Построение и исследование математической модели называют. Пример математической модели

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными. Математическая модель - это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики с использованием тех или иных математических методов.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Элементы теории игры

В общем случае решение игры представляет довольно трудную задачу, причем сложность задачи и объем необходимых для решения вычислений резко возрастает с увеличением . Однако это трудности не носят принципиального характера и связаны только сочень большим объемом расчетов, который в ряде случаев может оказаться практически невыполнимым. Принципиальная сторона метода отыскания решения остается при любом одной и той же.

Проиллюстрируем это на примере игры . Дадим ей геометрическую интерпретацию - уже пространственную. Три наши стратегии , изобразим тремя точками на плоскости ; первая лежит в начале координат (рис.1). вторая и третья - на осях Ох и Оу на расстояниях 1 от начала.

Через точки проводятся оси I-I, II-II и III-III, перпендикулярные к плоскости . На оси I-I откладываются выигрыши при стратегии на осях II-II и III-III - выигрыши при стратегиях . Каждая стратегия противника изобразится плоскостью, отсекающей на осях I-I, II-II и III-III, отрезки, равные выигрышам

при соответствующих стратегия и стратегия . Построив, таким образом, все стратегии противника, мы по­лучим семейство плоскостей над треугольником (рис2) .

Для этого семейства также можно построить нижнюю границу выигрыша, как мы это делали в случае, и найти на этой границе точку N с максимальной высотой нал плоскостью . Эта высота и будет ценой игры .

Частоты стратегий в оптимальной стра­тегии будут определяться координатами (x, у) точки N, а именно:

Однако такое геометрическое построение даже для случая нелегко осуществимо и требует большой затраты времени и усилий воображения. В общем же случае игры оно переносится в - мерное пространство и теряет всякую наглядность, хотя употребление геометрической терминологии в ряде случаев может оказаться полезным. При решении игр на практике удобнее пользоваться не геометрическими аналогиями, а расчетными аналитическими методами, тем более, что для решения задачи на вычислительных машинах эти методы единственно пригодны.

Все эти методы по существу сводятся к решению задачи путем последовательных проб, но упорядочение последо­вательности проб позволяет построить алгоритм, приводящий к решению наиболее экономичным способом.

Здесь мы вкратце остановимся на одном расчетном методе решения игр - на так называемом методе «линейного программирования».

Для этого дадим сначала общую постановку задачи о нахождении решения игры . Пусть дана игра с т стратегиями игрока А и n стра­тегиями игрока В и задана платежная ма­трица

Требуется найти решение игры, т. е. две оптимальные смешанные стратегии игроков А и В

где (некоторые из чисел и могут быть равными нулю).

Наша оптимальная стратегия S* A должна обеспечивать нам выигрыш, не меньший , при любом поведении про­тивника, и выигрыш, равный , при его оптимальном пове­дении (стратегия S* B ).Аналогично стратегия S* B должна обе­спечивать противнику проигрыш, не больший , при любом нашем поведении и равный при нашем оптимальном пове­дении (стратегия S* A ).

Величина цены игры в данном случае нам неизвестна; будем считать, что она равна некоторому положительному числу. Полагая так, мы не нарушаем общности рассуждений; для того чтобы было > 0, очевидно, достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательными. Этого всегда можно добиться, прибавляя к элементам доста­точно большую положительную величину L;при этом цена игры увеличится на L, а решение не изменится.

Пусть мы выбрали свою оптимальную стратегию S* A . Тогда наш средний выигрыш при стратегии противника будет равен:

Наша оптимальная стратегия S* A обладает тем свойством, что при любом поведении противника обеспечивает выигрыш не меньший, чем ; следовательно, любое из чисел не может быть меньше . Получаем ряд условий:

(1)

Разделим неравенства (1) на положительную величину и обозначим:

Тогда условие (1) запишется виде

(2)

где - неотрицательные числа. Так как величины удовле­творяют условию

Мы хотим сделать свой гарантированный выигрыш максимально возможным; очевидно, при этом правая часть равенства (3) принимает минимальное значение.

