Отношения и функции. Функциональные отношения К функциям отношения не относится

В данном подразделе мы вводим декартовы произведения, отношения, функции и графы. Изучаем свойства этих математических моделей и связи между ними.

Декартово произведение и перечисление его элементов

Декартовым произведением множеств A и B называется множество, состоящее из упорядоченных пар: A ´ B = {(a ,b ): (a Î A ) & (b Î B )}.

Для множеств A 1 , …, A n декартово произведение определяется по индукции:

В случае произвольного множества индексов I декартово произведение семейства множеств {A i } i Î I определяется как множество, состоящее из таких функций f: I ® A i , что для всех i Î I верно f(i) Î A i .

Теорема 1

Пусть A и B – конечные множества. Тогда | A ´B| = | A| ×| B|.

Доказательство

Пусть A = { a 1 , …, a m } , B = { b 1 , …, b n } . Элементы декартового произведения можно расположить с помощью таблицы

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n) ;

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n) ;

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n) ,

состоящей из n столбцов, каждый из которых состоит из m элементов. Отсюда | A ´B|= mn .

Следствие 1

Доказательство

C помощью индукции по n . Пусть формула верна для n . Тогда

Отношения

Пусть n ³1 – положительное целое число и A 1 , …, A n – произвольные множества. Отношением между элементами множеств A 1 , …, A n или n-арным отношением называется произвольное подмножество .

Бинарные отношения и функции

Бинарным отношением между элементами множеств A и B (или, коротко, между A и B ) называется подмножество R Í A ´B .

Определение 1

Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множеств A и B и подмножества f Í A ´ B (графика функции ), удовлетворяющего следующим двум условиям;

1) для любого x Î A существует такой y Î f , что (x, y) Î f ;

2) если (x, y) Î f и (x, z) Î f , то y = z.

Легко видеть, что f Í A ´ B будет тогда и только определять функцию, когда для любого x Î A существует единственный y Î f , что (x ,y ) Î f . Этот y обозначим через f (x ).

Функция называется инъекцией , если для любых x, x’ Î A , таких что x ¹ x’ , имеет место f(x) ¹ f(x’) . Функция называется сюръекцией , если для каждого y Î B существует такой x Î A , что f (x ) = y . Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называется биекцией .

Теорема 2

Для того чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции , что fg = Id B и gf = Id A .

Доказательство

Пусть f – биекция. В силу сюръективности f для каждого y Î B можно выбрать элемент x Î A , для которого f (x ) = y . В силу инъективности f , этот элемент будет единственным, и мы обозначим его через g (y ) = x . Получим функцию .

По построению функции g , имеют место равенства f (g (y )) = y и g (f (x )) = x . Значит, верно fg = Id B и gf = Id A . Обратное очевидно: если fg = Id B и gf = Id A , то f – сюръекция в силу f (g (y )) = y , для каждого y Î B . В этом случае из будет следовать , и значит . Следовательно, f – инъекция. Отсюда вытекает, что f – биекция.

Образ и прообраз

Пусть – функция. Образом подмножества X Í A называется подмножество f(X) = { f(x): x Î X} Í B. Для Y Í B подмножество f - -1 (Y) ={ x Î A: f(x) Î Y} называется прообразом подмножества Y .

Отношения и графы

Бинарные отношения можно наглядно показать с помощью ориентированных графов .

Определение 2

Ориентированным графом называется пара множеств (E, V) вместе с парой отображений s, t: E ® V . Элементы множества V изображаются точками на плоскости и называются вершинами . Элементы из E называются направленными ребрами или стрелками . Каждый элемент e Î E изображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершину s(e) с вершиной t(e) .

Произвольному бинарному отношению R Í V ´ V соответствует ориентированный граф с вершинами v Î V , стрелками которого являются упорядоченные пары (u, v) Î R . Отображения s, t: R ® V определяются по формулам:

s(u, v) = u и t(u, v) = v .

