Главная Для детей Определитель матрицы теория. Теория определителей

Определитель матрицы теория. Теория определителей

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1996 год.

1. Матрицы.

1.1 Понятие матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком .

1.2 Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

переместительным свойством: A + B = B + A

сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы ( 1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

распределительным свойством относительно суммы матриц:

( A + B) = A + B

сочетательным свойством относительно числового множителя:

( ) A = ( A)

распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула ( 1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы ( 1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

сочетательное свойство: ( AB) C = A (BC);

распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n- E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n- ого порядка и обозначается символом O . Допустим, что существует произвольная матрица A , тогда

AE = EA = A , AO = OA = O .

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е , аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О , то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство: A + O = O + A = A . Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

2. Определители.

2.1 Понятие определителя.

Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя , или детерминанта .

2.2 Вычисление определителей.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах , Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad-bc , обозначаемое так: . Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31 , a13a21a32 .

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32 , a12a21a33 . Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n- ого порядка, где n 2 . Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n- ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i -й строки и j- ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом .

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n) , для определителя n- ого порядка справедлива формула

= det A =

называемая i- й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij .

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n) , для определителя n -го порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по j- ому столбцу .

2.3 Основные свойства определителей.

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n -го порядка.

1 . Свойство равноправности строк и столбцов . Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A .

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е. = .

2 . Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов) . При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3 . Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка ( a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n -го порядка некоторая i -я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

– определитель, у которого i -я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i- я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

3. Системы линейных уравнений.

3.1 Основные определения.

…….

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений.

…….

3.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Известно, что используя матрицы мы можем решать различные системы уравнений, при чем эти системы могут быть какой угодно величены и иметь сколько угодно переменных. С помощью нескольких выводов и формул решение огромных систем уравнений становится довольно быстрым и более легким.

В частности, я опишу методы Крамера и Гаусса. Наилегчайшим способом является метод Крамера (для меня), или как его еще называют – формула Крамера. Итак, допустим, что мы имеем какую-либо систему уравнений . Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x , во втором столбце при y , и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я уже говорил, мы заменяем столбец при первой переменной на столбец ответов, затем при второй, конечно это все зависит от того, сколько переменных нам нужно найти.

1 = , 2 = , 3 = .

Затем нужно найти определители определителем системы .

3.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

…….

4. Обратная матрица.

4.1 Понятие обратной матрицы.

4.2 Вычисление обратной матрицы.

Список литературы.

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк “Линейная Алгебра”

2. Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “Элементарные преобразования в линейной алгебре”

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1. Матрицы.........................................................................................................................................................

1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................

1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................

2. Определители...........................................................................................................................................

2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................

2.2 Вычисление определителей................................................................................................................

2.3 Основные свойства определителей................................................................................................

3. Системы линейных уравнений................................................................................................

3.1 Основные определения.........................................................................................................................

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................

3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................

3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................

4. Обратная матрица.................................................................................................................................

4.1 Понятие обратной матрицы................................................................................................................

4.2 Вычесление обратной матрицы........................................................................................................

Список литературы..................................................................................................................................

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком .

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Непосредственно из формулы (1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство: (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

A = , B =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако, впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.

§ 1. Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и

где
- числовые коэффициенты системы (1).

Таблица, составленная из коэффициентов этой системы

называется матрицей коэффициентов системы (1).

Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы
, которое обозначается
и вычисляется по правилу , т.е. определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы . Определитель матрицы обозначают так

Найдём решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что
):

;

Мы видим, что в знаменателе выражений для и стоит определитель , в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через
и соответственно, т.е.

,
.

Нетрудно заметить, что определитель получается из определителя , если в нём заменить столбец коэффициентов при (первый столбец) столбцом из свободных членов, а определитель
- если второй столбец определителя заменить столбцом из свободных членов. Тогда решение системы (4) можно записать так:

(

Эти формулы называются формулами Крамера . Итак, для того, чтобы найти решение линейной алгебраической системы второго порядка достаточно подсчитать три определителя , , и составить их отношение.

Пример 1 . Найти по формулам Крамера решение линейной алгебраической системы

Решение . Вычислим определители , , :

По формулам Крамера

Итак,

.

Основные свойства определителей второго порядка

1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

3.Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. , например,

4.Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.

5.Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например,

6.Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, т.е. например

Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.

Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:

§ 2. Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введём несколько новых понятий.

Определение 1 . Минором элемента матрицы третьего порядка называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычёркиванием -ой строки и -го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента обозначается символом
. Например, минором элемента
матрицы (1) является определитель

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента матрицы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на
.

Иначе: алгебраическое дополнение элемента - это минор, если сумма индексов
чётная, и минор, взятый с противоположным знаком, если сумма индексов нечётная. Алгебраическое дополнение элемента обозначается
, т.е. по определению
.

Пример 1. Вычислить алгебраические дополнения
и
матрицы

;
.

Замечание . Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.

Определение 3. Определителем (детерминантом ) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка ) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения . Т.е. по определению имеем

Пример 2 . Вычислить определитель матрицы

Замечание . Если в формулу (3) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

В этой формуле шесть слагаемых, причём каждое из них является произведением трёх элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком «+», а три со знаком «-». В курсах высшей алгебры формула (4) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.

§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Окажем, например, равенство

Следовательно, .

Это свойство называют свойством разложения по элементам строки или столбца.

3.При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство . Пусть в матрице третьего порядка перестановлены первая и третья строки. Покажем, что

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по элементам первой строки, получим

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю.

Доказательство . Пусть - определитель матрицы с двумя одинаковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеем
, откуда
или

5.Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на число К, то весь определитель умножится на это число.

