Чтение графика функции или графика производной функции. Чтение графиков

Обобщающий урок на тему:

«Применение производной и ее графика для чтения свойств функции»

Тип урока: обобщающий урок с применением ИКТ в форме презентации.

Цели урока:

Образовательные:

Содействовать усвоению учащимися применению производной в практических заданиях;

Научить учащихся четко использовать свойства функции и производной.

Развивающие:

Развивать умения анализировать вопрос задания и делать выводы;

Развивать умения применять имеющиеся знания в практических заданиях.

Воспитательные:

Воспитание интереса к предмету;

Необходимость данных теоретических и практических умений для продолжения учебы.

Задачи урока:

Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ;

Подготовиться к контрольной работе.

План урока.

1. Актуализация опорных знаний (АОЗ).

2. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

3. Тестирование (В8 из ЕГЭ).

4. Взаимопроверка, выставление оценок «соседу».

5. Подведение уроков урока.

Оборудование: компьютерный класс, доска, маркер, тесты (2 варианта).

Ход урока.

Оргмомент.

Учитель . Здравствуйте, садитесь.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

При подготовке к ЕГЭ по математике в КИМах даны задачи на применение графика производной для исследования функций. Поэтому на данном уроке мы должны систематизировать свои знания по этой теме и научиться быстро находить ответы на вопросы заданий В8.

Слайд №1.

Тема: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций»

Задачи урока:

Отработка ЗУН применения производной, ее геометрического смысла и графика производной для определения свойств функций.

Развитие оперативности выполнения тестов ЕГЭ.

Воспитание таких качеств личности как внимательность, умение работать с текстом, умение работать с графиком производной

2.Актуализация опорных знаний (АОЗ). Слайды с № 4 по № 10.

Сейчас на экране будут появляться вопросы для повторения. Ваша задача: дать четкий и краткий ответ по каждому пункту. Верность вашего ответа можно будет проверить на экране.

( На экране сначала появляется вопрос, после ответов учащихся для сверки появляется верный ответ.)

Список вопросов для АОЗ.

Определение производной.

Геометрический смысл производной.

Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции.

Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

6 .Необходимые и достаточные условия экстремума

7 . Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

(Учащиеся отвечают на каждый пункт, сопровождая свои ответы, записями и чертежами на доске. При ошибочных и неполных ответах, одноклассники исправляют и дополняют их. После ответа учащихся, на экране появляется верный ответ. Таким образом, учащиеся сразу могут определить верность своего ответа.)

3. Отработка знаний, умений и навыков по теме. Слайды № 11 по № 15.

Учащимся предлагаются задания из КИМов ЕГЭ по математике прошлых лет, из сайтов в интернете на применение производной и ее графика для исследования свойств функций. Задания появляются последовательно. Решения учащиеся оформляют на доске, либо устными рассуждениями. Затем на слайде появляется верное решение и сверяется с решением учащихся. Если в решении допущена ошибка, то она анализируется всем классом.

Слайд №16 и №17.

Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Тестирование (В8 из ЕГЭ). Слайды с № 18 по № 29. Слайд № 30 – ключи к тесту.

Учитель : Итак, мы обобщили ваши знания по данной теме: повторили основные свойства производной, решили задачи, связанные с графиком производной, разобрали сложные и проблемные моменты применения производной и графика производной для исследования свойств функций.

Сейчас проведем тестирование в 2 варианта. Задания будут появляться на экран оба варианта, одновременно. Вы изучаете вопрос, находите ответ, заносите его в бланк для ответов. После завершение теста, меняетесь бланками и проверяете работу соседа по готовым ответам. Выставляете оценку (до 10 баллов – «2», с 11 до 15 баллов –«3», с 16 до 19 баллов – «4», более 19 баллов – «5».).

Подведение итогов урока

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени.

Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Бланки с ответами сдайте. Оценка за урок вам уже известна и будет выставлена в журнал.

Считаю, что класс подготовился к контрольной работе.

Домашняя работа будет творческая . Слайд № 33 .

ШАЙМАРДАНОВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА

Учитель математики высшей квалиф. категории

Средняя школа №1 г. Елабуги

ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Цель урока: формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.