Таким образом, задача нахождения решения игры сво­дится к следующей математической задаче: определить не­отрицательные величины , удовлетворяющие условиям (2), так, чтобы их сумма

была минимальной.

Обычно при решении задач, связанных с нахождением экстремальных значений (максимумов и минимумов), функцию дифференцируют и приравнивают производные нулю. Но такой прием в данном случае бесполезен, так как функ­ция Ф, которую нужно обратить в минимум, линейна, и ее производные по всем аргументам равны единице, т. е. нигде не обращаются в нуль. Следовательно, максимум функции достигается где-то на границе области изменения аргумен­тов, которая определяется требованием неотрицательности аргументов и условиями (2). Прием нахождения экстре­мальных значений при помощи дифференцирования непри­годен и в тех случаях, когда для решения игры опреде­ляется максимум нижней (или минимум верхней) границы выигрыша, как мы. например, делали при решении игр .Действительно, нижняя граница составлена из участков прямых линий, и максимум достигается не в точке, где производная равна нулю (такой точки вообще нет), а на границе интер­вала или в точке пересечения прямолинейных участков.

Для решения подобных задач, довольно часто встречаю­щихся на практике, в математике разработан специальный аппарат линейного программирования.

Задача линейного программирования ставится следующим образом.

Дана система линейных уравнений:

(4)

Требуется найти неотрицательные значения величин удовлетворяющие условиям (4) и вместе с тем обращающие в минимум заданную однородную линейную функцию величин (линейную форму):

Легко убедиться, что поставленная выше задача теории игр является частным случаем задачи линейного программирование при

С первого взгляда может показаться, что условия (2) не эквивалентны условиям (4), так как вместо знаков равенства они содержат знаки неравенства. Однако от знаков неравенства легко избавиться, вводя новые фиктивные неотрицательные переменные и записывая условия (2) в виде:

(5)

Форма Ф, которую нужно обратить в минимум, равна

Аппарат линейного программирования позволяет путем сравнительно небольшого числа последовательных проб подобрать величины , удовлетворяющие поставленным требованиям. Для большей ясности мы здесь продемонстрируем применение этого аппарата прямо на материале решения конкретных игр.

Математическая модель - это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими объектами. Математические модели, в описании которых используются случайные величины, называют вероятностными или стохастическими. Всякая модель является упрощенным представлением действительности, и искусство моделирования состоит в знании того, что, где, когда и как можно и нужно упростить. Это знание естественно приходит с опытом.

Следующий пример поможет читателю «прочувствовать» ряд узловых моментов и некоторые общие «тонкие места», с которыми приходится сталкиваться исследователю в процессе реалистического моделирования.

Рассмотрим эксперимент, в котором каждый из испытуемых прочитывает текст, набранный шрифтом А, и эквивалентный ему по трудности текст, набранный шрифтом Б. В обоих случаях фиксируется время затрачиваемое испытуемым на чтение. Пусть - время, потребовавшееся испытуемому на чтение контрольных текстов, набранных соответственно шрифтами А и Б. Один из возможных простых вариантов математической модели данной ситуации может быть описан следующим образом:

где - случайная величина, отражающая скорость чтения испытуемого и не зависящая от шрифта, - постоянные, зависящие только от шрифта, a - взаимно независимые случайные ошибки со средними значениями, равными нулю, и с одинаковыми дисперсиями . В правую часть уравнений (3.1) входит больше величин, чем в левую. Это означает, что оценить основные числовые характеристики величин , и по наблюдениям нельзя. Более того, даже при отсутствии в модели ошибок и , т. е. в ситуации, когда в левой части величин, а в правой - только найти без дополнительных соглашений величины и основные числовые характеристики случайных величин также нельзя. (В подобных случаях иногда принято говорить, что модель неизмерима относительно имеющихся опытных данных.) Однако, если в задачу исследования входит только сравнение средней скорости чтения двух анализируемых шрифтов, то неизмеримость модели нам не мешает. В самом деле, случайная величина

имеет положительное среднее значение, если шрифт Б более удобен для чтения, чем шрифт А, и отрицательное среднее значение - в противном случае.

