Главная Былины Момент инерции: формула. Момент инерции тела

Момент инерции: формула. Момент инерции тела

Зависимость момента инерции от распределения масс

Описание

Момент инерции - величина, характеризующая распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении.

Момент инерции тела относительно оси вращения зависит от массы тела и от распределения этой массы. Чем больше масса тела и чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело. Момент инерции элементарной (точечной) массы m i , отстоящей от оси на расстоянии r i , равен:

Момент инерции всего тела относительно оси равен:

или, для непрерывно распределенной массы:

Момент инерции всего тела сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

Момент инерции некоторых однородных твердых приведены в таблице 1.

		Таблица 1
Момент инерции некоторых симметричных однородных тел
Твердое тело	Ось вращения	Момент инерции I, кг м 2
Тонкий стержень длины l	Перпендикулярна стержню, проходит через центр масс	ml 2 /12
Тонкий стержень длины l	Перпендикулярна стержню, проходит через край	ml 2 /3
Сплошной цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра	mR 2 /2
Полый цилиндр радиуса R	Совпадает с осью цилиндра	mR 2
Шар радиуса R	Проходит через центр шара	2mR 2 /5
Полый шар радиуса R	Проходит через центр шара	2mR 2 /3
Тонкий диск радиуса R	Совпадает с диаметром диска	mR 2 /4
Тонкая прямоугольная пластина со сторонами а и b	Проходит через центр пластины перпендикулярно пластине	m (a 2 +b 2 )/12

Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения симметрии и теорему Штейнера. Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно какой-либо оси I A равен моменту инерции тела равен инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс I C , сложенному с величиной ma 2 , где a - расстояние между осями:

I A = I C + ma 2 .

Понятием о моменте инерции широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Временные характеристики

Время инициации (log to от -20 до 20);

Время существования (log tc от -20 до 20);

Время деградации (log td от -20 до 20);

Время оптимального проявления (log tk от -1 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

"Мягкий" супермаховик

Момент инерции - основная характеристика вращающихся механизмов. Так в маховике стремятся повысить момент инерции за счет распределения большей части массы на обод колеса, для накопления энергии. Маховики применяют для выравнивания хода машин, они присутствуют в любом автомобильном двигателе, в магнитофонах, в швейных машинах, механических ножницах, прессах, гироскопах (см. например, 104002) и т. д.

На рис. 1 приведена схема устройства «мягкого» супермаховика, предназначенного для плавного разгона машин.

«Мягкий» супермаховик

Рис. 1

1 - внешний моток ленты;

2 - промежуточные витки ленты;

3 - барабан.

Повышение или понижение скорости достигается за счет изменения инертности супермаховика с помощью перераспределения массы ленты наполнителя.

Применение эффекта

А.с. 538 800: Способ регулирования энергии ударов в кузнечно-прессовых машинах ударного действия, заключающийся в изменении момента инерции маховых масс, отличающийся тем, что с целью повышения качества обрабатываемых изделий и долговечности машин, момент инерции изменяют путем подачи или отвода жидкости во внутренние полости маховых масс.

А.с. 523 213: Способ уравновешивания сил инерции подвижных элементов машин, заключающийся в том, что уравновешиваемый элемент машины соединяют с аккумулирующим телом и приводит их во вращение, отличающийся тем, что с целью повышения эффективности уравновешивания в качестве аккумулирующего тела используют маховик с изменяемым радиусом центра масс, например, центробежный регулятор.

Силы, возникающие в процессе вращательного движения, можно использовать для ускорения некоторых технологических процессов.

Литература

1. Иродов И.Е. Основные законы механики.- М.: Высшая школа, 1985.- 248 с.

2. Физическая энциклопедия.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1992.- Т.3.- С.206-207.

Ключевые слова

момент инерции
масса тела
ось вращения

Разделы естественных наук:

Динамика

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

Рис. 26.

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции - кг*м 2 .

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :

Момент инерции шара радиуса R :

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА.

Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами: 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты.

Приборы и принадлежности : маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль.

Теоретическое введение

Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1)

Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси (см. рис. 2)

Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием.

где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV – элемент объема)

Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести:

а) стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню

б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)

где – радиус обруча (цилиндра)

в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра)

где – радиус диска (цилиндра)

г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести

Момент инерции тела зависит: 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела.

Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как:

где – момент инерции тела массой m относительно произвольной оси, – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно произвольной оси, – расстояние между осями.

Описание установки.

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из шкива и четырех равноплечих стержней, закрепленных на горизонтальной оси (см. рис.2). На стержнях на равных расстояниях от оси вращения насажены четыре одинаковых груза массы m каждый. При помощи груза m 1 , прикрепленного к концу шнура, намотанного на один из шкивов, вся система может быть приведена во вращательное движение. Для отсчета высоты падения h груза m 1 имеется вертикальная шкала.