Литература:

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 340 стр.

Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 336 стр.

Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010/ под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2009 – 480 с. (Готовимся к ЕГЭ)

Материалы и оборудование: компьютерная презентация.

План урока:

Организационный момент.

Повторение теоретического материала по теме.

Основная часть.

Закрепление пройденного.

Подведение итогов.

Ход урока.

1 . Организационный момент.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график. Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение теоретического материала по теме.

Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.

- Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке?

Функция возрастает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Что называется точкой максимума функции?

Точка непрерывной функции, в которой возрастание функции меняется на убывание, является точкой максимума.

- Дайте определение точки минимума функции.

Точка, в которой убывание меняется на возрастание, является точкой минимума .

- Рассмотрим задачу:

На рис.1 изображен график функции у= f (х) . Функция определена на промежутке [-2;9]

Исследовать функцию на монотонность, определить экстремумы функции.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков [-2;2] и , убывает на промежутке , Xmax = 2 , Х min = 5.

- В чем заключается геометрический смысл производной?

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

- Какой знак имеет производная функции, возрастающей (убывающей) на промежутке Х ?

Для возрастающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна в каждой точке промежутка Х .

Для убывающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна в каждой точке промежутка Х .

- Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

Если функция y = f ( x ) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует.

- По графику функции у= f (х) (рис.2 ) укажите:

а) при каких значениях х производная функции равна 0;

б) при каких значениях х производная положительна;

в) при каких значениях х производная отрицательна;

г) в каких точках производная не существует.

Ответ: а) f " (2)=0, f " (5)=0, f " (8)=0;

б) производная положительна на промежутках: (- ∞; 2), (2; 5), (8; 11); в)производная отрицательна на промежутках: (5; 8), (11;+ ∞);

г) производная не существует в точке х=11.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

3. Основная часть.

Формирование знаний, умений и навыков.

Наоборот, по знаку производной можно сделать вывод о характере монотонности функции и ее экстремумах.

Для этого есть достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:

Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.

Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х 0 . Тогда если при переходе через точку х 0 производная:

а) меняет знак с « +» на «-» , то х 0 – точка максимума функции,

б) меняет знак с «-» на «+» , то х 0 – точка минимума функции,

в) не меняет знака, то в точке х 0 экстремума нет.

Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.

Х (у нас отрезок [ а; b ]) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.

Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале. Причем варианты графиков производной могут быть различны.

Поведение графика производной функции на [а; b ]

Функция возрастает Функция убывает

Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.

Рассмотрим несколько задач на чтение графика производной функции.

Задача 1. Сколько точек экстремума имеет функция у = f ( x ) , заданная на всей числовой прямой? Исследовать функцию y = f ( x ) на монотонность. Указать длину промежутка убывания функции f ( x ) . (Рис. 3 )

Производная равна 0 в точках: 3, 5, 9. Это критические точки.

Если на промежутке производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает. На данном рисунке это промежутки: (- ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

Функция непрерывна в точках, поэтому добавляем концы промежутков:(- ∞; 3], , . Длина его равна 2.

В точке х=3 производная меняет знак с «+» на « - ». Это точка максимума.

В точке х=5 производная меняет знак с «-» на «+». Это точка минимума.

В точке х=9 производная не меняет знака. Она не является точкой экстремума.

Задача 2. Функция определена на R . На рис. 4 – график ее производной. Указать наибольшую точку минимума функции у = f (х) .

Точка минимума функции – это точка в которой производная меняет знак с «-» на « +».

Из рисунка видно, что таких точек две: -2 и 10. Наибольшая из них – 10.

Задача 3. Функция у= f (х) определена на промежутке (-5; 9). На рис.5 изображен график ее производной. Найдите точку х 0 , в которой функция у = f (х) принимает наибольшее значение.

Производная функции определена на промежутке (-5; 9) и обращается в 0 в точке х =4.

На промежутке (-5; 4) производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке (-5; 4), а так как функция непрерывна в точке 4, то и на промежутке (-5; 4].

На промежутке (4; 9) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке , следовательно, производная функции отрицательна на этом промежутке. Функция возрастает на промежутке , возрастает на промежутке [а; + ∞), значит, производная функции отрицательна на промежутке (- ∞;а), положительна на промежутке (а; + ∞) Это прямая 3.

