4 параллельные прямые. Н.Никитин Геометрия

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» содержит доказательство теорем, которые описывают признаки, означающие параллельность прямых. При этом в видео описывается 1) теорема о параллельности прямых, при которых секущей созданы равные углы, 2) признак, означающий параллельность двух прямых - по равным образованным соответственным углам, 3) признак, означающий параллельность двух прямых в случае, когда при их пересечении секущей односторонние углы в сумме составляют 180°. Задача данного видеоурока - ознакомить учеников с признаками, означающими параллельность двух прямых, знание которых необходимо для решения многих практических задач, наглядно представить доказательство данных теорем, формировать навыки в доказательстве геометрических утверждений.

Преимущества видеоурока связаны с тем, что при помощи анимации, голосового сопровождения, возможности выделения цветом, он обеспечивает высокую степень наглядности, может послужить заменой подачи стандартного блока нового учебного материала учителем.

Начинается видеоурок с выведения на экран названия. Перед описанием признаков параллельности прямых ученики знакомятся с понятием секущей. Дается определение секущей как прямой, которая пересекает другие прямые. На экране изображены две прямые a и b, которые пересекаются прямой с. Построенная прямая с выделена синим цветом, акцентируя внимание на том, что они является секущей данных прямых а и b. Для того чтобы рассматривать признаки параллельности прямых необходимо более детально ознакомиться с областью пересечения прямых. Секущая в точках пересечения с прямыми образует 8 углов ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, анализируя соотношения которых можно вывести признаки параллельности данных прямых. Отмечается, что углы ∠3 и ∠5, а также ∠2 и ∠4 называются накрест лежащими. Дается подробное объяснение при помощи анимации расположения накрест лежащих углов как углов, которые лежат между параллельными прямыми, и примыкают к прямым, располагаясь накрест. Затем дается понятие односторонних углов, в число которых входят пары ∠4 и ∠5, а также ∠3 и ∠6. Также указываются пары соответственных углов, которых на построенном изображении 4 пары - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

В следующей части видеоурока рассматриваются три признака параллельности любых двух прямых. На экран выводится первое описание. Теорема утверждает, что при равенстве накрест лежащих углов, образуемых секущей, данные прямые будут параллельны. Утверждение сопровождается рисунком, на котором изображены две прямые а и b и секущая АВ. Отмечается, что образуемые накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны между собой. Данное утверждение требует доказательства.

Наиболее просто доказываемый частный случай - когда данные образуемые накрест лежащие углы являются прямыми. Это означает, что секущая является перпендикуляром к прямым, а по уже доказанной теореме в этом случае прямые а и b не будут пересекаться, то есть являются параллельными. Доказательство для данного частного случая описывается на примере изображения, построенного рядом с первым рисунком, выделяя важные детали доказательства при помощи анимации.

Для доказательства в общем случае необходимо проведение дополнительного перпендикуляра из середины отрезка АВ на прямую а. Далее на прямой b откладывается отрезок ВН 1 , равный отрезку АН. Из полученной при этом точки Н 1 проводится отрезок, соединяющий точки О и Н 1 . Далее рассматриваются два треугольника ΔОНА и ΔОВН 1 , равенство которых доказывается по первому признаку равенства двух треугольников. Стороны ОА и ОВ равны по построению, так как точка О отмечалась как середина отрезка АВ. Стороны НА и Н 1 В также равны по построению, так как мы откладывали отрезок Н 1 В, равный НА. А углы ∠1=∠2 по условию задачи. Так как образованные треугольники равны между собой, то и соответствующие оставшиеся пары углов и сторон также равны между собой. Из этого следует, что и отрезок ОН 1 является продолжением отрезка ОН, составляя один отрезок НН 1 . При этом отмечается, что так как построенный отрезок ОН - перпендикуляр к прямой а, то соответственно и отрезок НН 1 является перпендикулярным к прямым а и b. Данный факт означает, используя теорему о параллельности прямых, к которым построен один перпендикуляр, что данные прямые а и b являются параллельными.

Следующая теорема, требующая доказательства - признак равенства параллельных прямых по равенству соответственных углов, образованных при пересечении секущей. Утверждение указанной теоремы выведено на экран и может быть предложено под запись учениками. Доказательство начинается с построения на экране двух параллельных прямых а и b, к которым построена секущая с. Выделенная на рисунке синим цветом. Секущей образованы соответственные углы ∠1 и ∠2, которые по условию равны между собой. Также отмечаются смежные углы ∠3 и ∠4. ∠2 по отношению к углу ∠3 является вертикальным углом. А вертикальные углы всегда равны. К тому же углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими между собой - их равенство (по уже доказанному утверждению) означает, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Последняя часть видеоурока посвящена доказательству утверждения о том, что если сумма односторонних углов, которые образованы при пересечении двух некоторых прямых секущей прямой, будет равняться 180°, в этом случае данные прямые будут параллельны между собой. Доказательство демонстрируется, используя рисунок, на котором изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Образованные пересечением углы отмечены аналогично предыдущему доказательству. По условию, сумма углов ∠1 и ∠4 равна 180°. При этом известно, что сумма углов ∠3 и ∠4 равна 180°, так как они являются смежными. Это означает, что углы ∠1 и ∠3 равны между собой. Данный вывод дает право утверждать, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» может быть использован учителем в качестве самостоятельного блока, демонстрирующего доказательства названных теорем, заменяющего объяснение учителя или сопровождающего его. А подробное объяснение дает возможность использовать материал для самостоятельного изучения учениками и поможет в объяснении материала при дистанционном обучении.

Страница 1 из 2

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ. Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ. Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).

Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).

Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ. Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ. Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ. Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 .
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ. Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ. Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ. Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

накрест лежащие углы равны, или

соответственные углы равны, или

сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

накрест лежащие углы равны;

соответственные углы равны;

сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятием «параллельные прямые», узнаете, как можно убедиться в параллельности прямых, а также, какими свойствами обладают углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Параллельные прямые

Вы знаете, что понятие «прямая» относится к числу так называемых неопределяемых понятий геометрии.

Вы уже знаете, что две прямые могут совпадать, то есть иметь все общие точки, могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку. Пересекаются прямые под разными углами, при этом углом между прямыми считают наименьших из углов, которые ими образованы. Частным случаем пересечения можно считать случай перпендикулярности, когда угол, образованный прямыми, равен 90 0 .

Но две прямые могут и не иметь общих точек, то есть не пересекаться. Такие прямые называются параллельными .

Поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».

Чтобы познакомиться с понятием «параллельные прямые», поработайте в материалами видеоурока

Таким образом, теперь вы знаете определение параллельных прямых.

Из материалов фрагмента видеоурока вы узнали о различных видах углов, которые образуются при пересечении двух прямых третьей.

Пары углов 1 и 4; 3 и 2 называют внутренними односторонними углами (они лежат между прямыми a и b ).

Пары углов 5 и 8; 7 и 6 называют внешними односторонними углами (они лежат вне прямых a и b ).

Пары углов 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 называют односторонними углами при прямых a и b и секущей c . Как вы видите, из пары соответственных углов один лежит между прямым a и b , а другой вне их.

Признаки параллельности прямых

Очевидно, что пользуясь определением сделать вывод о параллельности двух прямых невозможно. Поэтому для того чтобы сделать заключение о том, что две прямые параллельны, пользуются признаками .

Один из них вы уже можете сформулировать, познакомившись с материалами первой части видеоурока:

Теорема 1 . Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, то есть параллельны.

С другими признаками параллельности прямых на основе равенства определенных пар углов вы познакомитесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Признаки параллельности прямых».

Таким образом, вы должны знать еще три признака параллельности прямых.

Теорема 2 (первый признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Рис. 2. Иллюстрация к первому признаку параллельности прямых

Еще раз повторите первый признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а также признак параллельности прямых как перпендикулярных одной прямой.

Задание 1.

Запишите формулировку первого признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 3 (второй признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Еще раз повторите второй признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

При доказательстве второго признака параллельности прямых используется свойство вертикальных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 2.

Запишите формулировку второго признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Теорема 4 (третий признак параллельности прямых) . Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Еще раз повторите третий признак параллельности прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Таким образом, при доказательстве первого признака параллельности прямых используется свойство смежных углов и первый признак параллельности прямых.

Задание 3.

Запишите формулировку третьего признака параллельности прямых и ее доказательство в свои тетради.

Для того чтобы потренироваться в решении простейших задач, поработайте с материалами электронного образовательного ресурса « ».

Признаки параллельности прямых используются при решении задач.

Теперь рассмотрите примеры решения задач на признаки параллельности прямых, поработав с материалами видеоурока «Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых».

А теперь проверьте себя, выполнив задания контрольного электронного образовательного ресурса « ».

Тот, кто хочет поработать с решением более сложных задач, может поработать с материалами видеоурока «Задачи на признаки параллельности прямых».

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые обладают набором свойств.

Вы узнаете, какие это свойства, поработав с материалами видеоурока «Свойства параллельных прямых».

Таким, образом, важным фактом, который вы должны знать, является аксиома параллельности.

Аксиома параллельности . Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую , параллельную данной, и притом только одну.

Как вы узнали из материалов видеоурока, опираясь на эту аксиому, можно сформулировать два следствия.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую .

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Задание 4.

Запишите формулировку сформулированных следствий и их доказательства в свои тетради.

Свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей являются теоремами, обратными соответствующим признакам.

Так, из материалов видеоурока вы узнали свойство накрест лежащих углов.

Теорема 5 (теорема , обратная первому признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Задание 5.

Еще раз повторите первое свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 6 (теорема , обратная второму признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых соответственные углы равны.

Задание 6.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите второе свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Теорема 7 (теорема , обратная третьему признаку параллельности прямых) . При пересечении двух параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180 0 .

Задание 7.

Запишите формулировку данной теоремы и ее доказательство в свои тетради.

Еще раз повторите третье свойство параллельных прямых, поработав с электронным образовательным ресурсом « ».

Все свойства параллельных прямых также используются при решении задач.

Рассмотрите типичные примеры решения задач, поработав с материалами видеоурока «Параллельные прямые и задачи на углы между ними и секущей».