Запишем второй закон Ньютона для падающего груза в векторной форме

(1)

где
- сила тяжести;
- сила натяжения шнура (см. рис. 1);

- линейное ускорение, с которым падает груз m 1 вниз.

Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме

(2)

откуда получим выражение для силы натяжения шнура

Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости

(4)

где h – высота падения груза m 1 ; t – время падения.

Сила натяжения нити F нат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так:

M – M тр = I  i , (5)

где М – момент силы натяжения; M тр - момент сил трения; I - момент инерции крестовины; i - угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения M тр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь.

Из уравнения (5) с учетом сделанного замечания получаем оконча-тельную формулу для расчета момента инерции крестовины

(6)

где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле

(7)

Подставляя (3) и (7) в (6), получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины

(8)

Порядок выполнения работы .

Экспериментальное определение момента инерции системы 4 х грузов.

1. Снять со стержней грузы m .

2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив груз m 1 на заранее выбран-ной высоте h . Отпустив крестовину, замерить время падения t о груза с помо-щью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте паде-ния h ).

3. Закрепить на концах стержней грузы m .

4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t . Опыт повторить пять раз.

5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях.

6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин t о, t и d .

а) крестовина без грузов (a о ),

б) крестовина с грузами (а ).

8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов (I o ) и с грузами (I), используя приближенные значения m 1, R , g и полученные значения а и а о.

Вычислить погрешности измерений по формулам:

(9)

(10)

Таблица 1

Результаты измерений и вычислений

Часть II .

1. Теоретически найти момент инерции системы 4 х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками)

(11)

2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность

(12)

и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов.

Контрольные вопросы.

1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела?

2. От чего зависит момент инерции тела относительно оси вращения?

3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены?

4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование.

5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.

3. Зисман Г. А., Тодес О. М.. Курс общей физики для втузов: в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 340 с.

4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу “Механика“.- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.).

В статье узнаете что такое момент инерции, как влияет ось вращения, а также момент вращения для материальной точки, множества частиц и для твердых тел.

Момент инерции , обозначенный буквой I , является физической величиной, характерной для вращательного движения тела. Это значение предполагает постоянное значение для данного тела и конкретной оси его вращения. Величина момента инерции зависит от веса тела, положения оси вращения, вокруг которой вращается тело и распределения его массы. Поэтому можно написать, что момент инерции тела информирует нас о том, как масса вращающегося тела распределяется вокруг фиксированной оси его вращения. Чем выше значение момента инерции, тем сложнее установить или изменить вращательное движение данного тела (например, уменьшить или увеличить его угловую скорость).

Момент инерции тела относительно оси вращения

На следующем рисунке показано, как выбор оси вращения тела влияет на значение момента его инерции и, следовательно, на легкость/сложность его вращения. На рисунках а) и б) показан однородный цилиндр с радиусом r и высотой h, который вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и вокруг оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б).

Ролик с радиусом r и высотой h вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б)). Вес ролика в случае а) гораздо более сфокусирован вблизи его оси вращения, чем в случае б), поэтому цилиндр с рисунка а) вращать легче, чем ролик с рисунка б).

В обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же телом, но в первом случае (рис. А) легче вращать ролик. Причиной такой ситуации является различное распределение веса цилиндра вокруг его оси вращения: при вращении цилиндра вокруг продольной оси масса ролика более сфокусирована вблизи оси вращения, чем во второй. В результате получается меньшее значение момента инерции цилиндра из рисунка а), а не цилиндра из рисунка б).

Момент инерции материальной точки

Чтобы вычислить момент инерции и вращение отдельной частицы вокруг заданной оси вращения, используем следующее выражение:

где m — масса частицы, r — расстояние частицы от оси вращения.

Момента инерции измеряется в кг ⋅ м 2 в системе СИ.

Момент инерции сложного тела с частицами

Момент инерции тела, состоящего из n частиц, равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно данной оси вращения.

Например, для тела, состоящего из четырех частиц, имеем:

где m 1 , m 2 , m 3 и m 4 — массы частиц, которые составляют тела, r 1 , r 2 , r 3 и r 4, расстояние от оси вращения соответственно частиц с массами m 1 , m 2 , m 3 и m 4 .

Момент инерции твердого тела

Когда тело состоит из очень многих частиц, расположенных близко друг к другу, сумма моментов инерции в приведенном выше уравнении заменяется интегралом. Если расширенное тело разделено на бесконечно малые элементы с массой dm, удаленной от оси вращения на величину r, момент инерции I будет равен: