Определение линейной зависимости лемма. Линейная зависимость векторов

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

a) Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

b) Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

Опр.Множество w называется линейным пространством, а его элем. -векторами, если:

*задан закон (+) по кот. любым двум элементам х,у из w сопоставляется элемент называем. их суммой [х + у]

*задан закон (* на число a), по кот.элементу х из w и а сопоставляется элемент из w, называемый произведением х на а [ ах];

* выполнены

следующие требования (или аксиомы):

След c1. нулевой вектор {ctv 0 1 и 0 2 . по a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 и 0 1 + 0 2 = 0 1 . по a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2 .}

c2. .{ctv, a4}

c3. 0 вект.{a7}

c4. a(число)*0=0.{a6,c3}

c5. х (*) -1 =0 вект, противоположному х, т.е. (-1)х = -х. {a5,a6}

c6. В w определено действие вычитание: вектор х называется разностью векторов b и а, если х + а = b, и обозначается x = b - a.

Число n называется размерностью лин. пр-а L , если в L существует система из n лин. незав. векторов, а любая система из n +1 вектора - лин. зависима. dimL = n . Пространство L называется n- мерным.

Упорядоченная совокупность n лин. незав. векторов n мерного независ. пространства – базис

Теорема. Каждый вектор X можно представить единственным образом в виде лин.Комбинации векторов базиса

Пусть (1) - базис n-мерного лин. пр-ва V , т.е. совокупность линейно независимых векторов. Совокупность векторов будет лин. зависимой, т.к. их n + 1.

Т.е. существуют числа , не все равные нулю одновременно, что причѐм (иначе (1) линейно зависимы).

Тогда где разложение вектора x по базису(1) .

Это выражение единственно, т.к. если существует другое выражение (**)

вычитая из (*) равенство (**),

получим

Т.к. линейно независимы, то . Чтд

Теорема. Если - лин. независимые векторы пространства V и каждый вектор x из V может быть представлен через , то эти векторы образуют базис V

Док-во: (1)-лин.независима =>остается док-ть, что для лин.зависимы. По усл. Каждый вектор а выражается через (1): , рассмотрим , rang≤n => среди столбцов не больше nлинейно независимы, но m > n=> m столбцов линейно зависимы=> s=1, n

Т.е.векторы лин.зависимы

Т.о пространство V n-мерно и (1) его базис

№4Опр. Подмножество L лин. пр-ва V называется лин. подпр. этого пространства если относительно заданных в V операциях (+) и (*а) подпространство L является линейным пространством

Теорема Множество l векторов пространства V является лин. Подпространством этого пространства выполняются

(дост) пусть (1) и (2) выполнены, для того что L подпрост.V остается доказать что выполнены все аксиомы лин. пр-ва.

(-x): -x+x=0 д . а(х + у)= ах + ау;

(а-б) и (д-з) вытекает из справедливости для V докажем (в)

(необходимость) Пусть L является лин. подпространством этого пространства, тогда (1) и (2) выполняются в силу определения лин. пр-ва

Опр. Совокупность всевозможных лин. комбинаций некоторых элементов (x j) лин. пр-ва называется линейной оболочкой

Теорема произвольное множество всех лин. комбинаций векторов V с действ. коэф является лин. подпр V (линейная оболочка данной системы векторов лин. пр. является лин.подпр этого пр. )

Опр .Непустое подмножество L векторов лин. пр-ва V называется лин. подпространством, если:

а)сумма любых векторов из L принадлежит L

б)произведение каждого вектора из L на любое число принадлежит L

Сумма двух подпространств L является снова подпространством L

1) Пусть y 1 +y 2 (L 1 +L 2) <=> y 1 =x 1 +x 2 , y 2 =x’ 1 +x’ 2 , где (x 1 ,x’ 1) L 1 , (x 2 ,x’ 2) L 2 . y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x’ 1 +x’ 2)=(x 1 +x’ 1)+(x 2 +x’ 2), где (x 1 +x’ 1) L 1 , (x 2 +x’ 2) L 2 => первое условие линейного подпространства выполняется.

ay 1 =ax 1 +ax 2 , где (aх 1) L 1 , (aх 2) L 2 => т.к. (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => условия выполняются => L 1 +L 2 – линейное подпространство.

Пересечение двух подпр. L 1 и L 2 лин. пр-ва L также является подпр. этого пространства.

Рассмотрим два произвольных вектора x ,y , принадлежащих пересечению подпространств, и два произвольных числа a ,b :.

По опр. пересечения множеств:

=> по определению подпространства линейного пространства:,.

Т. К. вектор ax + by принадлежит и множеству L 1 , и множеству L 2 , то он принадлежит, по определению, и пересечению этих множеств. Таким образом:

Опр .Говорят, что V является прямой суммой своих подпр. если и б) это разложение единственно

б") Покажем, что б) равносильно б’)

При б) верно б’)

Всякие (M , N ) из пересекаются лишь по нулевому вектору

Пусть ∃ z ∈

Справед. обрат. L =

противоречие

Теорема Чтобы (*) необходимо и достаточно чтобы объединения базисов ( составляло базис пространства

(Необ) пусть (*) и векторы - базисы подмножеств. и имеет место разложение по ; x раскладывается по базису L, чтобы утверждать, что( составляют базис, нужно доказать их линейную независимость все содержат 0 0=0+…+0. В силу единственности разложения 0 по : => из-за лин. независимости базиса => ( – базис

(Дост.) Пусть ( образует базис L единств. разложение (**) по крайней мере, одно разложение существует. В силу единственности (*) => единственность (**)

Замечание. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей подпространства

Любая невырожденная квадратичная матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому

Пусть в n мерном линейной пространстве V имеется два базиса и

(1) =A , где здесь элементы * и ** не числа но мы распространим на такие строки определенные операции над числовой матрицей.

Т.к. иначе векторы ** были бы лин.зависимы

Обратно. Если то столбцы А линейно независимы =>образуют базис

Координаты и связанны соотношением , где элементы матрицы перехода

Пусть известно разложение элементов "нового" базиса по «старому»

Тогда справедливы равенства

Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна 0 то =>

Основная теорема о линейной зависимости

Если (*) линейно выражается через (**) то n <= m

Докажем индукцией по m

m=1: система (*) содержит 0 и лин. зав- невозможно

пусть верно для m=k-1

докажем для m=k

может оказаться, что 1) , т.е. в-ры (1) являются лин.комб. лин. в-ров (2)Система (1) лин.незав., т.к. является частью лин.незав. системы (*). Т.к. в системе (2) только k-1, векторов, то по предположению индукции получаем k+1

Лемма 1 : Если в матрице размера n n хотя бы одна строка (столбец) равна нулю, то строки (столбцы) матрицы являются линейно зависимыми.

Доказательство: Пусть нулевой будет первая строка, тогда

где a 1 0 . Что и требовалось.

Определение: Матрица, у которой расположенные ниже главной диагонали элементы равны нулю, называется треугольной:

а ij = 0 , i>j.

Лемма 2: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Доказательство нетрудно провести индукцией по размерности матрицы.

Теорема о линейной независимости векторов.

а) Необходимость : линейно зависимы D=0 .

Доказательство: Пусть линейно зависимы, j= ,

то есть, существует a j , не все равные нулю, j= , что a 1 А 1 + a 2 А 2 + ... a n A n = , А j – столбцы матрицы А. Пусть, например, a n ¹0 .

Имеем a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Заменим последний столбец матрицы А на

А n * = a 1 * А 1 + a 2 * А 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Согласно выше доказанному свойству определителя (он не изменится, если в матрице к любому столбцу прибавить другой, умноженный на число) определитель новой матрицы равен определителю исходной. Но в новой матрице один столбец нулевой, значит, разлагая определитель по этому столбцу, получим D=0, что и требовалось доказать.

б) Достаточность: Матрицу размера n n с линейно независимыми строками всегда можно привести к треугольному виду с помощью преобразований, не меняющих абсолютной величины определителя. При этом из независимости строк исходной матрицы следует неравенство нулю её определителя.

1. Если в матрице размера n n с линейно независимыми строками элемент а 11 равен нулю, то на первое место следует переставить столбец, у которого элемент а 1 j ¹ 0 . Согласно лемме 1 такой элемент найдется. Определитель преобразованной матрицы при этом может отличаться от определителя исходной матрицы только знаком.

2. От строк с номерами i>1 отнимем первую строку, умноженную на дробь a i 1 /a 11 . При этом в первом столбце строк с номерами i>1 получатся нулевые элементы.

3. Начнем вычислять определитель полученной матрицы разложением по первому столбцу. Посколькув нем все элементы, кроме первого, равны нулю,

D нов = a 11 нов (-1) 1+1 D 11 нов,

где d 11 нов – определитель матрицы меньшего размера.

Далее для вычисления определителя D 11 повторяем пункты 1, 2, 3 до тех пор, пока последний определитель не окажется определителем от матрицы размера 1 1. Поскольку п.1 меняет только знак определителя преобразуемой матрицы, а п.2 вообще не меняет величины определителя, то, с точностью до знака, в итоге получим определитель исходной матрицы. При этом, поскольку из-за линейной независимости строк исходной матрицы п.1 всегда выполним, все элементы главной диагонали получатся неравными нулю. Таким образом, итоговый определитель согласно изложенному алгоритму равен произведению ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому и определитель исходной матрицы не равен нулю. Что и требовалось доказать.

Приложение 2

Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов , обозначим их следующим образом . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел (действительных или комплексных): . Отталкиваясь от определения операций над n -мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n -мерный вектор , то есть, .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Определение.

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой .

Определение.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой .

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов .

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье .

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n , . Пусть М – базисный минор матрицы А . Все строки (все столбцы) матрицы А , которые не участвуют в образовании базисного минора М , линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М .

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A , строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p .

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)

.

Итак, задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Следует заметить, что при p>n система векторов будет линейно зависимой.

Замечание : при составлении матрицы А векторы системы можно брать не в качестве строк, а в качестве столбцов.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

Разберем алгоритм на примерах.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

Система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3 , то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

3.3. Линейная независимость векторов. Базис.

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор

где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.

Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,

Определение 5.

Если для системы векторов существует нетривиальная линейная комбинация (хотя бы одно a i ¹ 0) равная нулевому вектору: то система векторов называется линейно зависимой . Если равенство (1) возможно только в случае, когда все a i =0, то система векторов называется линейно независимой .

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Определение 6.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Числа называются координатами вектора в базисе (обозначается

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов

и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:

Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).

Если в некотором базисе и a – произвольное число, то в этом базисе

Иными словами:

при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;

при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .

Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

возможно только в случае, когда x = y = z = 0.