Пример 1

Пусть V = {1,2,3,4} .

Рассмотрим отношение

R = {(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)} .

Ему будет соответствовать ориентированный граф (рис. 1.2). Стрелками этого граф будут пары (i, j) Î R .

Рис. 1.2. Ориентированный граф бинарного отношения

В полученном ориентированном графе любая пара вершин соединяется не более чем одной стрелкой. Такие ориентированные графы называются простыми . Если не рассматривать направление стрелок, то мы приходим к следующему определению:

Определение 3

Простым (неориентированным) графом G = (V, E) называется пара, состоящая из множества V и множества E , состоящего из некоторых неупорядоченных пар {v 1 , v 2 } элементов v 1 , v 2 Î V таких, что v 1 ¹ v 2 . Эти пары называются ребрами , а элементы из V – вершинами .

Рис. 1.3. Простой неориентированный граф K 4

Множество E определяет бинарное симметричное антирефлексивное отношение, состоящее из пар (v 1 , v 2 ), для которых {v 1 , v 2 } Î E . Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.3 изображен простой граф с множеством вершин

V = {1, 2, 3, 4}

и множеством ребер

E = {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Операции над бинарными отношениями

Бинарным отношением между элементами множеств A и B называется произвольное подмножество R Í A ´ B . Запись aRb (при a Î A , b Î B ) означает, что (a, b) Î R .

Определены следующие операции над отношениями R Í A ´ A :

· R -1 = {(a,b): (b,a) Î R} ;

· R ° S = {(a,b): ($ x Î A)(a,x) Î R & (x,b) Î R} ;

· R n = R °(R n -1) ;

Пусть Id A = {(a, a): a Î A} – тождественное отношение. Отношение R Í X ´ X называется:

1) рефлексивным , если (a, a) Î R для всех a Î X ;

2) антирефлексивным , если (a, a) Ï R для всех a Î X ;

3) симметричным , если для всех a, b Î X верна импликация aRb Þ bRa ;

4) антисимметричным , если aRb & bRa Þ a= b ;

5) транзитивным , если для всех a, b, c Î X верна импликация aRb & bRc Þ aRc ;

6) линейным , для всех a, b Î X верна импликация a ¹ b Þ aRb Ú bRa .

Обозначим Id A через Id . Легко видеть, что имеет место следующее.

Предложение 1

Отношение R Í X ´ X :

1) рефлексивно Û Id Í R ;

2) антирефлексивно Û R Ç Id= Æ ;

3) симметрично Û R = R -1 ;

4) антисимметрично Û R Ç R -1 Í Id ;

5) транзитивно Û R ° R Í R ;

6) линейно Û R È Id È R -1 = X ´ X .

Матрица бинарного отношения

Пусть A = {a 1 , a 2 , …, a m } и B = {b 1 , b 2 , …, b n } – конечные множества. Матрицей бинарного отношения R Í A ´ B называется матрица с коэффициентами:

Пусть A – конечное множество, |A | = n и B = A . Рассмотрим алгоритм вычисления матрицы композиции T = R ° S отношений R , S Í A ´ A . Обозначим коэффициенты матриц отношений R , S и T соответственно через r ij , s ij и t ij .

Поскольку свойство (a i ,a k )ÎT равносильно существованию такого a j Î A , что (a i ,a j )ÎR и (a j ,a k ) Î S , то коэффициент t ik будет равен 1, если и только если существует такой индекс j , что r ij = 1 и s jk = 1. В остальных случаях t ik равен 0. Следовательно, t ik = 1 тогда и только тогда, когда .

Отсюда вытекает, что для нахождения матрицы композиции отношений нужно перемножить эти матрицы и в полученном произведении матриц ненулевые коэффициенты заменить на единицы. Следующий пример показывает, как этим способом вычисляется матрица композиции.

