Главная Для детей Доказать чему равна площадь параллелограмма.

Доказать чему равна площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято называть основанием. Поэтому теорему формулируют так: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту .

Если обозначить основание параллелограмма буквой a, высоту - буквой h, то площадь выражается такой формулой:

Отметим, что эта формула очень похожа на площадь прямоугольника, где она равна произведению сторон. Однако в случае параллелограмма вместо второй стороны используется высота. Причем должна быть взята та высота, которая проведена к стороне, которую берут в качестве множителя.

Доказать теорему о площади параллелограмма можно двумя способами: через площадь треугольника, через площадь прямоугольника. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором угол A - острый, а угол B - тупой. В таком случае, если к стороне AD из угла B провести высоту BH, то она пересечет сторону AD. Если бы высота была проведена из угла C, то она бы пересекла не сторону AD, а ее продолжение за пределами параллелограмма. Кроме того из угла B проведем диагональ.

Проведя диагональ, мы получили треугольник ABD. Его площадь равна половине от произведения его основания на высоту. В данном случае ½ * AD * BH. Доказательство площади треугольника приводится .

Поскольку диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника (∆ABD = ∆CDB по трем сторонам), то его площадь равна удвоенной площади любого из этих треугольников (или сумме их площадей). Таким образом получаем, что площадь параллелограмма равна AD * BH, т. е. произведению основания на высоту.

Второй способ доказательства - через рассмотрение прямоугольника. Проведем к основанию AD две высоты. Одна из них (BH) пересечет само основание, а вторая (СI) - продолжение основания AD за пределы параллелограмма (пересечет прямую, на которой лежит AD).

Рассмотрим треугольники ABH и DCI. Они равны друг другу (например по гипотенузе и углам BAD и CDI). Если мы рассмотрим получившийся прямоугольник HBCI, то увидим, что его площадь равна площади параллелограмма ABCD, т. к., преобразуя первый во второй, у параллелограмма «отняли» площадь ABH, а потом к нему добавили равную площадь DCI.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. В данном случае BH * HI. Но HI мы можем заменить на AD, так как это равные отрезки. Таким образом получаем, что площадь прямоугольника равна BH * AD. Поскольку площади параллелограмма и прямоугольника равны, то это произведение является и площадью параллелограмма.

Формула для площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Доказательство

Если параллелограмм - прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника. Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $\angle BAD$ острый и $AD > AB$. Иначе переименуем вершины. Тогда высота $BH$ из вершины $B$ на прямую $AD$ падает на сторону $AD$, так как катет $AH$ короче гипотенузы $AB$, а $AB < AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Сравним площадь параллелограмма $ABCD$ и площадь прямоугольника $HBCK$. Площадь параллелограмма больше на площадь $\triangle ABH$, но меньше на на площадь $\triangle DCK$. Так как эти треугольники равны, то и их площади равны. Значит, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника со сторонами длиной в сторону и высоту параллелограмма.

Формула для площади параллелограмма через стороны и синус

Площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними.

Доказательство

Высота параллелограмма $ABCD$, опущенная на сторону $AB$ равна произведению отрезка $BC$ на синус угла $\angle ABC$. Осталось применить предыдущее утверждение.

Формула для площади параллелограмма через диагонали

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Доказательство

Пусть диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$. Тогда $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойству параллелограмма. Синусы углов, в сумме дающих $180^\circ$ равны, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Значит, синусы углов при пересечении диагоналей равны $\sin \alpha$.

$S_{ABCD}=S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

по аксиоме измерения площади. Применяем формулу площади треугольника $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ для этих треугольников и углов при пересечении диагоналей. Стороны каждого равны половинам диагоналей, синусы также равны. Следовательно, площади всех четырёх треугольников равны $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{BD}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha$. Суммируя всё вышесказанное, получаем

$S_{ABCD} = 4S = 4 \cdot \dfrac{AC \cdot BD}{8} \sin \alpha = \dfrac{AC \cdot BD \cdot \sin \alpha}{2}$

№ 1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных на синус угла между ними. 1 2 S = a b sina B C a A b D S = a b sina

C B d 1 2 O 1 2 S = d 1 d 2 sina d 2 2 A Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. D

= = B C d 1 2 O d 2 2 A d 1 2 D 1 2 S = d 1 d 2 sina

B a 1 2 S = a b sina C A b B C S = a b sina a A D b a B ромб A a параллелограмм C D S= 2 sina a

B d 1 C параллелограмм 1 2 d 2 A S = d d sina D B A d 2 d 1 C D d d ромб C 1 2 1 S = d 1 d 2 sin 900 прямоугольник 1 2 S = d 2 sina D

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. a b c = = sin. A sin. B sin. C В (1) a C c b (2) A (3)

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. MO MX OX = = sin. X sin. O sin. C O М X

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. CD EC DE = = sin. E sin. D sin. C D C E

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB AC = sin. C sin. B B Найти АВ 600 ? 750 A 450 4 C

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB AC = sin. C sin. B B Найти угол А 22 A ? 1350 2 C

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB BC = sin. C sin. A B 2 ? 3 600 A C

ABСD – параллелограмм. Найти ВD. AB BO = sin. O sin. A C B 1350 2 450 2 O 300 1500 A D

ABСD – параллелограмм. Найти AC. AC AD = sin. D sin. C C B 300 ? A 300 1200 600 5 D

ABСD – параллелограмм. Найти BC. BC AB = sin. A sin. C B ? 50 10 2 A 450 300 D C

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов минус удвоенное произведение этих сторон минус на косинус угла между ними. C b A 2 a = a c B 2 b + 2– c 2 bc cos. A

x = b cos. A y y = b sin. A b C(b cos. A; b sin. A) y x A a 2= (x –x)2+(y –y)2 (x –x)2 +(y –y)2 d = x 2 2 1 1 B (c; 0) c BC 2 =(bcos. A – c)2 + (bsin. A – 0)2 = = b 2 cos 2 A – 2 bc cos. A + c 2 + b 2 sin 2 A = 2(cos 2 A b 1 + sin 2 A) + c 2 – 2 bc cos. A

x = b cos. A y y = b sin. A * * x = OA cosa y = OA sina C(b cos. A; b sin. A) b a 2= (x –x)2+(y –y)2 (x –x)2 +(y –y)2 d = x 2 2 1 1 c B (c; 0) BC 2 =(bcos. A – c)2 + (bsin. A – 0)2 = = b 2 cos 2 A – 2 bc cos. A + c 2 + b 2 sin 2 A A = 2(cos 2 A b 1 + sin 2 A) + c 2 – 2 bc cos. A

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. XR 2 = RO 2 + XO 2 – 2 RO XOcos. O 2 = RX 2 + XO 2 – 2 RX XO cos. X RO XO 2 = RX 2 + RO 2 – 2 RX RO cos. R R X O