Оценка же разности по значениям уже не представляет труда. Аналогично, если бы нам требовалось охарактеризовать меру случайного разброса в скорости чтения каждого из испытуемых (т. е. оценить дисперсию , ее определение и вычисление см. в гл. 5 и 8), мы могли бы найти дисперсию случайных величин

и вычесть из нее величину определяющую вклад случайных ошибок в модели (3.3). В данном случае дисперсию мы оцениваем, не определяя для каждого испытуемого, а воспользовавшись тем, что - постоянные.

Таким образом, с помощью различных вариантов моде» ли (3.1) можно учесть: различие между испытуемыми, в скорости чтения; различие между средней скоростью чтения шрифтов А и Б; случайный характер времени, затрачиваемого испытуемым на чтение текста. Вместе с тем в ней пренебрегается возможной зависимостью разности от скорости чтения индивидуума () и от того, в какой последовательности прочитываются тексты: сначала А, а затем Б или наоборот. Кроме того, упрощением является и предположение о постоянстве дисперсий случайных погрешностей. Безусловно, для более тщательного изучения длительности чтения потребовалась бы более сложная модель, в которой должны были бы найти отражение указанные выше зависимости. Однако, если речь идет только о сравнении средних скоростей чтения шрифтов, то достаточно рассмотреть модель (3.2) - она свою роль выполняет: подсказывает достаточно эффективный способ анализа данных, отвергая при этом другой возможный (и слишком наивный) подход, при котором сначала усредняются в отдельности данные по каждому шрифту:

а затем производится сравнение средних , полученных якобы по двум независимым сериям наблюдений (это сравнение может быть осуществлено, например, с помощью критерия Стьюдента, см. п. 11.2.8). Последний метод на практике может привести к резкой потере эффективности выявления существующего различия между шрифтами, так как наблюдения оказываются на самом деле существенно зависимыми из-за общего значения

В некотором смысле математическая модель является для исследователя тем же, чем для физика физическая лаборатория. Можно ставить эксперименты в «мире», порожденном моделью, и, если математическая модель является правдивым отражением действительности, результаты этих экспериментов применимы к реальному миру.

Говоря о применимости моделей к описанию реальной действительности, мы подразумеваем возможность их практического использования в качестве базы, отправной точки при выборе наилучшего способа статистической обработки исходных данных, а также при решении таких задач, как планирование, прогнозирование, оптимальное управление системами и процессами, оценка эффективности функционирования (или комплексной характеристики качества) сложной системы, диагностика (медицинская и техническая), нормирование.

Лекция 1.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Современное состояние проблемы моделирования систем

Понятия модели и моделирования

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемогообъекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом,именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведениев рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделированиеобычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследованияего модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в томслучае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний покаким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойствакоторого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимисясредствами. Существует ряд общих требований к моделям:

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследованияего свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются

отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимостиот способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средствоисследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов иявлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводятс сохранением его физической природы или используют другое физическоеявление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойстворигинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.Например, при проектировании нового самолета создается его макет,обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планированиизастройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственноерасположение ее элементов. В связи с этим физическое моделированиеназывают также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследованиеуправляемых систем на моделирующих комплексах с включением в составмодели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутуюмодель входят имитаторы воздействий и помех, математические моделивнешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точноематематическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальныхсистем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшитьаприорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точногоматематического описания. С помощью полунатурного моделированияисследования выполняются с учетом малых постоянных времени инелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей свключением реальной аппаратуры используется понятие динамическогомоделирования , при исследовании сложных систем и явлений -эволюционного , имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть полученатолько при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств

оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие

проведению исследований на реальных объектах.

2. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательноосуществляется путем формулировки задачи (разработки математическоймодели), выбора метода исследования полученной математической модели,анализа полученного математического результата. Математическаяформулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов,функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может бытьпредставлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированнойили стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявлениезакономерностей протекания различных явлений окружающего мира илиработы систем и устройств путем их математического описания имоделирования без проведения натурных испытаний. При этом используютсяположения и законы математики, описывающие моделируемые явления,системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованноеописание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например,в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма,т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работысистем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальномуповедению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторойстепенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природыреального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических,биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройствявляется одним из важнейших средств познания природы и проектированиясамых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективногоиспользования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных иаэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений,погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужнысуперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовкеданных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случаематематическое моделирование сложных систем и устройств не толькоэкономит средства на проведение исследований и испытаний, но и можетустранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться отиспытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математическогомоделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальнымиполетами.Между тем математическое моделирование на уровне решения болеепростых задач, например, из области механики, электротехники, электроники,радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее времястало доступным выполнять на современных ПК. А при использованииобобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточносложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей,радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальныхпроцессов (в природе или технике) математическими методами. В своюочередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.Модель может представлять собой математическое выражение, содержащеепеременные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятностивозможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, втеории игр; либо она может представлять реальные переменные параметрывзаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик системможно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В своюочередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E (R , C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u (t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u (0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u (t ) = E (1− eх p (- t / RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R , C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematica или среда MATLAB , способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Имитационное моделирование

Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое

моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей.

По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм .

Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез .

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации.

ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ

Основные положения теории систем

Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования.

При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой.

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой.

Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы.

В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием.

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема.

На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено эскизом, схемой, фотографией, графиком, таблицей и т.д.

Мы будем рассматривать только математические модели различных экономических процессов, которые описываются математической символикой и решаются с помощью соответствующих математических методов.

В экономической науке используют главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление с помощью математического аппарата (функций, уравнений, неравенств, их систем).

В теории оптимальных решений главная роль отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Модель управляемого объекта строят для того, чтобы применить какой-либо вычислительный аппарат для оптимизации функционирования этого объекта (максимально возможного повышения эффективности его работы). Разработка модели почти всегда связана с попыткой достижения двух противоречивых целей: как можно точнее отобразить реальные процессы и получить модель максимально простую, чтобы с ней легко было работать.

Для применения количественных методов исследования экономических процессов требуется построить математическую модель объекта оптимизации. При построении модели объект, как правило, упрощается, схематизируется и схема объекта описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо объекта или класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математического аппарата и математической символики.

Математические модели имеют ряд преимуществ перед другими видами моделей. К наиболее важным из них можно отнести следующие:

· широкий диапазон применения,

· низкая по сравнению с другими видами стоимость создания модели,

· быстрота получения результатов исследования при использовании электронно-вычислительной техники,

· возможность экспериментирования с исследуемым экономическим процессом,

· возможность проверки правильности выдвинутых предпосылок и условий поставленной экономической задачи.

Математическая модель любой экономической задачи включает в себя целевую функцию, систему ограничений и критерий оптимальности.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, себестоимость, рентабельность и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной.

Целевая функция – характеристика объекта из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования.

При решении задач оптимизации необходимо определить критерий оптимальности, т.е. признак, по которому проводят сравнительную оценку альтернатив и выбирают среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации.

Критерий оптимальности – это показатель, имеющий, как правило, экономический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражается при помощи целевой функции.

Критерий оптимальности операции выполняет такую важную функцию как сравнительная оценка выбранных стратегий (решений) до начала их реализации и на завершающем этапе операции. Он позволяет провести анализ полученных результатов и сделать вывод о том, какая из стратегий была бы оптимальной.

Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации , а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, - ограничениями .