Доказательство . Покажем, например, что

Разложим по элементам второй строки. Тогда левая часть равенства может быть записана так:

где - определитель матрицы .

Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

6.Определитель, у которого соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен нулю.

Доказательство . Пусть, например, элементы третьей строки пропорциональны элементам первой, т.е.

Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь

7.Определитель, у которого все элементы какой-либо строки пред-ставляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей, получаемых из данного заменой элементов рассматриваемой строки соответственно на первые и вторые слагаемые.

Доказательство . Пусть, например,

8.Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на общий множитель

Доказательство . Прибавим, например, к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на одно и то же число . Тогда, по свойству 7, а затем по свойству 6, будем иметь

9. Теорема замещения . Сумма произведений алгебраических дополнений какой-либо строки на числа , и равна определителю матрицы, получающиеся из данной, заменой рассматриваемых элементов соответственно на числа , и .

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов третьей строки:

и определитель

Разложив его по элементам первой строки, получим , т.е. исходное выражение.

10. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Доказательство . Рассмотрим, например, сумму произведений элементов третьей строки:

По теореме замещения (свойство 9) это выражение равно определителю, в третьей строке которой стоят числа , и
:

Этот определитель равен нулю по свойству 4, так как первая и третья строки совпадают.

Перечисленные свойства, особенно свойство 8, позволяют значительно упростить вычисление определителя, в частности свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка, вместо трёх.

Пример . Вычислить определитель

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий множитель 2, а элементы третьей строки – общий множитель 3. Поэтому, вынося эти множители за знак определителя, получим

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, в которой только один элемент отличен от нуля, получим

§ 4. Определители высших порядков

Определители высших порядков, т.е. четвёртого, пятого и т.д., определяются с помощью определителей меньшего порядка точно так, как был определён определитель третьего порядка.

Так, определитель четвёртого порядка равен по определению

где ,, и
- элементы первой строки, а
, ,
и
- соответствующие им алгебраические дополнения. Миноры и алгебраические дополнения определяются точно так же, как и для определителей третьего порядка. Таким образом, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к вычислению четырёх определителей третьего порядка.

Определитель порядка n по определению

Как видно, определитель n - го порядка определяется через n определителей n -1 порядка, каждый из них определяется через
определитель порядка n -2 и т.д.. Доводя разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получаем, что определитель n - го порядка представляет собой алгебраическую сумму n ! с лагаемых.

Все свойства, сформулированные и доказанные для определителей третьего порядка, справедливы и для определителей
-го порядка. И доказываются они аналогично.

Для вычисления определителей порядка используем свойство 8. С помощью этого свойства добиваемся того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов, все элементы, кроме одного, были равными нулю. Так что вычисление определителя - го порядка можно свести к вычислению одного определителя порядка .

Пример . Вычислить определитель пятого порядка

Замечаем, что в третьем столбце два элемента равны нулю. Можно в этом столбце получить ещё два нулевых элемента, если ко второй и четвёртой строкам прибавить пятую строку, умноженную соответственно на 3 и на «-4». Тогда получим

Таким образом

Для вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к первой, третьей и четвёртой строкам вторую строку, умноженную соответственно на 2, -3, -2. Получим

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя множитель «-10» у элементов третьей строки), что

Прибавляя к первой строке третью строку, будем иметь

Замечание . Существует и другое определение определителя матрицы порядка n : это сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждой строчки, по одному из каждого столбца и снабженных знаком по определённому правилу. Более подробно с теорией определителей можно ознакомиться, например, по книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры».

§5. Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

Исключая по очереди переменные , и , переходим к формулам; можно не вычислять, так как из того, что определитель матрицы A обозначается detA. Определителем n- ...

Метрические и нормированные пространства.

Евклидовы и унитарные пространства.

Евклидовы пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве и его свойства.

Длина вектора в евклидовом пространстве, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Процесс Штурма ортогонализации системы векторов.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Унитарные пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве и его свойства.

Длина вектора в унитарном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы в унитарном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Ортогональное дополнение к подпространству. Свойства ортогонального дополнения.

Представление пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство.

Расстояние между вектором и подпространством, вектором и многообразием.

Угол между вектором и подпространством евклидового пространства, угол между вектором и многообразием евклидового пространства.

Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки.

Полнота метрических пространств. Теорема о вложенных шарах.

Нормированные пространства. Связь нормированных и метрических пространств.

Покоординатная сходимость и сходимость по норме, связь между ними. Полнота нормированных пространств.

Линейные функционалы на линейном пространстве. Пространство линейных функционалов.

Билинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы.

Полилинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные, антисимметричные, абсолютно симметричные и абсолютно антисимметричные полилинейные функционалы.

Определитель квадратной матрицы, как полилинейный абсолютно антисимметричный функционал. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.

Свойства определителей.

Разложение определителя по элементам строки или по элементам столбца.

Миноры порядка, их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Метод вычисления определителей порядка приведением к треугольному виду.

Метод выделения линейных множителей при вычислении определителей порядка. Определитель Вандермонда.

Метод рекуррентных соотношений при вычислении определителя порядка.

Метод представления определителя в виде суммы двух определителей при вычислении определителей порядка.

Метод изменения элементов определителя при вычислении определителей порядка.

Прежде всего, необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя , или детерминанта .

Вычисление определителей

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad -bc , обозначаемое так:.Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица. Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32, a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij). Минор элемента Aij будем обозначать символом. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний - номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом.

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i (i =1, 2…, n), для определителя n-ого порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по i-й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j (j =1, 2…, n), для определителя n-го порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по j-ому столбцу .