4. Закрепление пройденного.

Предлагаем тренажер по пройденной теме.

5. Подведение итогов.

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ

Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно тратить много времени. А во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ на вопрос задачи.

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Чтение графика функций. Решение задач В2

1. Объяснение понятие графика, методика чтения

В нашей жизни графики встречаются довольно часто, взять хотя бы прогноз погоды, который представляется в виде графика изменения каких-либо показателей, например, температуры или силы ветра с течением времени. Мы не задумываемся, когда считываем этот график, хотя это, возможно, первое чтение графика в нашей жизни. Также можно привести пример графика изменения курсов валют с течением времени и множество других примеров.

Итак, первый график, который мы рассмотрим.

Рис. 1. Иллюстрация графика 1

Как видно, график имеет 2 оси. Ось, смотрящая вправо (горизонтальная), называется осью . Ось, смотрящая вверх (вертикальная), называется осью .

Для начала разберем ось . На данном графике по этой оси отложены число оборотов в минуту у некоторого автомобильного двигателя. Оно может быть равно и т. д. На этой оси также есть деления, часть из них обозначена цифрами, часть из них является промежуточными и не обозначена. Несложно догадаться, что первое деление от нуля - это , третье - и т. д.

Теперь разберем ось . На данном графике по этой оси отложены числовые значения величины Ньютон на метр (), величины крутящего момента, которые равны и т. д. В данном случае, цена деления равна .

Теперь обратимся к самой функции (к той линии, которая представлена на графике). Как видно, эта линия отражает, сколько Ньютонов на метр, то есть какой крутящий момент, будет при конкретном значении оборотов двигателя в минуту. Если мы возьмем значение 1000 об./мин. и от этой точки на графике пойдем влево, то мы увидим, что линия проходит через точку 20, т. е. значение крутящего момента при 1000 об/мин будет равно (рисунок 2.2).

Если мы возьмем значение 2000 об/мин, то линия пройдет уже в точке (рисунок 2.2).

Рис. 2. Определение крутящего момента по количеству оборотов в минуту

2. Понятие максимального и минимального значения, методика нахождения максимального и минимального значения функции по графику

Теперь представим, что наша задача - найти наибольшее значение по этому графику. Ищем самую высокую точку (), соответственно, самым низким значением крутящего момента в этом графике будет считаться 0. Чтобы найти наибольшее значение функции по графику, нужно рассмотреть самое большое значение, которое достигает функция по вертикальной оси. Мы смотрим, какое значение выше всех, и смотрим по вертикальной оси, какое будет самое большое достигающееся число. Если же мы говорим о наименьшем значении, то мы берем, наоборот, самую низкую точку и смотрим её значение по вертикальной оси.

Рис. 3. Наибольшее и наименьшее значение функции по графику

Наибольшее значение в данном случае - , а наименьшее значение, соответственно, 0. Важно не перепутать и указать правильно максимальное значение, некоторые указывают максимальное значение 4000 об/мин., это не наибольшее значение, а та точка, в которой принимается наибольшее значение (точка максимума), наибольшее значение - именно .

Также следует обращать внимание на вертикальную ось, ее единицы измерения, то есть, например, если вместо Ньютонов на метр () было бы указано сотни Ньютонов на метр (), значение максимума нужно было бы умножить на сто и т. д.

Наибольшее и наименьшее значение функции очень тесно связаны с производной функции.

3. Дополнительные сведения о производной функции

Если на рассматриваемом отрезке функция возрастает, то производная функции на этом отрезке положительна либо равна нулю в конечном количестве точек, чаще всего просто положительна. Аналогично, если на рассматриваемом отрезке функция убывает, то производная функции на этом отрезке отрицательна либо равна нулю в конечном количестве точек. Обратное утверждение в обоих случаях верно.

4. Решение примеров с наличием ограничения по оси ОХ

В следующем примере возникают некоторые трудности, связанные с ограничением по горизонтальной оси . Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение на указанном отрезке.