Пример 2

Рассмотрим бинарное отношение на A = {1,2,3} , равное R = {(1,2),(2,3)} . Запишем матрицу отношения R . Согласно определению, она состоит из коэффициентов r 12 = 1, r 23 = 1 и остальных r ij = 0. Отсюда матрица отношения R равна:

Найдем отношение R ° R . С этой целью умножим матрицу отношения R на себя:

.

Получаем матрицу отношения:

Следовательно, R ° R = {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Из предложения 1 вытекает следующее следствие.

Следствие 2

Если A = B , то отношение R на A :

1) рефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 1;

2) антирефлексивно, если и только если все элементы главной диагонали матрицы отношения R равны 0;

3) симметрично, если и только если матрица отношения R симметрична;

4) транзитивно, если и только если каждый коэффициент матрицы отношения R ° R не больше соответствующего коэффициента матрицы отношения R.

Человеку присуща потребность в общении, взаимодействии с другими людьми. Удовлетворяя эту потребность, он проявляет и реализует свои возможности.

Человеческая жизнь на всем ее протяжении проявляется, прежде всего, в общении. И все многообразие жизни отражается в столь же бесконечном многообразии общения: в семье, школе, на производстве, в быту, компаниях и т.д.

Общение - одна из универсальных форм активности личности, проявляющаяся в установлении и развитии контактов между людьми, в формировании межличностных отношений и порождаемая потребностями в совместной деятельности.

Общение выполняет целый ряд основных функций :

• Информационная - функция приема, передачи сведений;
• Контактная - установление контакта как состояния обоюдной готовности людей к приему и передачи информации;
• Побудительная - функция стимуляции активности к действию;
• Координационная - функция взаимного ориентирования и согласования действий;
• Понимания - предполагает не только прием информации, но и понимание этой информации друг другом;
• Амотивная - функция возбуждения в партнере нужных эмоций, переживаний, чувств, предполагает эмоциональный обмен, изменение эмоционального состояния;
• Функция установления отношений - осознание и фиксирование своего социального статуса, социальной роли в конкретной социальной общности.
• Функция оказания влияния - изменение состояния, поведения, намерений, представлений, установок, мнений, решений, потребностей, действий и т.д.

Наряду с функциями выделяют основные виды общения.

По количеству участников:

• межличностное;
• групповое.

По способу общения:

• вербальное;
• невербальное.

По положению общающихся:

• контактное;
• дистантное.

По условиям общения:

• официальное;
• неофициальное.

В структуре общения выделяют три тесно взаимосвязанные, взаимообусловленные стороны:

• Перцептивная сторона общения - процесс восприятия друг друга.
• Коммуникативная сторона общения предполагает передачу информации. При этом необходимо учитывать, что человек высказывает 80% от того, что хочет сказать, слушающий - воспринимает 70% и понимает 60% от сказанного.
• Интерактивная сторона общения предполагает организацию взаимодействия (согласованность действий, распределение функций и др.).

При организации общения необходимо учитывать, что оно проходит ряд этапов, каждый из которых влияет на его эффективность.

Если один из этапов общения выпадает, эффективность общения резко снижается и существует вероятность не достичь тех целей, которые ставились при организации общения. Умение эффективно достигать поставленных целей в общении называется коммуникабельностью, коммуникативной компетентностью, социальным интеллектом.

Любое множество 2-списокв или пар называется отношением. Отношения будут особенно полезны при обсуждении значения программ.

Слово «отношение» может означать правило сравнения, «эквивалентность» или «является подмножеством» и т.д. Формально отношения, которые являются множествами 2-списков, могут описать эти неформальные правила точно, путем включения точно тех пар, чьи элементы состоят в нужной связи друг с другом. Например, отношение между символами и 1-строками содержащими эти символы задается следующим отношением:

C = {: x - символ} = {, , …}

Поскольку отношение это множество, пустое отношение также возможно. Например, соответствие между четными натуральными числами и их нечетными квадратами – таких не существует. Более того, операции над множествами применимы к отношениям. Если s и r отношения, то существуют

s È r, s – r, s Ç r

поскольку это множества упорядоченных пар элементов.