Ограничения – это соотношения, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений, и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств (или их систем).

Решением математической модели экономической задачи, или допустимым планом, называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или допустимых планов, среди которых надо найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным .

Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом , для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее математическую модель, по структуре включающую в себя систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием .

Составление модели объекта требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных (оптимальных) решений.

При построении математической модели важно избежать, с одной стороны, чрезмерного упрощения экономического явления или процесса (т.к. излишнее упрощение не отражает реальной действительности), с другой стороны, - излишней его детализации и усложнения (т.к. это приводит к большому количеству переменных и затрудняет построение модели).

Основные элементы модели:

1) Исходные данные:

· детерминированные,

· случайные.

2) Искомые переменные:

· непрерывные,

· дискретные.

3) Зависимости:

· линейные (переменные входят в первой степени и нет их произведения),

· нелинейные (переменные входят в степени выше первой или есть произведение переменных).

Сочетание разнообразных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации (тема 2), требующим разных методов решения.

При решении конкретной экономической задачи применение методов оптимальных решений предполагает:

· построение математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности,

· изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев оптимальности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

К основным методам принятия оптимальных решений можно отнести следующие:

1) Методы математического программирования:

· линейное программирование,

· нелинейное программирование,

· целочисленное программирование,

· динамическое программирование,

· выпуклое программирование,

· геометрическое программирование,

· параметрическое программирование

· стохастическое программирование,

· эвристическое программирование.

2) Методы теории массового обслуживания.

3) Методы теории игр.

4) Классические методы оптимизации (метод Лагранжа, градиентный метод).

5) Сетевые методы планирования и управления.

В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях и по отношению к каким объектам познания реализуется способность моде­лей отображать действительность, возникает их большое разнообразие, а вместе с ним - классификации. Путем обобщения существующих клас­сификаций выделим базовые модели по применяемому математическому аппарату, на основе которых получают раз­витие специальные модели (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 - Формальная классификация моделей

Математические модели отображают изучаемые объекты (процессы, системы) в виде явных функциональных соотношений: алгебраических равенств и неравенств, интегральных и дифферен­циальных, конечно-разностных и других математических выражений (закон распределения случайной величины, регрессионные модели и т.д.), а также отношений математической логики.

В зависимости от двух фундаментальных признаков построения математической модели - вида описания причинно-следственных связей и изменений их во вре­мени - различают детерминистические и стохастические, статические и динамические модели (рисунок 8.2).

Цель схемы, представленной на рисунке, - отобразить следующие особенности:

1) математические модели могут быть и детерминистическими, и стохастическими;

2) детерминистические и стохастические модели могут быть и статическими, и динамическими.

Математическая модель называется детерминистической (детерминированной) , если все ее параметры и переменные являются однозначно определяемыми ве­личинами, а также выполняется условие полной определенности ин формации. В противном случае, в условиях неопределенности инфор­мации, когда параметры и переменные модели - случайные величи­ны, модель называется стохастической (вероятностной) .

Рисунок 8.2 – Классы математических моделей

Модель называется динами­ческой , если как минимум одна переменная изменяется по периодам времени, и статической , если принимается гипотеза, что переменные не изменяются по периодам времени.

В простейшем случае балансовые модели выступают в виде уравнения баланса, где в левой части располагается сумма каких-либо поступлений, а в правой - расходная часть также в виде суммы. Например, в таком виде представляется годовой бюджет организации.

На основе статистических данных могут строиться не только балан­совые, но и корреляционно-регрессионные модели.

Если функция Y зависит не только от переменных х 1 , х 2 , … х n , но и от других факторов, связь между Y и х 1 , х 2 , … х n является неточной или корреляционной в отличие от точной или функциональной связи. Корреляционными, например, в большинстве случаев являются связи, наблюда­ющиеся между выходными параметрами ОПС и факторами ее внутренней и внешней среды (см. тему 5).