На графике изображено изменение температуры с течением времени. По горизонтальной оси мы видим время и дни, а по вертикальной оси - температуру. Необходимо определить наибольшую температуру воздуха на 22 января, т. е. нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 22 января, т. е. от 00:00 22 января до 00:00 23 января.

Рис. 4. График изменения температуры

Ограничив график, нам становится очевидным, что максимальная температура соответствует точке .

5. Дополнительный пример, задача из ЕГЭ

Задан график изменения температуры за трое суток. По оси ox - время дня и числа месяца, по оси oy - значение температуры воздуха в градусах Цельсия.

Нам нужно рассматривать не весь график, а часть, касающуюся 13 июля, т. е. от 00:00 13 июля до 00:00 14 июля.

Рис. 5. Иллюстрация к дополнительному примеру

Если не ввести описанные выше ограничение, можно получить неверный ответ, но на заданном интервале максимальное значение очевидно: , и достигается оно в 12:00 13 июля.

6. Решение других примеров на чтение графика функции

Пример 3: определить, какого числа впервые выпало пять миллиметров осадков:

На графике изображено суточное количество осадков в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали - количество осадков в миллиметрах.

Рис. 6. Суточное выпадение осадков

Начнем по порядку. 3-го числа, мы видим, выпало чуть больше 0, но меньше 1 мм. осадков, 4-го числа выпало 4 мм осадков, и т. д. Впервые цифра 5 появляется на 11-ый день. Для удобства можно было виртуально провести прямую линию напротив пятерки, впервые она пересечет график именно 11 февраля, это и является правильным ответом.

Пример 4: определить, какого числа цена унции золота была наименьшей

На графике показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов на каждый день с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали откладываются дни месяца, по вертикали,

соответственно, цена унции золота в долларах США.

Линии между точками проведены только для наглядности, информацию несут исключительно сами точки.

Рис. 7. График изменения цены золота на бирже

7. Решение дополнительного примера

Дополнительный пример: определить, в какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение:

На графике задана производная некоторой функции .

Рис. 8. Иллюстрация к дополнительному примеру

Производная определена на отрезке

Как видно, производная функции на заданном отрезке является отрицательной, в левой граничной точке равна нулю. Как мы знаем, если производная функции отрицательная, то функция на рассматриваемом промежутке убывает, следовательно, наша функция убывает на всём рассматриваемом отрезке , в таком случае, наибольшее значение она принимает в самой левой границе. Ответ: точка .

Итак, мы рассмотрели понятие графика функции, изучили, что такое оси на графике, как находить значение функции по графику, как находить наибольшее и наименьшее значение.

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. - М.: Просвещение.

ЕГЭ. Фестиваль педагогических идей. Учёба-легко. РФ.

На диаграмме (рисунок 9) показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Рис. 9. График изменения температуры

По этому же графику (рисунок 9), определите разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия. На графике (рисунок 10) показан процесс разогрева двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха 15 градусов. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат - температура двигателя в градусах Цельсия. К двигателю можно подключить нагрузку, когда температура двигателя достигнет 45 градусов. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать, прежде чем подключить нагрузку к двигателю?