Частный случай отношения – функция, отношение со специальным свойством, отличающееся тем, что каждый первый элемент находится в паре с уникальным вторым элементом. Отношение r является функцией, если и только если для любого

Î r и Î r, то y = z.

В таком случае каждый первый элемент может служить именем для второго в контексте отношения. Например, описанное выше отношение C между символами и 1-строками является функцией.

Операции над множествами также применимы к функциям. Хотя результат операции над множествами упорядоченных пар, которые являются функциями, будет обязательно другим множеством упорядоченных пар, а следовательно отношением, но не всегда функцией.

Если f,g –функции, то f Ç g, f – g тоже функции, но f È g, может быть а может и не быть функцией. Например, определим отношение голова

H = {< Θ y, y>: y - строка} = {, , …}

И возьмем отношение C, описанное выше. Тогда из факта, что C Í H:

является функцией,

H - С = {< Θ y, y>: y – строка как минимум из 2 символов}

является отношением, но не функцией,

является пустой функцией, и

является отношением.

Множество первых элементов пар отношения или функции называется областью определения (domain), а множество вторых элементов пар называется областью значений (range). Для элементов отношения, скажем Î r, x называется аргументом r, а у называется значением r.

Когда Î r и и y является единственным значением для x, value-нотация:

читается, как «y является значением r для аргумента x» или, более кратко, «y является значением r для x» (функциональная форма записи).

Зададим произвольное отношение r и аргумент x, тогда существуют три варианта их соответствия:

1. x Ï domain(r), в таком случае r не определено на x
2. x Î domain(r), и существуют различные y, z, такие что Î r и Î r. В этом случае r неоднозначно определено на x
3. x Î domain(r), и существует уникальная пара Î r. В этом случае r однозначно определено на x и y=r(x).

Таким образом, функция – это отношение, которое однозначно определено для всех элементов его области определения.

Выделяют три специальные функции:

Пустая функция {}, не имеет аргументов и значений, то есть

domain({}) = {}, range({}) = {}

Функция эквивалентности (identity function) , функция I такая,

что если x Î domain(r), тогда I(x) = x.

Постоянная функция , область значений которой задается 1-множеством, то есть всем аргументам соответствует одно и то же значение.

Поскольку отношения и функции являются множествами, они могут быть описаны перечислением элементов или заданием правил. Например:

r = {<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

является отношением, поскольку все его элементы - 2-списки

domain(r) = {†ball†, †game†}

range (r) = {†ball†, †game†, †bat†}

Однако, r не является функцией, потому что два разных значения встречаются в паре с одним аргументом †ball†.

Пример отношения, определенного с помощью правила:

s = {: слово x непосредственно предшествует слову y

в строке †this is a relation that is not a function†}

Это отношение также может быть задано перечислением:

s = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Следующее правило определяет функцию:

f = {: первый экземпляр слова непосредственно предшествующий слову y

в строке †this is a relation that is also a function†}

которая также может быть задана перечислением:

f = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Значение программ.

Отношения и функции жизненно необходимы для описания для описания значения программ. Используя эти понятия, разрабатывается нотация для описания значения программ. Для простых программ значение будет очевидным, но эти простые примеры послужат освоению теории в целом.

Новые идеи: box-нотация, программа и значение программы.

Множество пар ввод-вывод для всех возможных нормальных запусков программы называется значением программы. Также может быть использованы понятия функция программы и отношение программы . Важно различать значение программы и элементы значения. Для конкретного входа Паскаль-машина, управляемая Паскаль-программой может произвести конкретный выход. Но значение программы это гораздо больше, чем способ выражения результата одного частного выполнения. Оно выражает все возможные выполнения Паскаль-программы на Паскаль-машине.

Программа может принимать вход разбиты на строки и производить выход разбитый на строки. Таким образом пары в значении программы могут быть парами списков состоящих из строк символов.

