи. Если, например, все тела движутся вдоль одной прямой, то координатную ось целесообразно направить вдоль этой прямой.

При решении некоторых задач приходится использовать дополнительно уравнения кинематики.

Некоторые задачи решаются с применением уравнения изменения импульса в форме (5.3.5).

Задача 1

Стальной шарик массой 0,05 кг падает с высоты 5 м на стальную плиту. После столкновения шарик отскакивает от плиты с такой же по модулю скоростью. Найдите силу, действующую на плиту при ударе, считая ее постоянной. Время соударения равно 0,01 с.

Решение. При ударе шар и плита действуют друг на друга с силами, равными по модулю, но противоположными по направлению. Определив силу, действующую на шарик со стороны плиты, мы тем самым найдем силу, с которой шарик действовал на плиту за время Δt, в течение которого длится соударение.

Во время соударения на шарик действуют две силы: сила тяжести m и сила со стороны плиты (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Согласно уравнению (5.2.3)

Обозначим через 1 скорость шарика непосредственно до удара о плиту, а через 2 - скорость после удара, тогда изменение импульса шарика Δ = m 2 - m 1 , поэтому

В проекциях на ось У это уравнение запишется так:

Учитывая, что v 2 = v 1 = v, получим

Модуль скорости шарика при падении его с высоты h определяется по формуле v = = 10 м/с. Теперь, используя выражение (5.7.1), найдем модуль силы :

По третьему закону Ньютона

Следовательно, F 1 = 100,5 Н; эта сила приложена к плите и направлена вниз.

Заметим, что чем меньше время взаимодействия Δt, тем большим будет значение величины в формуле (5.7.1) по сравнению с mg. Поэтому при соударении можно не учитывать силу тяжести. Если бы шар был сделан из пластилина, то он бы прилип к плите и модуль изменения его импульса был бы в два раза меньше. Соответственно и сила, действующая на плиту, была бы также в два раза меньше.

Задача 2

Во время маневров на железнодорожной станции две платформы массами m 1 = 2,4 10 4 кг и m 2 = 1,6 10 4 кг двигались навстречу друг другу со скоростями, модули которых равны v 1 = 0,5 м/с и v 2 = 1 м/с. Найдите скорость их совместного движения после того, как сработала автосцепка.

Решение. Изобразим схематично движущиеся платформы до столкновения (рис. 5.14). Внешние силы 1 и m 1 , 2 и m 2 , действующие на тела системы, взаимно уравновешены. На платформы действуют еще силы трения, которые являются внешними для системы.

Рис. 5.14

При качении платформ по рельсам силы трения невелики, поэтому за малый интервал времени столкновения они заметно не изменят импульс системы. Следовательно, можно применить закон сохранения импульса:

где - скорость платформ после сцепки.

В проекциях на ось X имеем:

Так как v 1х = v 1 a v 2x = -v 2 , то

Отрицательный знак проекции скорости показывает, что скорость направлена противоположно оси X (справа налево).

Задача 3

Два пластилиновых шарика, отношение масс которых = 4, после соударения слиплись и стали двигаться по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью . (рис. 5.15, вид сверху).

Рис. 5.15

Определите скорость легкого шара до соударения(2), если он двигался втрое быстрее тяжелого (v 1 = Зv 2), а направления движения шаров были взаимно перпендикулярны. Трением пренебречь.

Решение. Так как скорости 1 и 2 шаров взаимно перпендикулярны, то оси прямоугольной системы координат удобно направить параллельно этим скоростям.

Согласно закону сохранения импульса имеем:

Запишем это уравнение в проекциях на оси X и У, проведенные так, как показано на рисунке 5.15:

Так как v 1x = v 1 , v 2x = 0, v 1y = 0 и v 2y = v 2 , то

Модуль скорости равен:

Итак, v 1 = u, следовательно, v 1 = Зu.

Задача 4

Кузнечик сидит на конце соломинки длиной l, которая лежит на гладком полу. Кузнечик прыгает и попадает на другой конец соломинки. С какой минимальной начальной скоростью относительно пола min он должен прыгнуть, если его масса М, а масса соломинки m. Сопротивление воздуха и трение не учитывать.

Решение. Направим ось У вверх, а ось X вдоль соломинки по направлению прыжка кузнечика (рис. 5.16). Проекции скорости v кузнечика на координатные оси соответственно равны:

v x = vcos α и v y = vsin α.

Рис. 5.16

Рассмотрим систему кузнечик - соломинка. На тела системы внешние силы действуют лишь по вертикальному направлению (трение отсутствует).

Так как сумма проекций внешних сил на ось X равна нулю, то сохраняется сумма проекций импульсов кузнечика и соломинки на ось X:

где v 1x - проекция скорости соломинки относительно пола. Отсюда

По горизонтальному направлению кузнечик относительно соломинки пролетит расстояние l.

Следовательно, модуль горизонтальной составляющей его скорости относительно движущейся соломинки равен:

Но с другой стороны,

Таким образом,

Очевидно, что модуль скорости кузнечика минимален тогда, когда максимален знаменатель дроби полученного выражения. Как известно, значение синуса не может быть больше 1. Итак,

Задача 5

В начальный момент времени ракета массой М имела скорость v0. В конце каждой секунды из ракеты выбрасывается порция газа массой m. Скорость порции газа отличается от скорости ракеты до сгорания данной массы газа на постоянное значение, равное u, т. е. скорость истечения газа постоянна. Определите скорость ракеты через n секунд. Действие силы тяжести не учитывать.