Рис. 10. График разогрева двигателя

Элементы математического анализа в ЕГЭ Малиновская Галина Михайловна [email protected] Справочный материал Таблица производных основных функций.  Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, частного двух функций).  Производная сложной функции.  Геометрический смысл производной.  Физический смысл производной.  Справочный материал Точки экстремума (максимума или минимума) функции, заданной графически.  Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции, непрерывной на заданном отрезке.  Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение площади криволинейной трапеции.  Физические приложения  1.1 Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t= 3с.  1.2 Материальная точка движется 1 3 прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? Решение: Ищем производную х(t) (функции пути по времени).  В задаче 1.1 подставляем вместо t его значение и считаем скорость (Ответ: 59).  Во задаче 1.2 приравниваем найденную производную к данному числу и решаем уравнение относительно переменной t. (Ответ: 7).  Геометрические приложения 2.1 Прямая 𝑦 = 7𝑥 − 5 параллельна касательной к графику 2 функции 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Найдите абсциссу точки касания. 2.2 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 1 является касательной к 2 графику функции 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 . Найдите a. 2.3 Прямая 𝑦 = −5𝑥 + 8 является касательной к 2 графику функции 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. 2.4 Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 4 является касательной к графику 2 функции 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Найдите c. Решение: В задаче 2.1 ищем производную функции и приравниваем к угловому коэффициенту прямой (Ответ: 0,5).  В задачах 2.2-2.4 составляем систему из двух уравнений. В одном приравниваем функции, в другом приравниваем их производные. В системе с двумя неизвестными (переменной x и параметра) ищем параметр. (Ответы: 2.2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 .  2.6 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 .  2.7 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке.x=10. 𝑥0 = 0 Решение:     Значение производной функции в точке - это тангенс угла наклона касательной к графику функции, проведенной в данной точке. «Дорисовываем» прямоугольный треугольник и ищем тангенс соответствующего угла, который берем положительным, если касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ох (касательная «растёт») и отрицательным, если угол тупой (касательная убывает). В задаче 2.7 необходимо провести касательную через указанную точку и начало координат. Ответы: 2.5) 0,25; 2.6) -0,25; 2.7) -0,6. Чтение графика функции или графика производной функции  3.1 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.  3.2 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. Решение: Знак производной связан с поведением функции.  Если производная положительна, то выделяем ту часть графика функции, где функция возрастает. Если производная отрицательна то там, где функция убывает. Выделяем соответствующий этой части промежуток на оси Ох.  В соответствии с вопросом задачи или пересчитываем количество целых чисел, входящих в данный промежуток или находим их сумму.  Ответы: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). В первую очередь смотрим, что на рисунке: график функции или график производной.  Если это график производной, то нас интересуют только знаки производной и абсциссы точек пересечения с осью Ох.  Для наглядности можно нарисовать более привычный рисунок со знаками производной по полученным промежуткам и поведением функции.  В соответствии с рисунком ответить на вопрос задачи. (Ответ: 3.3) 44).   3.4 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-7;14]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].  3.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11) . Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;10]. Решение: Ищем точки пересечения графика производной с осью Ох, выделяя ту часть оси, которая указана в задаче.  Определяем знак производной на каждом из полученных промежутков (если график производной ниже оси-то «-», если выше-то «+»).  Точками максимума будут те, где знак сменился с «+» на «-», минимума- с «-» на «+». Точками экстремума те и другие.  Ответы: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.  3.7 На рисунке изображен график ′ y=𝑓 (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение:    Если производная меняет знак на рассматриваемом отрезке, то решение основано на теореме: если непрерывная на отрезке функция имеет на нем единственную точку экстремума и это точка максимума (минимума), то наибольшее (наименьшее) значение функции на этом отрезке достигается в данной точке. Если непрерывная на отрезке функция монотонна, то она достигает своих наименьшего и наибольшего значений на данном отрезке на его концах. Ответы: 3.6) -3; 3.7) -7.  3.8 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.  3.9 На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?  4.2 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) - производной функции f(x), определенной на интервале (-5;7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.  4.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-4;8). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-2;6].  4.6 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x), определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней. Решение: 4.6 Так как на рисунке изображен график производной, а касательная параллельна данной прямой, то производная функции в этой точке равна -2. Ищем точки на графике производной с ординатой равной -2 и считаем их количество. Получаем 5.  Ответы: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥)- производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Решение: Если прямая параллельна оси Ох, то её угловой коэффициент равен нулю.  Угловой коэффициент касательной равен нулю, значит производная равна нулю.  Ищем абсциссу точки пересечения графика производной с осью Ох.  Получаем -3.   4.9 На рисунке изображён график функции y=𝑓 ′ (x) производная функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . В скольких из этих точек производная функции f(x) возрастает? Геометрический смысл определенного интеграла  5.1 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) - одна из первообразных функции f(x). Решение:     Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задачах 5.2 и 5.3 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность.  5.2 На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − - одна из 8 первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение:     Площадь криволинейной трапеции вычисляется через определённый интеграл. Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной. В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по известной формуле курса геометрии (это и будет приращение первообразной). В задаче 5.2 уже дана первообразная. Необходимо вычислить её значения на концах отрезка и посчитать разность. Удачи на ЕГЭ по математике 