Box-нотация.

Любая Паскаль-программа – строка символов, передаваемая для обработки Паскаль-машине. Например:

P = †PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END.†

Представляет одну из первых программ, рассмотренных в начале части I, в виде строки.

Также эту строку можно записать, опустив маркеры строки, как

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT);

WRITELN(‘HELLO’)

Строка P представляет синтаксис программы, а ее значение мы будем записывать как P. Значение P это множество 2-списков (упорядоченных пар) списков символьных строк, в которых аргументы представляют входные данные программы, а значения представляют выходные данные программы, то есть

P = {: для входного списка строк L, P выполняется корректно

и возвращает список строк M}

Box-нотация для значения программы держит синтаксис и семантику программы, но ясно разграничивает одно от другого. Для программы PrintHello, приведенной выше:

P = { } =

{>: L – любой список строк }

Помещая текст программы в box:

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END

Поскольку P - функция,

PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END (L) = <†HELLO†>

для любого списка строк L.

Box-нотация скрывает способ которым программа управляет Паскаль-машиной и показывает только то что сопутствует выполнению. Термин «черный ящик» часто используется для описания механизма рассматриваемого только извне в терминах входов и выходов. Таким образом эта нотация подходит для значения программы с точки зрения ввода-вывода. Например, программа R

PROGRAM PrintHelloInSteps (INPUT, OUTPUT);

WRITE(‘HE’);

WRITE (‘L’);

WRITELN(‘LO’)

Имеет то же значение что и P, то есть R = P.

Программ R также имеет CFPascal имя PrintHelloInSteps. Но поскольку строка †PrintHelloInSteps† является частью строки R, лучше не использовать PrintHelloInSteps в качетсве названия программы R в box-нотации.

Отображение f множества X в множество Y считается заданным, если каждому элементу x из X сопоставлен ровно один элемент y из Y, обозначаемый f(x).

Множество X называется областью определения отображения f, а множество Y – областью значений . Множество упорядоченных пар

Г f = {(x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x)}

называют графиком отображения f. Непосредственно из определения вытекает, что график отображения f является подмножеством декартова произведения X×Y:

Строго говоря, отображение – это тройка множеств (X, Y, G) такая, что G⊂ X×Y, и каждый элемент x из X является первым элементом ровно одной пары (x, y) из G. Обозначая второй элемент такой пары через f(x), получаем отображение f множества X в множество Y. При этом G=Г f . Если y=f(x), мы будем писать f:x→y и говорить, что элемент x переходит или отображается в элемент y; элемент f(x) называется образом элемента x относительно отображения f. Для обозначения отображений мы будем использовать записи вида f: X→Y.

Пусть f: X→Y – отображение множества X в множество Y, а A и B – подмножества множеств X и Y соответственно. Множество f(A)={y| y=f(x) для некоторого x∈A} называется образом множества A. Множество f − 1 (B)={x| f(x) ∈B}

называется прообразом множества B. Отображение f: A→Y, при котором x→f(x) для всех x∈A, называется сужением отображения f на множество A; сужение будет обозначаться через f| A .

Пусть имеются отображения f: X→Y и g: Y→Z. Отображение X→Z, при котором x переходит в g(f(x)), называется композицией отображений f и g и обозначается через fg .

Отображение множества X в X, при котором каждый элемент переходит сам в себя, x→x , называется тождественным и обозначается через id X .

Для произвольного отображения f: X→Y имеем id X ⋅f = f⋅id Y .

Отображение f: X→Y называется инъективным , если для любых элементов из и следует, что . Отображение f: X→Y называется сюръективным , если всякий элемент y из Y является образом некоторого элемента x из X, то есть f(х)=у. Отображение f: X→Y называется биективным , если оно одновременно инъективно и сюръективно. Биективное отображение f: X→Y обратимо. Это означает, что существует отображение g: Y→X, называемое обратным к отображению f, такое, что g(f(x))=x и f(g(y))=y для любых x∈X, y∈Y. Отображение, обратное к отображению f, обозначается через f − 1 .