Корреляционно-регрессионные модели получают при исследовании влияния целого комплекса факторов на величину того или иного признака путем примене­ния статистического аппарата. При этом ставится задача не только установить корреляционную связь, но и выразить эту связь аналитически, то есть подобрать уравнения, описываю­щие данную корреляционную зависимость (уравнение регрессии).

Для нахождения численного значения параметров уравне­ния регрессии пользуются методом наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, чтобы выбрать такую линию, при которой сумма квадратов отклонений от нее ординат Y отдель­ных точек была бы наименьшей.

Корреляционно-регрессионные модели часто используются при исследовании явлений, когда возникает необходимость установить зависимость между соответствующими характеристиками в двух и более рядах. При этом преимущественно используется парная и множественная линейная регрессия вида

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b .

В результате применения метода наименьших квадратов ус­танавливаются значения параметров a или a 1 , a 2 , …, a n и b, а затем выполняются оценки точности аппроксимации и значимости полученного уравнения регрессии.

В особую группу выделяют графоаналитиче­ские модели . Они используют различные графические изображения и поэтому обладают хорошей наглядностью.

Теория графов - одна из теорий дискретной математики, изучает графы, под которыми понимается совокупность точек и линий их соединяющих. Граф - это самостоятельный математи­ческий объект (впервые ввел Кёниг Д.). На основе теории гра­фов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связ­ный граф, не содержащий петель и циклов. Примером такой модели является дерево целей.

Сетевые модели нашли широкое применение в управлении производством работ. Сетевые модели (графики) отражают последовательность выполнения работ и продолжи­тельность каждой работы (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - Сетевая модель производства работ

Каждая линия сетевого графика - это некоторая работа. Цифра рядом с ней означает продолжительность ее выполнения.

Сетевые модели позволяют найти так называемый критический путь и оптимизировать график производства работ по времени при ограничениях на другие ресурсы.

Сетевые модели могут быть детерминированными и стоха­стическими. В последнем случае продолжительности выполнения работ задаются законами распределения случайных величин.

Оптимизационные модели служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведениям и движением. В этом случае оптимизационные модели описывают различного рода задачи нахождения экстремума некоторой целевой функции (критерия оптимизации).

Для выявления оптимального способа достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов – технических, материальных, трудовых и финансовых – применяют методы исследования операций. К ним относятся методы математическо­го программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, ди­намическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы тео­рии массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных си­туаций) и др.

Оптимизационные модели применяются для объемного и календар­ного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, рас­пределения потоков товарных поставок на транспортной сети и дру­гих задач управления.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее раз­мерности, разработаны типовые методы - метод Фогеля, метод по­тенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться ана­литические и вероятностно-статистические методы, методы динами­ческого и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам плани­рования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отво­дится совершенствованию управления сложными системами с при­менением методов теории массового обслуживания (см. раздел8.3) и аппарата марков­ских процессов.

Модели марковских случайных процессов - система дифференци­альных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко исполь­зуется при математическом моделировании функционирования слож­ных систем.

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в ус­ловиях ограниченной случайной информации или полной неопреде­ленности.

Игра - математическая модель реальной конфликтной си­туации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности.

Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации опре­деляются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (кри­терий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алго­ритмических правил. При «играх с противником» для принятия реше­ний используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в свя­зи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недобро­желательный противник.

Рассмотренные типы математических моделей не охватыва­ют всего их возможного многообразия, а лишь характеризуют отдельные виды в зависимости от принятого аспекта классифи­кации. В.А.Кардашем была предпринята попытка создания сис­темы классификации моделей по четырем аспектам детализации (рисунок 8.4).

А - модели без пространственной дифференциации параметров;

В - модели с пространственной дифференци­ацией параметров

Рисунок 8.4 - Классификация моделей по четырем аспектам детализации

С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изу­чения целого ряда проблем управления, экономики, теории организа­ции, психологии, финансов и торговли.