Решение. Обозначим через v k скорость ракеты в конце k-й секунды. В конце (k + 1)-й секунды из ракеты выбрасывается газ массой m, который уносит с собой импульс, равный m(-u + v k). Из закона сохранения импульса, записанного для модулей векторов, следует, что

Изменение скорости ракеты за 1 с равно:

Зная изменение скорости за 1 с, можно написать выражение для скорости в конце n-й секунды:

Упражнение 10

Свинцовый шар массой 200 г движется перпендикулярно стене со скоростью 10 м/с и сталкивается с ней. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время столкновения равно 0,01 с. Шар не отскакивает от стены.
Стальной шар массой 100 г движется по горизонтальной поверхности без трения в направлении, перпендикулярном стене. Скорость шара до удара равна 10 м/с. После соударения шар отскакивает от стены с такой же по модулю скоростью, но в противоположном направлении. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время соударения 0,01 с.
По рельсам в горизонтальном направлении катится тележка с песком. Через отверстие в дне песок ссыпается между рельсами. Изменяется ли скорость тележки? Трение не учитывать.
На платформу массой 600 кг, движущуюся горизонтально со скоростью 1 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. Чему стала равна скорость платформы?
Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.
Призма массой М с углом наклона а находится на гладком льду. На призме у ее основания стоит собака массой m. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх по призме со скоростью v относительно нее?
Граната, брошенная от поверхности Земли, разрывается на два одинаковых осколка в наивысшей точке траектории на расстоянии а от места бросания, считая по горизонтали. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии l от места бросания упадет второй осколок?
Две ракеты массой М каждая летят в одном направлении: одна со скоростью v, а другая со скоростью v 1 = 1.1v. Когда одна ракета догнала другую, на короткое время был включен двигатель первой ракеты. Какую массу отработанного топлива она должна выбросить со скоростью v 2 = Зу относительно ракеты, чтобы скорости ракет для совершения безопасной стыковки стали равными?
Две лодки идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. При встрече лодки обмениваются грузами, имеющими одинаковую массу. Обмен может происходить двумя способами: 1) сначала с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки перебрасывают груз обратно на первую; 2) грузы перебрасывают из лодки в лодку одновременно. При каком способе скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше?
Три лодки с одинаковыми массами М движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m со скоростью u относительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать.
Снаряд разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда получает скорость, направленную вертикально вниз, и падает под местом разрыва, а вторая половина снаряда оказывается на расстоянии l по горизонтали от этого места. Определите модуль скорости снаряда перед разрывом и модуль скорости второго осколка, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и первый осколок достиг поверхности Земли через промежуток времени, равный t.
Человек, находящийся в лодке, переходит с ее носовой части на корму. На какое расстояние относительно воды переместится лодка длиной l, если масса человека m 1 а масса лодки m 2 ? Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать.

(1) Иногда целесообразно решать задачу, используя закон сложения векторов.

(2) Если после соударения тела движутся с одинаковой скоростью, то такой удар называется абсолютно неупругим.

Что это значит и как это повлияет на решение задачи.

Во первых, разберемся, что такое сопротивление воздуха и почему оно возникает. Как вы знаете (должны знать, вы же ходите в школу), все вещества состоят из молекул или атомов. Атомы это мельчайшие частицы (представим, что это маленькие-маленькие шарики), а молекулы – это тоже маленькие, но уже состоящие из нескольких атомов штуки.

Например молекула воды Н 2 О состоит из двух атомов водорода Н и одного атома кислорода О (то есть три шарика слиплись в одну штуку).

Раз мы до этого сказали, что “все вещества” состоят из них, то и воздух состоит тоже из атомов и молекул (мы дышим кислородом, значит 100% он есть в воздухе). Когда мы бросаем мячик или какой-то предмет вниз, то он начинает сталкиваться с мельчайшими шариками (атомами и молекулами) воздуха. Как раз эти столкновения и называют сопротивлением воздуха.

Теперь попробуем пренебречь этим сопротивлением. Для этого просто-напросто уберем все эти мельчайшие шарики (атомы и молекулы) из воздуха. Согласитесь напоминает вакуум (или безвоздушное пространство)? То есть тела при падении не будут ни с кем сталкиваться, а просто будут лететь вниз.

Теперь разберемся, как это повлияет на решение задачи?

Представим, что мы бросаем с одинаковой высоты мячик и перышко. Что упадет быстрее? Мячик? Нет . Перышко? Нет . Одинаково упадут? Нет . Почему нет? Да потому, что мы не знаем в воздухе это происходит (где есть сопротивление) или в вакууме (нет сопротивления). В воздухе быстрее упадет мячик, так как он тяжелее, и ему проще сбивать со своего пути атомы/молекулы воздуха. А перышко легче, оно будет немного тормозиться при этих столкновениях. Если же мы бросаем их в вакууме, то они упадут одинаково, так как им не придется ни с кем сталкиваться.