Обратимое отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y. Инъективное отображение f: X→Y устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством X и множеством f(X).

Примеры . 1) Функция f:R→R >0, f (x)=e x , устанавливает взаимно однозначное соответствие множества всех действительных чисел Rс множеством положительных действительных чисел R >0 . Обратным к отображению f является отображение g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Отображение f:R→R ≥ 0 , f(x)=x 2 , множества всех действительных Rна множество неотрицательных чисел R ≥ 0 сюръективно, но не инъективно, и поэтому не является биективным.

Свойства функции:

1. Композиция двух функций есть функция, т.е. если , то .

2. Композиция двух биективных функций есть биективная функция, если , то .

3. Отображение имеет обратное отображение тогда и

тогда и только тогда, когда f –биекция, т.е. если , то .

Определение. n – местным отношением, или n – местным предикатом Р, на множествах А 1 ;А 2 ;…;А n называется любое подмножество декартова произведения .

Обозначение n - местного отношения P(x 1 ;x 2 ;…;x n). При n=1 отношение Р называется унарным и является подмножеством множества А 1 . Бинарным (двуместным при n=2) отношением называется множество упорядоченных пар.

Определение. Для любого множества А отношение называется тождественным отношением, или диагональю, а - полным отношением, или полным квадратом.

Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Тогда областью определения бинарного отношения Р называется множество для некоторого y}, а областью значений – множество для некоторого x}. Обратным к Р отношением называется множество .

Отношение Р называется рефлексивным, если оно содержит все пары вида (x,x) для любого x из X. Отношение Р называется антирефлексивным , если оно не содержит ни одной пары вида (x,x). Например, отношение x≤y рефлексивно, а отношение x

Отношение Р называется симметричным , если вместе с каждой парой (x,y) оно содержит также и пару (y,x). Симметричность отношения Р означает, что Р=Р –1 .

Отношение Р называется антисимметричным , если (x;y)и (y;x), то x=y.

Отношение R называется транзитивным, если вместе с любыми парами (x,y) и (y,z) оно содержит также и пару (x,z), то есть из xРy и yРz следует xРz.

Свойства бинарных отношений:

Пример. Пусть А={x/x – арабская цифра}; Р={(x;y)/x,yA,x-y=5}. Найти D;R;P -1 .

Решение. Отношение Р можно записать в виде Р={(5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)}, тогда для него имеем D={5;6;7;8;9}; Е={0;1;2;3;4}; P -1 ={(0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)}.

Рассмотрим два конечных множества и бинарное отношение . Введем матрицу бинарного отношения Р следующим образом: .

Матрица любого бинарного отношения обладает свойствами:

1. Если и , то , причем сложение элементов матрицы осуществляется по правилам 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, а умножение почленно обычным образом, т.е. по правилам 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Если , то , и матрицы умножаются по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов при умножении матриц находится по правилам п.1.

4. Если , то и

Пример. Бинарное отношение изображено на рис.2 Его матрица имеет вид .

Решение. Пусть , тогда ;

Пусть Р – бинарное отношение на множестве А, . Отношение Р на множестве А называется рефлексивным, если , где звездочками обозначены нули или единицы. Отношение Р называется иррефлексивным, если . Отношение Р на множестве А называется симметричным , если для и для из условия следует, что . Это значит, что . Отношение Р называется антисимметричным , если из условий и следует, что x=y, т.е. или . Это свойство приводит к тому, что у матрицы все элементы вне главной диагонали будут нулевыми (на главной диагонали тоже могут быть нули). Отношение Р называется транзитивным , если из и следует, что , т.е. .

Пример. Дано отношение Р и .Здесь на главной диагонали матрицы стоят все единицы, следовательно, Р – рефлексивно. Матрица несимметрична, тогда несимметрично и отношение Р

Т.к. не все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, то отношение Р не антисимметрично.

Т.е. , следовательно отношение Р – нетранзитивно.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности . Для обозначения отношений эквивалентности принято использовать символ ~. Условия рефлексивности, симметричности и транзитивности можно записать так:

Пример. 1) Пусть X – множество функций, определенных на всей числовой прямой. Будем считать, что функции f и g связаны отношением ~, если они принимают одинаковые значения в точке 0, то есть f(x)~g(x), если f(0)=g(0). Например, sinx~x, e x ~cosx. Отношение ~ рефлексивно (f(0)=f(0) для любой функции f(x)); симметрично (из f(0)=g(0) следует, что g(0)=f(0)); транзитивно (если f(0)=g(0) и g(0)=h(0), то f(0)=h(0)). Следовательно, ~ является отношением эквивалентности.

2) Пусть ~ – отношение на множестве натуральных чисел, при котором x~y, если x и y дают одинаковые остатки при делении на 5. Например, 6~11, 2~7, 1~6. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно и, значит, является отношением эквивалентности.

Отношением частичного порядка называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, т.е.

1. - рефлексифность;

2. - антисимметричность;

3. - транзитивность.

Отношением строгого порядка называется бинарное отношение на множестве, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отношения называются отношениями порядка . Множество, на котором задано отношение порядка, может быть: полностью упорядоченным множеством или частично упорядоченным . Частичный порядок важен в тех случаях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство, т.е. решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой. Частично упорядоченное множество называется линейно упорядоченным , если в нем нет несравнимых элементов, т.е. выполняется одно из условий или . Например, множества с естественным порядком на них являются линейно упорядоченными.

функция ". Начнем с частного, но важного случая функций, действующих из в .

Если мы понимаем, что такое отношение , то понять, что такое функция совсем просто. Функция – это частный случай отношения. Каждая функция является отношением, но не каждое отношение является функцией. Какие же отношения являются функциями? Какое дополнительное условие должно выполняться, чтобы отношение являлось функцией?

Вернемся к рассмотрению отношения , действующего из области определения в область значений . Рассмотрим элемент из . Этому элементу соответствует в элемент , такой, что пара принадлежит , что часто записывают в виде: (например, ). Отношению могут принадлежать и другие пары, первым элементом которых может выступать элемент . Для функций такая ситуация невозможна.

Функция – это отношение , в котором элементу из области определения соответствует единственный элемент из области значений.

Отношение "иметь брата", представленное на рис.1, функцией не является. Из точки в области определения идут две дуги в разные точки области значений, следовательно это отношение функцией не является. Содержательно, Елена имеет двух братьев, так что однозначного соответствия между элементом из и элементом из нет.

Если же рассмотреть отношение на тех же множествах "иметь старшего брата", то такое отношение функцией является. У каждого человека братьев может быть много, но только один из них является старшим братом. Функциями являются и такие родственные отношения как "отец" и "мать".

Обычно, когда речь идет о функциях, то для общего обозначения функции используется буква , а не , как в случае отношений, и общая запись имеет привычный вид: .

Рассмотрим хорошо известную функцию . Областью определения этой функции является вся действительная ось: . Область значений функции замкнутый интервал на действительной оси: . График этой функции синусоида, каждой точке на оси соответствует единственная точка графика .

Взаимно однозначная функция

Пусть отношение задает функцию . Что можно сказать об обратном отношении ? Является ли оно также функцией? Совсем не обязательно. Рассмотрим примеры отношений, являющихся функциями.

Для отношения "имеет старшего брата" обратное отношение – это отношение "имеет брата или сестру". Конечно же, это отношение функцией не является. У старшего брата может быть много сестер и братьев.

Для отношений "отец" и "мать" обратным отношением является отношение "сын или дочь", которое также не является функцией, поскольку детей может быть много.

Если рассмотреть функцию , то обратное отношение функцией не является, поскольку одному значению соответствует сколь угодно много значений . Чтобы рассматривать